高等數學課件常數項級數第一節第一頁，共二十二頁，2022年，8月28日常數項級數的概念和性質一、常數項級數的概念

二、無窮級數的基本性質三、級數收斂的必要條件

四、柯西收斂準則第一節

第十一章第二頁，共二十二頁，2022年，8月28日一、常數項級數的概念

引例1.

用圓內接正多邊形面積逼近圓面積.依次作圓內接正邊形,這個和逼近于圓的面積A.設a0

表示即內接正三角形面積,ak

表示邊數增加時增加的面積,則圓內接正第三頁，共二十二頁，2022年，8月28日引例2.小球從1米高處自由落下,每次跳起的高度減少一半,問小球是否會在某時刻停止運動?說明道理.由自由落體運動方程知則小球運動的時間為(s)設

tk

表示第k

次小球落地的時間,第四頁，共二十二頁，2022年，8月28日定義：給定一個數列將各項依即稱上式為無窮級數，其中第

n

項叫做級數的一般項,級數的前

n

項和稱為級數的部分和.次相加,簡記為收斂,則稱無窮級數并稱S

為級數的和,記作第五頁，共二十二頁，2022年，8月28日當級數收斂時,稱差值為級數的余項.則稱無窮級數發散.顯然第六頁，共二十二頁，2022年，8月28日例1.討論等比級數(又稱幾何級數)(q

稱為公比)的斂散性.解:1)若從而因此級數收斂,從而則部分和因此級數發散.其和為第七頁，共二十二頁，2022年，8月28日2).若因此級數發散;因此n為奇數n為偶數從而綜合1)、2)可知,時,等比級數收斂;時,等比級數發散.則級數成為不存在,因此級數發散.第八頁，共二十二頁，2022年，8月28日例2.

判別下列級數的斂散性:解:(1)所以級數(1)發散;技巧:利用“拆項相消”求和第九頁，共二十二頁，2022年，8月28日(2)所以級數(2)收斂,其和為1.技巧:利用“拆項相消”求和第十頁，共二十二頁，2022年，8月28日

例3.判別級數的斂散性.解:故原級數收斂,其和為第十一頁，共二十二頁，2022年，8月28日二、無窮級數的基本性質性質1.

若級數收斂于S,則各項乘以常數

c

所得級數也收斂,證:令則這說明收斂,其和為cS.

說明:級數各項乘以非零常數后其斂散性不變.即其和為cS.第十二頁，共二十二頁，2022年，8月28日性質2.

設有兩個收斂級數則級數也收斂,其和為證:

令則這說明級數也收斂,其和為第十三頁，共二十二頁，2022年，8月28日說明:(2)若兩級數中一個收斂一個發散,則必發散.但若二級數都發散,不一定發散.例如,

(1)性質2表明收斂級數可逐項相加或減.(用反證法可證)第十四頁，共二十二頁，2022年，8月28日性質3.在級數前面加上或去掉有限項,不會影響級數的斂散性.證:

將級數的前k項去掉,的部分和為數斂散性相同.當級數收斂時,其和的關系為類似可證前面加上有限項的情況.極限狀況相同,故新舊兩級所得新級數第十五頁，共二十二頁，2022年，8月28日性質4.

收斂級數加括弧后所成的級數仍收斂于原級數的和.證:

設收斂級數若按某一規律加括弧,則新級數的部分和序列為原級數部分和序列的一個子序列,推論:

若加括弧后的級數發散,則原級數必發散.注意:

收斂級數去括弧后所成的級數不一定收斂.但發散.因此必有例如，用反證法可證例如第十六頁，共二十二頁，2022年，8月28日例4.判斷級數的斂散性:解:

考慮加括號后的級數發散,從而原級數發散.第十七頁，共二十二頁，2022年，8月28日三、級數收斂的必要條件

設收斂級數則必有證:

可見:若級數的一般項不趨于0,則級數必發散.例如,其一般項為不趨于0,因此這個級數發散.第十八頁，共二十二頁，2022年，8月28日注意:并非級數收斂的充分條件.例如,調和級數雖然但此級數發散.事實上

,假設調和級數收斂于S,則但矛盾!所以假設不真.參見教材P103另一證法第十九頁，共二十二頁，2022年，8月28日例5.

判斷下列級數的斂散性,若收斂求其和:解:(1)令則故從而這說明級數(1)發散.第二十頁，共二十二頁