2022年內蒙古自治區呼和浩特市普通高校對口單招高等數學一自考真題(含答案)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(20題)1.

2.

3.

A.絕對收斂B.條件收斂C.發散D.收斂性與a有關

4.設函數f(x)在區間(0，1)內可導f(x)>0，則在(0，1)內f(x)（）．

A.單調增加B.單調減少C.為常量D.既非單調，也非常量

5.

6.構件承載能力不包括()。

A.強度B.剛度C.穩定性D.平衡性

7.

8.A.A.0B.1C.2D.不存在

9.

10.搖篩機如圖所示，已知O1B=O2B=0．4m，O1O2=AB，桿O1A按

規律擺動，(式中∮以rad計，t以s計)。則當t=0和t=2s時，關于篩面中點M的速度和加速度就散不正確的一項為()。

A.當t=0時，篩面中點M的速度大小為15．7cm／s

B.當t=0時，篩面中點M的法向加速度大小為6．17cm／s2

C.當t=2s時，篩面中點M的速度大小為0

D.當t=2s時，篩面中點M的切向加速度大小為12．3cm／s2

11.

12.設∫0xf(t)dt=xsinx，則f(x)=()A.sinx+xcosxB.sinx-xcosxC.xcosx-sinxD.-(sinx+xcosx)

13.下列關系式正確的是（）．A.A.

B.

C.

D.

14.設y＝sin2x，則y等于（）．A.A.－cos2xB.cos2xC.－2cos2xD.2cos2x

15.

16.A.A.4B.-4C.2D.-2

17.設y=cos4x，則dy=（）。A.4sin4xdxB.-4sin4xdxC.(1/4)sin4xdxD.-(1/4)sin4xdx

18.A.A.

B.e

C.e2

D.1

19.

20.

二、填空題(20題)21.

22.

23.

24.

25.過原點且與直線垂直的平面方程為______．

26.

27.

28.設y=ex/x，則dy=________。

29.

30.

31.

32.廣義積分．

33.設曲線y=f(x)在點(1，f(1))處的切線平行于x軸，則該切線方程為______．

34.微分方程y''+y=0的通解是______.

35.

36.

37.

38.設sinx為f(x)的原函數，則f(x)=________。

39.

40.

三、計算題(20題)41.

42.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

43.求函數y=x-lnx的單調區間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．

44.

45.求函數f(x)=x3-3x+1的單調區間和極值．

46.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數．

47.

48.研究級數的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發散，其中常數a>0．

49.求曲線在點(1，3)處的切線方程．

50.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則

51.設拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區域內，以線段AB為下底作內接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

52.求微分方程的通解．

53.

54.

55.

56.

57.證明：

58.設平面薄板所占Oxy平面上的區域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質量m．

59.已知某商品市場需求規律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

60.求函數一的單調區間、極值及其曲線的凹凸區間和拐點．

四、解答題(10題)61.將f(x)=sin3x展開為x的冪級數，并指出其收斂區間。

62.求由曲線y=x2(x≥0)，直線y=1及Y軸圍成的平面圖形的面積·

63.

64.

65.

66.

67.

68.求直線y=2x+1與直線x=0，x=1和y=0所圍平面圖形的面積，并求該圖形繞x軸旋轉一周所得旋轉體的體積。

69.求曲線的漸近線．

70.

五、高等數學(0題)71.極限

=__________.

六、解答題(0題)72.

參考答案

1.C解析：

2.C

3.A

本題考查的知識點為級數絕對收斂與條件收斂的概念．

4.A本題考查的知識點為利用導數符號判定函數的單調性．

由于f(x)在(0，1)內有f(x)>0，可知f(x)在(0，1)內單調增加，故應選A．

5.D解析：

6.D

7.C

8.C本題考查的知識點為左極限、右極限與極限的關系．

9.D

10.D

11.D

12.A

13.C本題考查的知識點為定積分的對稱性．

14.D本題考查的知識點為復合函數求導數的鏈式法則．

15.B解析：

16.D

17.B

18.C本題考查的知識點為重要極限公式．

19.C

20.A

21.

22.-1

23.

24.

25.2x+y-3z=0本題考查的知識點為平面方程和平面與直線的關系．

由于已知直線與所求平面垂直，可知所給直線的方向向量s平行于所求平面的法向量n．由于s=(2，1，-3)，因此可取n=(2，1，-3)．由于平面過原點，由平面的點法式方程，可知所求平面方程為2x+y-3z=0

26.

27.

解析：

28.

29.2

30.

31.本題考查的知識點為重要極限公式。

32.1本題考查的知識點為廣義積分，應依廣義積分定義求解．

33.y=f(1)本題考查的知識點有兩個：一是導數的幾何意義，二是求切線方程．

設切點為(x0，f(x0))，則曲線y=f(x)過該點的切線方程為

y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)．

由題意可知x0=1，且在(1，f(1))處曲線y=f(x)的切線平行于x軸，因此應有f'(x0)=0，故所求切線方程為

y=f(1)=0．

本題中考生最常見的錯誤為：將曲線y=f(x)在點(x0，f(x0))處的切線方程寫為

y-f(x0)=f'(x)(x-x0)

而導致錯誤．本例中錯誤地寫為

y-f(1)=f'(x)(x-1)．

本例中由于f(x)為抽象函數，一些考生不習慣于寫f(1)，有些人誤寫切線方程為

y-1=0．

34.y=C1cosx+C2sinx微分方程y''+y=0的特征方程是r2+1=0，故特征根為r=±i，所以方程的通解為y=C1cosx+C2sinx.

35.

解析：

36.

37.x2x+3x+C本題考查了不定積分的知識點。

38.本題考查的知識點為原函數的概念。

由于sinx為f(x)的原函數，因此f(x)=(sinx)=cosx。

39.[e+∞)(注：如果寫成x≥e或(e+∞)或x＞e都可以)。[e,+∞)(注：如果寫成x≥e或(e,+∞)或x＞e都可以)。解析：

40.

41.

42.解：原方程對應的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

43.

44.

則

45.函數的定義域為

注意

46.

47.由一階線性微分方程通解公式有

48.

49.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或寫為2x+y-5=0．

如果函數y=f(x)在點x0處的導數f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

50.由等價無窮小量的定義可知

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.由二重積分物理意義知

59.需求規律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規律為Q=100ep-2.25p,

∴當P=10時,價格上漲1％需求量減少2．5％

60.

列表：

說明

61.

62.y=x2(x≥0)，y=1及y軸圍成的平面圖形D如圖3—1所示．其面積為

63.

64.

65.

66.

67.

68.解：設所圍圖形面積為A，則

69.由于

可知y