高中數(shù)學(xué)幾類不同增長(zhǎng)的函數(shù)模型課件新人教必修第一頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日1．利用計(jì)算工具，比較指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)間的增長(zhǎng)差異．(重點(diǎn))2．理解直線上升、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)、指數(shù)爆炸等不同函數(shù)類型增長(zhǎng)的含義，及其對(duì)應(yīng)函數(shù)模型的性質(zhì)的差異．(易混點(diǎn))3．會(huì)分析具體的實(shí)際問題，能夠通過建模解決實(shí)際問題．(難點(diǎn))第二頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日第三頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日三種函數(shù)模型的性質(zhì)y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增減性增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)圖象的變化隨x增大逐漸與_______隨x增大逐漸與________隨n值而不同增長(zhǎng)速度①y＝ax(a>1)：隨著x的增大，y增長(zhǎng)速度___________，會(huì)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y＝xn(n>0)的增長(zhǎng)速度，y＝logax(a>1)的增長(zhǎng)速度___________②存在一個(gè)x0，當(dāng)x>x0時(shí)，有____________y軸平行x軸平行越來越快越來越慢ax>xn>logax第四頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日判一判(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)函數(shù)y＝x2比y＝2x增長(zhǎng)的速度更快些．()(2)當(dāng)a>1，n>0時(shí)，在區(qū)間(0，＋∞)上，對(duì)任意的x，總有l(wèi)ogax<xn<ax成立．()(3)能用指數(shù)型函數(shù)f(x)＝abx＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0，b>1)表達(dá)的函數(shù)模型，稱為指數(shù)型函數(shù)模型，也常稱為“爆炸型”函數(shù)．()××√第五頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日1．三類函數(shù)模型的增長(zhǎng)差異(1)對(duì)于冪函數(shù)y＝xn，當(dāng)x>0，n>0時(shí)，y＝xn才是增函數(shù)，當(dāng)n越大時(shí)，增長(zhǎng)速度越快．(2)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的遞增前提是a>1，又它們的圖象關(guān)于y＝x對(duì)稱，從而可知，當(dāng)a越大時(shí)，y＝ax增長(zhǎng)越快；當(dāng)a越小時(shí)，y＝logax(a>1)增長(zhǎng)越快，一般來說，ax>logax(x>0，a>1)．(3)指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)，當(dāng)x>0，n>0，a>1時(shí)，可能開始時(shí)有xn>an，但因指數(shù)函數(shù)是“爆炸型”函數(shù)，當(dāng)x大于某一個(gè)確定值x0后，就一定有ax>xn.第六頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日2．由增長(zhǎng)速度確定函數(shù)模型的技巧(1)增長(zhǎng)速度不變的函數(shù)模型是一次函數(shù)模型．(2)增長(zhǎng)速度最快即呈現(xiàn)“爆炸”式增長(zhǎng)的函數(shù)模型應(yīng)該是指數(shù)型函數(shù)模型．(3)增長(zhǎng)速度較慢的函數(shù)模型是對(duì)數(shù)型函數(shù)模型．(4)增長(zhǎng)速度平穩(wěn)的函數(shù)模型是冪函數(shù)模型．第七頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日第八頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日

三種函數(shù)模型的增長(zhǎng)差異

研究函數(shù)y＝0.5ex－2，y＝ln(x＋1)，y＝x2－1在[0，＋∞)上的增長(zhǎng)情況．思路點(diǎn)撥：解答本題的關(guān)鍵是在同一坐標(biāo)下畫出它們的圖象，結(jié)合圖象說明它們的增長(zhǎng)情況．第九頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日解：分別在同一個(gè)坐標(biāo)系中畫出三個(gè)函數(shù)的圖象，如圖，從圖象上可以看出函數(shù)y＝0.5ex－2的圖象首先超過了函數(shù)y＝ln(x＋1)的圖象，然后又超過了y＝x2－1的圖象，即存在一個(gè)滿足0.5ex0－2＝x－1的x0，當(dāng)x＞x0時(shí)，ln(x＋1)＜x2－1＜0.5ex－2.第十頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日三種函數(shù)模型的表達(dá)形式及其增長(zhǎng)特點(diǎn)(1)指數(shù)函數(shù)模型：能用指數(shù)型函數(shù)f(x)＝abx＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0，b>1)表達(dá)的函數(shù)模型，其增長(zhǎng)特點(diǎn)是隨著自變量x的增大，函數(shù)值增大的速度越來越快，常稱之為“指數(shù)爆炸”．(2)對(duì)數(shù)函數(shù)模型：能用對(duì)數(shù)型函數(shù)f(x)＝mlogax＋n(m，n，a為常數(shù)，m>0，x>0，a>1)表達(dá)的函數(shù)模型，其增長(zhǎng)的特點(diǎn)是開始階段增長(zhǎng)得較快，但隨著x的逐漸增大，其函數(shù)值變化得越來越慢，常稱之為“蝸牛式增長(zhǎng)”．第十一頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日

(3)冪函數(shù)模型：能用冪型函數(shù)f(x)＝axα＋b(a，b，α為常數(shù)，a≠0，α≠1)表達(dá)的函數(shù)模型，其增長(zhǎng)情況由a和α的取值確定，常見的有二次函數(shù)模型和反比例函數(shù)模型．第十二頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日1．函數(shù)f(x)＝2x和g(x)＝x3的圖象，如圖所示．設(shè)兩函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2.(1)請(qǐng)指出示意圖中曲線C1，C2分別對(duì)應(yīng)哪一個(gè)函數(shù)；(2)結(jié)合函數(shù)圖象，比較f(8)，g(8)，f(2014)，g(2014)的大小．第十三頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日解：(1)C1對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(x)＝x3，C2對(duì)應(yīng)的函數(shù)為f(x)＝2x.(2)∵g(1)＝1，f(1)＝2，g(2)＝8，f(2)＝4，g(9)＝729，f(9)＝512，g(10)＝1000，f(10)＝1024，∴f(1)＞g(1)，f(2)＜g(2)，f(9)＜g(9)，f(10)＞g(10)．∴1＜x1＜2,9＜x2＜10.∴x1＜8＜x2＜2014.從圖象上知，當(dāng)x1＜x＜x2時(shí)，f(x)＜g(x)；當(dāng)x＞x2時(shí)，f(x)＞g(x)，且g(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，∴f(2014)＞g(2014)＞g(8)＞f(8)．第十四頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日

電信局為了滿足客戶的不同需要，設(shè)有A、B兩種優(yōu)惠方案，這兩種方案的應(yīng)付話費(fèi)(元)與通話時(shí)間(分鐘)之間的關(guān)系如圖所示(實(shí)線部分)．(注：圖中MN∥CD)試問：

根據(jù)圖象分析函數(shù)模型的增長(zhǎng)趨勢(shì)第十五頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日(1)若通話時(shí)間為2小時(shí)，按方案A、B各付話費(fèi)多少元？(2)方案B從500分鐘以后，每分鐘收費(fèi)多少元？(3)通話時(shí)間在什么范圍內(nèi)，方案B才會(huì)比方案A優(yōu)惠．思路點(diǎn)撥：首先根據(jù)圖象求出函數(shù)的解析式，然后利用函數(shù)的觀點(diǎn)求解．第十六頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日第十七頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日第十八頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日第十九頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)于給出圖象的應(yīng)用問題，關(guān)鍵是讀圖，要將圖形給出的有用信息準(zhǔn)確、全面地提煉出來，為此要注意以下幾點(diǎn)：①明確橫軸、縱軸的意義，如本題中橫軸x表示通話時(shí)間，縱軸y表示電話費(fèi)；②從圖象形狀上判定函數(shù)模型，如本題中兩種方案，對(duì)應(yīng)的函數(shù)分別在兩個(gè)區(qū)間都是直線型；第二十頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日③抓住特殊點(diǎn)的實(shí)際意義，特殊點(diǎn)一般包括最高點(diǎn)(最大值點(diǎn))，最低點(diǎn)(最小值點(diǎn))，及折線的拐角點(diǎn)等；④通過方程、不等式、函數(shù)等數(shù)學(xué)模型化實(shí)際問題為數(shù)學(xué)問題．第二十一頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日2．為方便用戶，電信公司對(duì)移動(dòng)電話采用不同的收費(fèi)方式，其中所使用的“便民卡”與“如意卡”在某市范圍內(nèi)每月(30天)的通話時(shí)間x(分鐘)與通話費(fèi)y(元)的關(guān)系如圖所示：(1)分別求出通話費(fèi)y1、y2與通話時(shí)間x之間的函數(shù)解析式；(2)請(qǐng)幫助用戶計(jì)算，在一個(gè)月內(nèi)使用哪種卡更便宜．第二十二頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日第二十三頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日第二十四頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日第二十五頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日

某汽車制造商在2014年初公告：公司計(jì)劃2014年生產(chǎn)目標(biāo)定為43萬(wàn)輛．已知該公司近三年的汽車生產(chǎn)量如下表所示：如果我們分別將2010、2011、2012、2013定義為第一、二、三、四年．現(xiàn)在你有兩個(gè)函數(shù)模型：二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，指數(shù)函數(shù)模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)，哪個(gè)模型能更好地反映該公司年銷量y與年份x的關(guān)系？

函數(shù)模型的選取年份201020112012產(chǎn)量8(萬(wàn))18(萬(wàn))30(萬(wàn))第二十六頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日第二十七頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日第二十八頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日第二十九頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日不同函數(shù)模型的選取標(biāo)準(zhǔn)不同的函數(shù)模型能刻畫現(xiàn)實(shí)世界中不同的變化規(guī)律：(1)線性函數(shù)增長(zhǎng)模型適合于描述增長(zhǎng)速度不變的變化規(guī)律；(2)指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)模型適合于描述增長(zhǎng)速度急劇的變化規(guī)律；第三十頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日(3)對(duì)數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)模型適合于描述增長(zhǎng)速度平緩的變化規(guī)律；(4)冪函數(shù)增長(zhǎng)模型適合于描述增長(zhǎng)速度一般的變化規(guī)律．因此，需抓住題中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)信息，恰當(dāng)、準(zhǔn)確地建立相應(yīng)變化規(guī)律的函數(shù)模型來解決實(shí)際問題．第三十一頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日3．某學(xué)校為了實(shí)現(xiàn)100萬(wàn)元的生源利潤(rùn)目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個(gè)激勵(lì)招生人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案：在生源利潤(rùn)達(dá)到5萬(wàn)元時(shí)，按生源利潤(rùn)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，且獎(jiǎng)金y隨生源利潤(rùn)x的增加而增加，但獎(jiǎng)金總數(shù)不超過3萬(wàn)元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過利潤(rùn)的20%.現(xiàn)有三個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x其中哪個(gè)模型符合該校的要求？第三十二頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日解：借助工具作出函數(shù)y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的圖象(圖略)．觀察圖象可知，在區(qū)間[5,100]上，y＝0.2x，y＝1.02x的圖象都有一部分在直線y＝3的上方，只有y＝log5x的圖象始終在y＝3和y＝0.2x的下方，這說明只有按模型y＝log5x進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)才符合學(xué)校的要求．第三十三頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日第三十四頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日易錯(cuò)誤區(qū)系列(九)因?qū)D形信息理解不準(zhǔn)確導(dǎo)致解答錯(cuò)誤 已知甲、乙兩物體在同一直線上向同一方向作勻速直線運(yùn)動(dòng)，其位移y(km)和運(yùn)動(dòng)時(shí)