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文檔簡介

第12講

│函數模型及其應用第12講函數模型及其應用精選ppt知識梳理第12講

│知識梳理

1.函數模型常用函數模型(1)一次函數模型:f(x)=kx+b(k,b為常數,k≠0).(2)二次函數模型:f(x)=ax2+bx+c(a、b、c為常數,a≠0).(3)指數函數模型:f(x)=abx+c(a、b、c為常數,a≠0,b>0,b≠1).(4)對數函數模型:f(x)=mlogax+n(m、n、a為常數,a>0,m≠0,a≠1).(5)冪函數模型:f(x)=axn+b(a、b、n為常數,a≠0,n≠1).(6)分段函數模型精選ppt第12講

│知識梳理

2.三種函數模型的性質在區間(0,+∞)上,指數函數y=ax(a>1),對數函數y=logax(a>1),冪函數y=xn(n>0)都是增函數,但它們增長速度不同.隨著x的增大,指數函數y=ax(a>1)的增長速度越來越快,會超過并遠遠大于冪函數y=xn(n>0)的增長速度,而對數函數y=logax(a>1)的增長速度則會越來越慢,圖象逐漸表示為與x軸趨于平行,因此,總會存在一個x0,當x>x0時,就有logax<xn<ax.3.函數模型的應用(1)解答函數應用題的步驟:①閱讀理解:讀懂題目中的文字敘述所反映的實際背景,領悟其中的數學本質,弄清題中出現的量及其數學含義.精選ppt第12講

│知識梳理

②分析建模:分析題目中的量與量之間的關系,根據題意恰當地引入字母(包括常量與變量),有時可借助列表、畫圖等手段來理順數量關系,同時要注意由已知條件聯想熟知的函數模型,以確定函數模型的種類,在對已知條件和目標變量的綜合分析、歸納抽象的基礎上,建立目標函數,將實際問題轉化為數學問題.③數學求解:利用相關的函數知識,進行合理設計,以確定最佳解題方案,進行數學上的求解計算.④還原總結:把計算獲得的結果還原到實際問題中去解釋實際問題,即對實際問題進行總結作答.精選ppt第12講

│知識梳理

(2)在實際問題中建立函數模型的算法程序:第一步:收集數據;第二步:根據收集到的數據在平面直角坐標系內畫出散點圖;第三步:根據點的分布特征,選擇一個能刻畫散點圖特征的函數模型;第四步:選擇其中的幾組數據求出函數模型;第五步:將已知數據代入所求出的函數模型進行檢驗,看其是否符合實際.若不符合實際,則重復第三、四、五步;若符合實際,則進入下一步;第六步:用求得的函數模型去解決實際問題.精選ppt第12講

│知識梳理

以上過程可用程序框圖表示如圖12-1:圖12-1精選ppt第12講

│要點探究

?探究點1已知函數模型解決實際應用問題要點探究

例1某公司試銷一種成本單價為500元/件的新產品,規定試銷時銷售單價不低于成本單價,又不高于800元/件.經試銷調查,發現銷售量y與銷售單價x(元/件)的圖象可近似看作一條直線,該直線經過(600,400)和(700,300)兩點.(1)求y關于x的函數關系式;(2)設公司獲得的毛利潤(毛利潤=銷售總價-成本總價)為S元,試用銷售單價x表示毛利潤S,并求銷售單價定為多少時,該公司可獲得最大毛利潤?最大毛利潤是多少?此時銷售量是多少?精選ppt第12講

│要點探究

[思路]根據函數圖象,可知y是x的一次函數,利用待定系數法可求得函數關系式;然后利用“毛利潤=銷售總價-成本總價”建立S與x的關系式,通過求函數的最值達到解題目的.[解答](1)由于y與x關系式的圖象為一條直線,因此設y=kx+b,∴解得k=-1,b=1000,∴y=-x+1000(500≤x≤800);精選ppt第12講

│要點探究

(2)S=xy-500y=x(-x+1000)-500(-x+1000)=-(x-750)2+62500(500≤x≤800),∴當銷售單價是750元/件時,可獲得最大毛利潤62500元,此時銷售量為250件.[點評]以函數圖象給出關系式的應用問題,先利用圖象形狀確定函數的類型,然后利用待定系數法求解;函數應用問題中,已知的等量關系也是解題的依據,它們常用來構造函數關系.精選ppt第12講

│要點探究

精選ppt第12講

│要點探究

(1)講課開始后多少分鐘,學生的注意力最集中?能持續多少分鐘?(2)講課開始后5分鐘與講課開始后25分鐘相比,何時學生的注意力更集中?(3)一道數學難題,需要講解24分鐘,并且要求學生的注意力至少達到180,那么經過適當安排,老師能否在學生達到所需狀態下講授完這道題目?精選ppt第12講

│要點探究

精選ppt第12講

│要點探究

精選ppt第12講

│要點探究

?探究點2

建立函數模型解決實際應用問題

例3據氣象中心觀察和預測:發生于M地的沙塵暴一直向正南方向移動,其移動速度v(km/h)與時間t(h)的函數圖象如圖12-2所示,過線段OC上一點T(t,0)作橫軸的垂線l,梯形OABC在直線l左側部分的面積即為t(h)時間內沙塵暴所經過的路程s(km).(1)當t=4時,求s的值;(2)將s隨t變化的規律用數學關系式表示出來;(3)若N城位于M地正南方向,且距M地650km,試判斷這場沙塵暴是否會侵襲到N城,如果會,在沙塵暴發生后多長時間它將侵襲到N城?如果不會,請說明理由.圖12-2精選ppt第12講

│要點探究

精選ppt第12講

│要點探究

精選ppt第12講

│要點探究

精選ppt第12講

│要點探究

例4蘆薈是一種經濟價值很高的觀賞、食用植物,不僅可美化居室、凈化空氣,又可美容保健,因此深受人們歡迎,在國內占有很大的市場.某人準備進軍蘆薈市場,栽培蘆薈,為了了解行情,進行市場調研,從4月1日起,蘆薈的種植成本Q(單位:元/10kg)與上市時間t(單位:天)的數據情況如下表:上市時間t50110250種植成本Q150108150精選ppt第12講

│要點探究

(1)根據上表數據,從下列函數中選取一個最能反映蘆薈種植成本Q與上市時間t的變化關系:Q=at+b,Q=at2+bt+c,Q=a·bt,Q=alogbt;(2)利用你選擇的函數,求蘆薈種植成本最低時上市天數及最低種植成本.精選ppt第12講

│要點探究

[解答](1)由所提供的數據可知,反映蘆薈種植成本Q與上市時間t的變化關系的函數不可能是常值函數,故用函數Q=at+b,Q=a·bt,Q=alogbt中的任意一個來反映時都應有a≠0,而上述三個函數均為單調函數,這與表格所提供的數據不符合,所以應選用二次函數Q=at2+bt+c進行描述.精選ppt第12講

│要點探究

精選ppt第12講

│規律總結

規律總結1.把實際問題數學化、建立數學模型一定要過好三關:(1)事理關:通過閱讀、理解,明白問題講的是什么,熟悉實際背景,為解題找突破口.(2)文理關:將實際問題的文字語言轉化為數學符號語言,用數學式子表達數學關系.(3)數理關:在構建數學模型的過程中,對已知數學知識進行檢索,從而認定或構建相應的數學模型.精選ppt第12講

│函數模型及其應用第12講函數模型及其應用精選ppt知識梳理第12講

│知識梳理

1.函數模型常用函數模型(1)一次函數模型:f(x)=kx+b(k,b為常數,k≠0).(2)二次函數模型:f(x)=ax2+bx+c(a、b、c為常數,a≠0).(3)指數函數模型:f(x)=abx+c(a、b、c為常數,a≠0,b>0,b≠1).(4)對數函數模型:f(x)=mlogax+n(m、n、a為常數,a>0,m≠0,a≠1).(5)冪函數模型:f(x)=axn+b(a、b、n為常數,a≠0,n≠1).(6)分段函數模型精選ppt第12講

│知識梳理

2.三種函數模型的性質在區間(0,+∞)上,指數函數y=ax(a>1),對數函數y=logax(a>1),冪函數y=xn(n>0)都是增函數,但它們增長速度不同.隨著x的增大,指數函數y=ax(a>1)的增長速度越來越快,會超過并遠遠大于冪函數y=xn(n>0)的增長速度,而對數函數y=logax(a>1)的增長速度則會越來越慢,圖象逐漸表示為與x軸趨于平行,因此,總會存在一個x0,當x>x0時,就有logax<xn<ax.3.函數模型的應用(1)解答函數應用題的步驟:①閱讀理解:讀懂題目中的文字敘述所反映的實際背景,領悟其中的數學本質,弄清題中出現的量及其數學含義.精選ppt第12講

│知識梳理

②分析建模:分析題目中的量與量之間的關系,根據題意恰當地引入字母(包括常量與變量),有時可借助列表、畫圖等手段來理順數量關系,同時要注意由已知條件聯想熟知的函數模型,以確定函數模型的種類,在對已知條件和目標變量的綜合分析、歸納抽象的基礎上,建立目標函數,將實際問題轉化為數學問題.③數學求解:利用相關的函數知識,進行合理設計,以確定最佳解題方案,進行數學上的求解計算.④還原總結:把計算獲得的結果還原到實際問題中去解釋實際問題,即對實際問題進行總結作答.精選ppt第12講

│知識梳理

(2)在實際問題中建立函數模型的算法程序:第一步:收集數據;第二步:根據收集到的數據在平面直角坐標系內畫出散點圖;第三步:根據點的分布特征,選擇一個能刻畫散點圖特征的函數模型;第四步:選擇其中的幾組數據求出函數模型;第五步:將已知數據代入所求出的函數模型進行檢驗,看其是否符合實際.若不符合實際,則重復第三、四、五步;若符合實際,則進入下一步;第六步:用求得的函數模型去解決實際問題.精選ppt第12講

│知識梳理

以上過程可用程序框圖表示如圖12-1:圖12-1精選ppt第12講

│要點探究

?探究點1已知函數模型解決實際應用問題要點探究

例1某公司試銷一種成本單價為500元/件的新產品,規定試銷時銷售單價不低于成本單價,又不高于800元/件.經試銷調查,發現銷售量y與銷售單價x(元/件)的圖象可近似看作一條直線,該直線經過(600,400)和(700,300)兩點.(1)求y關于x的函數關系式;(2)設公司獲得的毛利潤(毛利潤=銷售總價-成本總價)為S元,試用銷售單價x表示毛利潤S,并求銷售單價定為多少時,該公司可獲得最大毛利潤?最大毛利潤是多少?此時銷售量是多少?精選ppt第12講

│要點探究

[思路]根據函數圖象,可知y是x的一次函數,利用待定系數法可求得函數關系式;然后利用“毛利潤=銷售總價-成本總價”建立S與x的關系式,通過求函數的最值達到解題目的.[解答](1)由于y與x關系式的圖象為一條直線,因此設y=kx+b,∴解得k=-1,b=1000,∴y=-x+1000(500≤x≤800);精選ppt第12講

│要點探究

(2)S=xy-500y=x(-x+1000)-500(-x+1000)=-(x-750)2+62500(500≤x≤800),∴當銷售單價是750元/件時,可獲得最大毛利潤62500元,此時銷售量為250件.[點評]以函數圖象給出關系式的應用問題,先利用圖象形狀確定函數的類型,然后利用待定系數法求解;函數應用問題中,已知的等量關系也是解題的依據,它們常用來構造函數關系.精選ppt第12講

│要點探究

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│要點探究

(1)講課開始后多少分鐘,學生的注意力最集中?能持續多少分鐘?(2)講課開始后5分鐘與講課開始后25分鐘相比,何時學生的注意力更集中?(3)一道數學難題,需要講解24分鐘,并且要求學生的注意力至少達到180,那么經過適當安排,老師能否在學生達到所需狀態下講授完這道題目?精選ppt第12講

│要點探究

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?探究點2

建立函數模型解決實際應用問題

例3據氣象中心觀察和預測:發生于M地的沙塵暴一直向正南方向移動,其移動速度v(km/h)與時間t(h)的函數圖象如圖12-2所示,過線段OC上一點T(t,0)作橫軸的垂線l,梯形OABC在直線l左側部分的面積即為t(h)時間內沙塵暴所經過的路程s(km).(1)當t=4時,求s的值;(2)將s隨t變化的規律用數學關系式表示出來;(3)若N城位于M地正南方向,且距M地650km,試判斷這場沙塵暴是否會侵襲到N城,如果會,在沙塵暴發生后多長時間它將侵襲到N城?如果不會,請說明理由.圖12-2精選ppt第12講

│要點探究

精選ppt第12講

│要點探究

精選ppt第12講

│要點探究

精選ppt第12講

│要點探究

例4蘆薈是一種經濟價值很高的觀賞、食用植物,不僅可美化居室、凈化空氣,又可美容保健,因此深受人們歡迎,在國內占

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