面向工程教育的離散數(shù)學教學改革探討面向項目教育的離散數(shù)學教學改革探討

文章編號：1672-5913〔2022〕05-0038-04

中圖分類號：G642

0引言

?華盛頓協(xié)議》是國際上最具權威性和影響力的項目教育互認協(xié)議之一。我國于2022年參加華盛頓協(xié)議，成為其預備成員，2022年成為第18個正式成員。項目教育專業(yè)認證強調以學生為中心，以學習產(chǎn)出和學習成果為目標導向，通過質量監(jiān)控和反應機制持續(xù)地對教學過程進行改良，促使教育質量的改善和提高[1-2]。

我們遵循項目教育的理念，制定可量化的考核方式，通過“評價―反應―改良〞的循環(huán)過程，持續(xù)改良教學質量。我們以離散數(shù)學課程的項目教育實踐為切入點，對課程教學模式做了改變和嘗試，提出了課程達成度計算模型。在教學實踐中，通過SPOC〔小規(guī)模限制性在線課程〕和翻轉課堂的結合，引入與離散數(shù)學知識相關的項目問題和實例，著重培養(yǎng)學生解決復雜項目問題的能力。在教學階段，逐項收集各種教學信息，對教學效果和教學質量進行數(shù)據(jù)分析和研究，持續(xù)改良和提高教學方式。

1課程達成度與指標點

對于軟件項目專業(yè)，項目教育的培養(yǎng)目標是培養(yǎng)軟件項目領域高層次的軟件研發(fā)、管理和技術效勞人才。在項目教育的實施過程中，不斷積累學習和教學數(shù)據(jù)，借助數(shù)字化技術計算學習成果的達成度[1]。在教學體系上，采用自頂向下的辦法，建立層次化的達成度評價模型：第一級為課程達成度，第二級為畢業(yè)要求達成度，第三級為培養(yǎng)目標達成度。下一級的達成度撐持上一級的目標，以此建立培養(yǎng)目標、畢業(yè)要求和課程之間的數(shù)字化對應關系。

宏觀上，達成度的評價最終分解為對學生學習過程的全程跟蹤和持續(xù)性評估。軟件項目專業(yè)整個培養(yǎng)體系劃分為9條培養(yǎng)目標〔PO〕和12條畢業(yè)要求〔GR〕，每項畢業(yè)要求再細化為多個指標點。在微觀上，課程的達成度撐持了對應畢業(yè)要求的指標點。首先以畢業(yè)要求指標點確定課程的教學目標〔CO〕；然后，教師根據(jù)對教學目標的分解確定每個課程目標的權重〔W〕，課程目標權重反映了該課程教學和達成度評價的側重點。課程教學目標的達成度基于所選取的考核評價方式〔平時作業(yè)、期中考試、期末考試等〕來進行計算。計算公式如下：

C=∑〔COi×Wi〕，COi=∑〔Tij×wij〕〔i=1，2，…，n；j=1，2，…，m〕

式中：C《檳趁趴緯痰拇锍啥燃撲闃擔《COi為某門課程第i個課程目標的達成度計算值。Wi為某門課程第i個課程目標達成度的計算權重系數(shù)；Tij為某門課程第i個課程目標在第j種考核方式中的達成度計算值；wij為第i個課程目標在第j種考核方式中的權重系數(shù)。

離散數(shù)學作為軟件項目專業(yè)的根底理論課，其撐持的畢業(yè)要求包括：

〔1〕GR1.4：掌握專業(yè)知識，能選擇恰當?shù)臄?shù)學模型描述復雜軟件項目問題，能對模型進行推理和求解。

〔2〕GR12.2：掌握自主學習的辦法，了解拓展知識和能力的途徑。

根據(jù)畢業(yè)要求的指標點設置4項課程目標和3個教學模塊〔CM〕，主要包括：CO1掌握離散數(shù)學的根本思想和概念；CO2培養(yǎng)嚴格的邏輯推理能力；CO3訓練抽象思維能力；CO4培養(yǎng)處理離散信息及項目應用的能力；CM1匯合與關系、CM2數(shù)理邏輯和CM3圖論。課程目標、教學模塊和考試考核點的對應關系見表1。

在期末考試后，采集每個學生每道題目的得分成績，選定考核點，依據(jù)題目的預期值〔即每道題目的分數(shù)〕和到達值〔即每道題目的實際得分〕計算課程教學目標的達成度：

COn=∑〔COn考核點預期值/COn考核點到達值〕，n=1，2，3，4；

課程達成度=CO1×0.4+CO2×0.2+CO3×0.2+CO4×0.2

由以上達成度計算可以看出，離散數(shù)學支持多個畢業(yè)要求指標點的達成。課程目標的達成情況就是該課程預期要到達的學習效果，同時也是本門課程對專業(yè)培養(yǎng)目標的奉獻。

2教學信息采集

項目教育專業(yè)認證要求通過采集和分析學生的學習過程和學習效果來證明學生能力的達成度。所有這些達成度的證據(jù)都建立在各種記錄數(shù)據(jù)和文檔的根底上。除了傳統(tǒng)的結構化數(shù)據(jù)〔如考試成績和考勤記錄〕，項目教育中更強調通過實際的項目訓練來培養(yǎng)學生解決復雜項目問題的能力。這就需要通過多種方式來收集每一個學生在學習過程中的微觀表現(xiàn)，如課堂、作業(yè)、郵件、實習等，以此來了解學生的學習狀態(tài)，建立持續(xù)改良的達成度評價體系。

課堂上，教師采用移動教學方式，根據(jù)課堂教學內(nèi)容和教學效果，選取題庫中相應難度的題目，將題目發(fā)給每個學生〔如手機、平板〕，學生的解答那么通過移動網(wǎng)絡反應到教學數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)。課后以郵件和網(wǎng)上答題的方式來收集學生的學習情況。課后的作業(yè)和綜合性練習主要是證明題目和主觀性題目，以評分表分析法建立量規(guī)[3]。量規(guī)為主觀性題目或其他表現(xiàn)〔比方證明的步驟、細節(jié)、敘述等〕確定量化規(guī)范，從優(yōu)到差詳細規(guī)定評級指標。同時，采取老師評分、同學互評、助教評分的方式進行綜合性學習評價，填寫學習評分表。重點獲取學生的答題情況〔非結構化信息〕，包括：每小題選擇了什么選項，花了多少時間，是否修改正選項，做題的順序有沒有跳躍等，全面地反映學生的學習過程和狀態(tài)。

在課程內(nèi)容方面，對知識體系進行梳理，將課程知識按照知識點模塊進行數(shù)字化，并且將多門相關課程聯(lián)系在一起，建立面向問題的知識網(wǎng)絡。示例，將圖論與數(shù)據(jù)結構中的樹和圖進行關聯(lián)和比擬；把等價類的概念與軟件測試辦法相結合來分析軟件開發(fā)問題。基于實際軟件工程構建對應于課程內(nèi)容的知識圖譜和知識數(shù)據(jù)庫。通過引入項目領域的離散問題，分析問題中出現(xiàn)的各種實時性數(shù)據(jù)、項目化數(shù)據(jù)和研究性數(shù)據(jù)，將其分類存儲于問題數(shù)據(jù)庫和練習題庫，為考核評估提供支持。3課程教學改革

在項目教育的指導思想下，離散數(shù)學課程除了向學生描述理論知識“是什么〞和“為什么〞以外，更注重讓學生學會“如何運用〞理論知識，以解決在軟件開發(fā)中出現(xiàn)的各類問題。改良已有的教學方式，一方面，在課程內(nèi)容上打破原有專業(yè)課程的講授模式，結合實際項目問題，按照CDIO項目教育理念發(fā)展課程建設[4]。另一方面，采用問題驅動的教學方式[5]，通過錄制SPOC[6]和實施翻轉式課堂教學，指導學生參與離散項目問題的分析、研究和解決計劃設計。

3.1翻轉課堂

翻轉課堂是一種“以學生為中心〞的新的教學模式[7]。它關注學生的個性化學習和成長，能更好地實現(xiàn)項目教育的能力和素質培養(yǎng)。實施翻轉課堂，首先建立離散數(shù)學課程的知識圖譜，以思維導圖的方式構建整體的知識框架；然后，逐步細化每個章節(jié)的內(nèi)容，對概念性知識〔如匯合、關系的概念〕和過程性知識〔如邏輯的推理、關系性質的判斷與證明〕進行梳理，按照不同的教學方式進行組織和關聯(lián)。

概念性知識劃分為5個難度級別：A簡單、B適度、C較難、D困難、E綜合。對于簡單和適度的概念按知識點劃分單元模塊，制作8～10分鐘的教學視頻。示例，將匯合論的開展歷史、匯合的根本概念等內(nèi)容以時間線〔storyline〕的方式展示給學生。在制作SPOC視頻時，不僅講解知識，還突出理論知識的文化觀念和內(nèi)涵。而對于難度較高的內(nèi)容，如析取范式、合取范式等，那么安頓在課堂上進行講解。

對于過程性知識，示例，布置給學生的課后作業(yè)：“證明某個關系R是匯合A上的一個等價關系〞，將批改作業(yè)的過程和演示證明的步驟錄制為視頻。在視頻中，逐項講解解題的思路〔如何使用等價關系的定義進行證明〕、學生解題中出現(xiàn)的各種問題〔如對稱和傳遞關系的理解偏差，不恰當使用等〕以及需要注意的關鍵地方〔如自反性、對稱性、傳遞性都需要證明，證明才完整〕等解決問題的思考過程和經(jīng)驗。通過SPOC實現(xiàn)體驗式教學，讓學生能從任務的求解指導中學會如何應用所學到的知識。

采用問題引入、分析求解、過程探討、理論構建的步驟完成SPOC視頻制作。以命題邏輯的講授為例，視頻以斷案推理的例子〔如神探夏洛克〕開始，吸引學生的注意力，將現(xiàn)實中的問題與命題、邏輯、推理等知識聯(lián)系起來，把問題進行拆解分析，逐步歸納總結出概念和知識點，納入學生已有的認知結構，讓他們更加積極主動地投入到自主學習中。

在課前，要求學生根據(jù)前次課布置的學習任務觀看微視頻，通過自主學習和思考，理解根本概念，完成一定有針對性的小測驗。在課堂上，采用如下多種教學方式：

〔1〕引導式教學。如在講解主析取范式和主合取范式時，讓學生思考“如何找到主合取〔或主析取〕的極大項和極小項〞，提示學生考慮采用建立樹結構的方式來求解。

〔2〕體驗式教學。給出真實的任務情境，讓學生協(xié)同完成某一項任務；或現(xiàn)場對某些有爭議的問題進行研討，并且相互展示學習成果，實現(xiàn)同伴互評。示例，讓學生編寫一段程序，要求對函數(shù)的參數(shù)進行檢查，由此把命題邏輯與程序檢查中的斷言相對應進行講解；把等價類的劃分與面向對象中類的概念進行類比介紹。

〔3〕互動式教學。如課前以墨經(jīng)中的“有之那么必然，無之那么未必不然，是為大故〞和“無之那么必不然，有之那么未必然，是為小故〞，引出充沛必要條件的知識，指導學生完成對命題聯(lián)結詞知識點的復述，命題公式的化簡等練習；期間，老師答復學生提出的問題，對每位學生進行個性指導，并參與討論。

通《^引導和檢查學生的學習效果，把握學生的學習狀態(tài)和學習進度。

對于項目素質和能力的培養(yǎng)，一方面，將課程的知識點分別對應到軟件開發(fā)的各個階段，如將數(shù)理邏輯對應編程實現(xiàn)、將匯合和關系對應數(shù)據(jù)庫的構造、將樹和圖對應數(shù)據(jù)結構的設計，把理論知識運用到軟件開發(fā)實踐中；另一方面，根據(jù)學生的個體學習需求，參加具有一定難度的項目任務和開放性課題，讓學生可以根據(jù)自身情況進行自由選取，如結合圖論最短路徑的知識點，將2022年華為軟件精英挑戰(zhàn)賽中的問題“未來網(wǎng)絡《尋路〞引入教學討論，激勵學生積極參與類似的具有研究性質的挑戰(zhàn)。

3.2教學數(shù)據(jù)分析

項目教育關注學生完成學習的過程，因此對教學活動中的各類數(shù)據(jù)，如教學目標、教學內(nèi)容〔知識點、重點、難點〕、常規(guī)練習、挑戰(zhàn)性練習等，進行量化，并建立彼此之間的聯(lián)系。采用成績分析法[8]，細分教學目標和教學模塊，按照撐持畢業(yè)要求的指標點進行數(shù)據(jù)采集、計算均值、方差、信度、效度等統(tǒng)計參數(shù)，在評價每個指標點達成度的根底上，獲得課程掌握情況的評價結果[9]。

利用學生學習的行為檔案創(chuàng)立自適應的學習系統(tǒng)，反映學生的學習效果。利用學生“如何〞學習的信息，依據(jù)教學數(shù)據(jù)的分析結果，為學生量身定制適合學生的個性化練習。通過分析學習數(shù)據(jù)，自動創(chuàng)立一系列難度逐漸增加且互相關聯(lián)的問題，示例，從匯合到關系、從關系到特殊關系、從特殊關系到樹結構，讓學生圍繞一個共同的知識點來求解問題，從中分析學生的學習模式。同時，老師根據(jù)自己的教學需要來調整教學任務，示例，給課堂練習和作業(yè)規(guī)定完成的時間，讓移動教學系統(tǒng)在“自動計時〞的情況下，考察學生的學習過程；而在學生做錯題目需要幫忙時，系統(tǒng)自動給出提示并確定問題出錯的位置。系統(tǒng)記錄學生的學習過程，包括在哪個知識點的學習上遇到了問題、哪些習題完成花費時間較長等。老師對這些數(shù)據(jù)進行分析，建立相關的教學模型為學生推薦更為適宜的學習路徑。

確保教學數(shù)據(jù)的正確性、可用性是進行教學數(shù)據(jù)分析的關鍵。制定教學數(shù)據(jù)檢測體系和軟件系統(tǒng)對數(shù)據(jù)進行實時的檢測以保證數(shù)據(jù)的質量，盡可能減少對數(shù)據(jù)分析和挖掘帶來的不利影響。首先制定各種數(shù)據(jù)的錄入和維護標準，最大限度地自動錄入各種結構化和非結構化數(shù)據(jù)，包括考試成績的每項評分、主觀評價打分等。其次，制定數(shù)據(jù)檢測規(guī)那么并實現(xiàn)自動檢測，應用不同的數(shù)據(jù)配置策略，對靜態(tài)、動態(tài)數(shù)據(jù)進行實時監(jiān)控和定期檢查以發(fā)現(xiàn)并處理有問題的數(shù)據(jù)。最后，建立可靠的教學數(shù)據(jù)質量評估體系，通過各種評估辦法，如基于異常值的評估辦法、邏輯性評估辦法等，對數(shù)據(jù)質量的改良效果進行評估，為數(shù)據(jù)質量改良提供策略。此外，還需要實現(xiàn)缺失數(shù)據(jù)的完善、篩選等數(shù)據(jù)處理工作，將數(shù)據(jù)規(guī)范化、去重復化，最后形成標準化的格式。

4結語