.../概率論與數理統計試題2016—2017第一學期〔期末試題解答完成下列各題〔每小題4分,共24分設隨機事件A,B,C相互獨立,,,分別求出及的值。解：∵相互獨立所以也相互獨立相關知識：①〔書P11②事件的相互獨立性：四對事件中有一對是相互獨立的,則另外三對也相互 獨立,此結論可推廣至n個事件的情形。〔書P20③事件的差：④DeMorgan律：房間內有5個人,每個人在一年中〔按12個月計算每個月出生的概率相等,求5個人中至少有兩個人生于同一個月的概率。解：設則則5人中至少兩人生于同月概率相關知識：①正難則反：發現某件事情的概率很難求時,可以考慮其對立事件的概率,再應用來求解。②乘法原理：做一件事需經過個不同的步驟,而第步有種方法,則完成它有種不同的方法。設隨機變量,且解：兩邊同除,得解得或〔舍去因此綜上相關知識：泊松分布：P37設隨機變量有,則稱服從參數為的泊松分布,記為。其中。將一顆均勻骰子獨立上拋兩次,觀察出現點數。若兩次出現點數和為8或10即可獲獎。求獲獎概率。解：設第一次上拋出現點數為,第二次上拋出現點數為。123456123456723456783456789456789105678910116789101112由上表可見,則獲獎概率設隨機變量與相互獨立且同分布,的概率密度為,,若,求的值。解：,則。因為,同分布所以所以相關知識：二維隨機變量函數的概率分布〔書本P62~P67①②③設總體服從二項分布是來自的簡單隨機樣本。試求①參數的矩估計量②的無偏估計量。解：①由矩估計法可得,所以有②的無偏估計量是承上題,的無偏估計量是所以相關知識：①若,則。②求:③無偏估計量的定義：若,則稱是的一個無偏估計量。〔書本P153矩估計法：〔書本P145已知某批產品中90%是合格品,檢查時,一個合格品被誤認為次品的概率是0.05,次品誤認為是合格品的概率是0.02,試求：①一個產品經檢查后被認為是合格品的概率。②一個經檢查后被認為是合格品的產品確是合格品的概率。解：①設則構成一個互斥完備事件組。則所以某產品被認為是合格品的概率。②承上題,即求則所以經檢查后認為是合格品的確實是合格品的概率為相關知識：全概率公式與貝葉斯公式〔書本P17①全概率公式：若事件構成互斥完備事件組,則 。用法：可以將復雜事件概率分解為若干互斥的簡單事件的分概率。②貝葉斯公式：。用法：可以由事情的結果去推測原因。隨機變量的概率密度,令,試求①的分布函數②的概率密度③解：①所以②所以③所以相關知識：連續型隨機變量及其性質。〔書本P37設隨機變量相互獨立,都服從參數為的〔0,1分布,若,且令,。①求二維隨機變量的聯合分布律。②分別求出關于的邊緣分布律。③是否相互獨立？證明你的結論。解：①由題意得,；。則容易得到1-1101/4-11/21/41-11/43/4②由上題,容易求到1-11/21/2③不相互獨立：證明：因此,由事件獨立性定義,不相互獨立。相關知識：①二項分布。〔書本P34②事件獨立性定義。〔書本P20二維隨機變量概率密度為。①求邊緣密度函數。②求條件概率密度。③令,求的概率密度函數。解：①②條件概率密度③當時,顯然有當時,所以相關知識：①二維隨機變量函數的概率分布。〔書本P62②邊緣概率密度。〔書本P49③條件概率密度。〔書本P53設總體的概率密度函數,其中為未知參數,為總體的簡單樣本。①求的最大似然估計量②是否為的相合〔一致估計量？證明你的結論。解：①似然函數對數似然函數當時,,所以極大似然估計量：②是的相合〔一致估計量。證明：有因此由Chebyshev不等式〔書本P105知,對,有所以由夾逼準則知,對,故是的相合〔一致估計量。相關知識：①極大似然估計法〔書P147：似然函數,固定,當取最大值時,對應成為極大似然估計量。〔為了計算簡便,通常改求對數似然函數的極值點。〔和通常有相同的極值點②對,如果有,則稱是的相合〔一致估計量。③切比雪夫不等式：。設總體相互獨立,,均未知,今分別從兩總體中抽取樣本,得到觀測值如下：24.3 20.8 23.7 21.3 17.418.2 16.9 20.2 16.7①利用總體的樣本觀測值,求的置信度為的置信區間。②檢驗假設：〔已知上側分位數點：解：①由題意得,有在本題中,解得所以求的置信度為的置信區間為。②由題意得在本題中,假設為真,則,拒絕域為,事實上,不在拒絕域內,接受。相關知識：①假設檢驗的一般步驟。〔書本P179②抽樣分布,正態總體的抽樣分布。〔書本P129設是來自正態總體的簡單隨機樣本,為樣本均值,令,其中,且滿足。①證明是的無偏估計量,且在的所有形如的無偏估計量中的方差最小。②求數學