第12講

│函數(shù)模型及其應(yīng)用第12講函數(shù)模型及其應(yīng)用精選ppt知識(shí)梳理第12講

│知識(shí)梳理

1．函數(shù)模型常用函數(shù)模型(1)一次函數(shù)模型：f(x)＝kx＋b(k，b為常數(shù)，k≠0)．(2)二次函數(shù)模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a、b、c為常數(shù)，a≠0)．(3)指數(shù)函數(shù)模型：f(x)＝abx＋c(a、b、c為常數(shù)，a≠0，b>0，b≠1)．(4)對(duì)數(shù)函數(shù)模型：f(x)＝mlogax＋n(m、n、a為常數(shù)，a>0，m≠0，a≠1)．(5)冪函數(shù)模型：f(x)＝axn＋b(a、b、n為常數(shù)，a≠0，n≠1)．(6)分段函數(shù)模型精選ppt第12講

│知識(shí)梳理

2．三種函數(shù)模型的性質(zhì)在區(qū)間(0，＋∞)上，指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>1)，對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>1)，冪函數(shù)y＝xn(n>0)都是增函數(shù)，但它們?cè)鲩L速度不同．隨著x的增大，指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>1)的增長速度越來越快，會(huì)超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于冪函數(shù)y＝xn(n>0)的增長速度，而對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>1)的增長速度則會(huì)越來越慢，圖象逐漸表示為與x軸趨于平行，因此，總會(huì)存在一個(gè)x0，當(dāng)x>x0時(shí)，就有l(wèi)ogax<xn<ax.3．函數(shù)模型的應(yīng)用(1)解答函數(shù)應(yīng)用題的步驟：①閱讀理解：讀懂題目中的文字?jǐn)⑹鏊从车膶?shí)際背景，領(lǐng)悟其中的數(shù)學(xué)本質(zhì)，弄清題中出現(xiàn)的量及其數(shù)學(xué)含義．精選ppt第12講

│知識(shí)梳理

②分析建模：分析題目中的量與量之間的關(guān)系，根據(jù)題意恰當(dāng)?shù)匾胱帜?包括常量與變量)，有時(shí)可借助列表、畫圖等手段來理順數(shù)量關(guān)系，同時(shí)要注意由已知條件聯(lián)想熟知的函數(shù)模型，以確定函數(shù)模型的種類，在對(duì)已知條件和目標(biāo)變量的綜合分析、歸納抽象的基礎(chǔ)上，建立目標(biāo)函數(shù)，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．③數(shù)學(xué)求解：利用相關(guān)的函數(shù)知識(shí)，進(jìn)行合理設(shè)計(jì)，以確定最佳解題方案，進(jìn)行數(shù)學(xué)上的求解計(jì)算．④還原總結(jié)：把計(jì)算獲得的結(jié)果還原到實(shí)際問題中去解釋實(shí)際問題，即對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行總結(jié)作答．精選ppt第12講

│知識(shí)梳理

(2)在實(shí)際問題中建立函數(shù)模型的算法程序：第一步：收集數(shù)據(jù)；第二步：根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出散點(diǎn)圖；第三步：根據(jù)點(diǎn)的分布特征，選擇一個(gè)能刻畫散點(diǎn)圖特征的函數(shù)模型；第四步：選擇其中的幾組數(shù)據(jù)求出函數(shù)模型；第五步：將已知數(shù)據(jù)代入所求出的函數(shù)模型進(jìn)行檢驗(yàn)，看其是否符合實(shí)際．若不符合實(shí)際，則重復(fù)第三、四、五步；若符合實(shí)際，則進(jìn)入下一步；第六步：用求得的函數(shù)模型去解決實(shí)際問題．精選ppt第12講

│知識(shí)梳理

以上過程可用程序框圖表示如圖12－1：圖12－1精選ppt第12講

│要點(diǎn)探究

?探究點(diǎn)1已知函數(shù)模型解決實(shí)際應(yīng)用問題要點(diǎn)探究

例1某公司試銷一種成本單價(jià)為500元/件的新產(chǎn)品，規(guī)定試銷時(shí)銷售單價(jià)不低于成本單價(jià)，又不高于800元/件．經(jīng)試銷調(diào)查，發(fā)現(xiàn)銷售量y與銷售單價(jià)x(元/件)的圖象可近似看作一條直線，該直線經(jīng)過(600,400)和(700,300)兩點(diǎn)．(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)設(shè)公司獲得的毛利潤(毛利潤＝銷售總價(jià)－成本總價(jià))為S元，試用銷售單價(jià)x表示毛利潤S，并求銷售單價(jià)定為多少時(shí)，該公司可獲得最大毛利潤？最大毛利潤是多少？此時(shí)銷售量是多少？精選ppt第12講

│要點(diǎn)探究

[思路]根據(jù)函數(shù)圖象，可知y是x的一次函數(shù)，利用待定系數(shù)法可求得函數(shù)關(guān)系式；然后利用“毛利潤＝銷售總價(jià)－成本總價(jià)”建立S與x的關(guān)系式，通過求函數(shù)的最值達(dá)到解題目的．[解答](1)由于y與x關(guān)系式的圖象為一條直線，因此設(shè)y＝kx＋b，∴解得k＝－1，b＝1000，∴y＝－x＋1000(500≤x≤800)；精選ppt第12講

│要點(diǎn)探究

(2)S＝xy－500y＝x(－x＋1000)－500(－x＋1000)＝－(x－750)2＋62500(500≤x≤800)，∴當(dāng)銷售單價(jià)是750元/件時(shí)，可獲得最大毛利潤62500元，此時(shí)銷售量為250件．[點(diǎn)評(píng)]以函數(shù)圖象給出關(guān)系式的應(yīng)用問題，先利用圖象形狀確定函數(shù)的類型，然后利用待定系數(shù)法求解；函數(shù)應(yīng)用問題中，已知的等量關(guān)系也是解題的依據(jù)，它們常用來構(gòu)造函數(shù)關(guān)系．精選ppt第12講

│要點(diǎn)探究

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│要點(diǎn)探究

(1)講課開始后多少分鐘，學(xué)生的注意力最集中？能持續(xù)多少分鐘？(2)講課開始后5分鐘與講課開始后25分鐘相比，何時(shí)學(xué)生的注意力更集中？(3)一道數(shù)學(xué)難題，需要講解24分鐘，并且要求學(xué)生的注意力至少達(dá)到180，那么經(jīng)過適當(dāng)安排，老師能否在學(xué)生達(dá)到所需狀態(tài)下講授完這道題目？精選ppt第12講

│要點(diǎn)探究

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│要點(diǎn)探究

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│要點(diǎn)探究

?探究點(diǎn)2

建立函數(shù)模型解決實(shí)際應(yīng)用問題

例3據(jù)氣象中心觀察和預(yù)測(cè)：發(fā)生于M地的沙塵暴一直向正南方向移動(dòng)，其移動(dòng)速度v(km/h)與時(shí)間t(h)的函數(shù)圖象如圖12－2所示，過線段OC上一點(diǎn)T(t,0)作橫軸的垂線l，梯形OABC在直線l左側(cè)部分的面積即為t(h)時(shí)間內(nèi)沙塵暴所經(jīng)過的路程s(km)．(1)當(dāng)t＝4時(shí)，求s的值；(2)將s隨t變化的規(guī)律用數(shù)學(xué)關(guān)系式表示出來；(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650km，試判斷這場(chǎng)沙塵暴是否會(huì)侵襲到N城，如果會(huì)，在沙塵暴發(fā)生后多長時(shí)間它將侵襲到N城？如果不會(huì)，請(qǐng)說明理由．圖12－2精選ppt第12講

│要點(diǎn)探究

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│要點(diǎn)探究

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│要點(diǎn)探究

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│要點(diǎn)探究

例4蘆薈是一種經(jīng)濟(jì)價(jià)值很高的觀賞、食用植物，不僅可美化居室、凈化空氣，又可美容保健，因此深受人們歡迎，在國內(nèi)占有很大的市場(chǎng)．某人準(zhǔn)備進(jìn)軍蘆薈市場(chǎng)，栽培蘆薈，為了了解行情，進(jìn)行市場(chǎng)調(diào)研，從4月1日起，蘆薈的種植成本Q(單位：元/10kg)與上市時(shí)間t(單位：天)的數(shù)據(jù)情況如下表：上市時(shí)間t50110250種植成本Q150108150精選ppt第12講

│要點(diǎn)探究

(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù)，從下列函數(shù)中選取一個(gè)最能反映蘆薈種植成本Q與上市時(shí)間t的變化關(guān)系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝alogbt；(2)利用你選擇的函數(shù)，求蘆薈種植成本最低時(shí)上市天數(shù)及最低種植成本．精選ppt第12講

│要點(diǎn)探究

[解答](1)由所提供的數(shù)據(jù)可知，反映蘆薈種植成本Q與上市時(shí)間t的變化關(guān)系的函數(shù)不可能是常值函數(shù)，故用函數(shù)Q＝at＋b，Q＝a·bt，Q＝alogbt中的任意一個(gè)來反映時(shí)都應(yīng)有a≠0，而上述三個(gè)函數(shù)均為單調(diào)函數(shù)，這與表格所提供的數(shù)據(jù)不符合，所以應(yīng)選用二次函數(shù)Q＝at2＋bt＋c進(jìn)行描述．精選ppt第12講

│要點(diǎn)探究

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│規(guī)律總結(jié)

規(guī)律總結(jié)1．把實(shí)際問題數(shù)學(xué)化、建立數(shù)學(xué)模型一定要過好三關(guān)：(1)事理關(guān)：通過閱讀、理解，明白問題講的是什么，熟悉實(shí)際背景，為解題找突破口．(2)文理關(guān)：將實(shí)際問題的文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號(hào)語言，用數(shù)學(xué)式子表達(dá)數(shù)學(xué)關(guān)系．(3)數(shù)理關(guān)：在構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的過程中，對(duì)已知數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行檢索，從而認(rèn)定或構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型．精選ppt第12講

│函數(shù)模型及其應(yīng)用第12講函數(shù)模型及其應(yīng)用精選ppt知識(shí)梳理第12講

│知識(shí)梳理

1．函數(shù)模型常用函數(shù)模型(1)一次函數(shù)模型：f(x)＝kx＋b(k，b為常數(shù)，k≠0)．(2)二次函數(shù)模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a、b、c為常數(shù)，a≠0)．(3)指數(shù)函數(shù)模型：f(x)＝abx＋c(a、b、c為常數(shù)，a≠0，b>0，b≠1)．(4)對(duì)數(shù)函數(shù)模型：f(x)＝mlogax＋n(m、n、a為常數(shù)，a>0，m≠0，a≠1)．(5)冪函數(shù)模型：f(x)＝axn＋b(a、b、n為常數(shù)，a≠0，n≠1)．(6)分段函數(shù)模型精選ppt第12講

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2．三種函數(shù)模型的性質(zhì)在區(qū)間(0，＋∞)上，指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>1)，對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>1)，冪函數(shù)y＝xn(n>0)都是增函數(shù)，但它們?cè)鲩L速度不同．隨著x的增大，指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>1)的增長速度越來越快，會(huì)超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于冪函數(shù)y＝xn(n>0)的增長速度，而對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>1)的增長速度則會(huì)越來越慢，圖象逐漸表示為與x軸趨于平行，因此，總會(huì)存在一個(gè)x0，當(dāng)x>x0時(shí)，就有l(wèi)ogax<xn<ax.3．函數(shù)模型的應(yīng)用(1)解答函數(shù)應(yīng)用題的步驟：①閱讀理解：讀懂題目中的文字?jǐn)⑹鏊从车膶?shí)際背景，領(lǐng)悟其中的數(shù)學(xué)本質(zhì)，弄清題中出現(xiàn)的量及其數(shù)學(xué)含義．精選ppt第12講

│知識(shí)梳理

②分析建模：分析題目中的量與量之間的關(guān)系，根據(jù)題意恰當(dāng)?shù)匾胱帜?包括常量與變量)，有時(shí)可借助列表、畫圖等手段來理順數(shù)量關(guān)系，同時(shí)要注意由已知條件聯(lián)想熟知的函數(shù)模型，以確定函數(shù)模型的種類，在對(duì)已知條件和目標(biāo)變量的綜合分析、歸納抽象的基礎(chǔ)上，建立目標(biāo)函數(shù)，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．③數(shù)學(xué)求解：利用相關(guān)的函數(shù)知識(shí)，進(jìn)行合理設(shè)計(jì)，以確定最佳解題方案，進(jìn)行數(shù)學(xué)上的求解計(jì)算．④還原總結(jié)：把計(jì)算獲得的結(jié)果還原到實(shí)際問題中去解釋實(shí)際問題，即對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行總結(jié)作答．精選ppt第12講

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(2)在實(shí)際問題中建立函數(shù)模型的算法程序：第一步：收集數(shù)據(jù)；第二步：根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出散點(diǎn)圖；第三步：根據(jù)點(diǎn)的分布特征，選擇一個(gè)能刻畫散點(diǎn)圖特征的函數(shù)模型；第四步：選擇其中的幾組數(shù)據(jù)求出函數(shù)模型；第五步：將已知數(shù)據(jù)代入所求出的函數(shù)模型進(jìn)行檢驗(yàn)，看其是否符合實(shí)際．若不符合實(shí)際，則重復(fù)第三、四、五步；若符合實(shí)際，則進(jìn)入下一步；第六步：用求得的函數(shù)模型去解決實(shí)際問題．精選ppt第12講

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以上過程可用程序框圖表示如圖12－1：圖12－1精選ppt第12講

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?探究點(diǎn)1已知函數(shù)模型解決實(shí)際應(yīng)用問題要點(diǎn)探究

例1某公司試銷一種成本單價(jià)為500元/件的新產(chǎn)品，規(guī)定試銷時(shí)銷售單價(jià)不低于成本單價(jià)，又不高于800元/件．經(jīng)試銷調(diào)查，發(fā)現(xiàn)銷售量y與銷售單價(jià)x(元/件)的圖象可近似看作一條直線，該直線經(jīng)過(600,400)和(700,300)兩點(diǎn)．(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)設(shè)公司獲得的毛利潤(毛利潤＝銷售總價(jià)－成本總價(jià))為S元，試用銷售單價(jià)x表示毛利潤S，并求銷售單價(jià)定為多少時(shí)，該公司可獲得最大毛利潤？最大毛利潤是多少？此時(shí)銷售量是多少？精選ppt第12講

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[思路]根據(jù)函數(shù)圖象，可知y是x的一次函數(shù)，利用待定系數(shù)法可求得函數(shù)關(guān)系式；然后利用“毛利潤＝銷售總價(jià)－成本總價(jià)”建立S與x的關(guān)系式，通過求函數(shù)的最值達(dá)到解題目的．[解答](1)由于y與x關(guān)系式的圖象為一條直線，因此設(shè)y＝kx＋b，∴解得k＝－1，b＝1000，∴y＝－x＋1000(500≤x≤800)；精選ppt第12講

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(2)S＝xy－500y＝x(－x＋1000)－500(－x＋1000)＝－(x－750)2＋62500(500≤x≤800)，∴當(dāng)銷售單價(jià)是750元/件時(shí)，可獲得最大毛利潤62500元，此時(shí)銷售量為250件．[點(diǎn)評(píng)]以函數(shù)圖象給出關(guān)系式的應(yīng)用問題，先利用圖象形狀確定函數(shù)的類型，然后利用待定系數(shù)法求解；函數(shù)應(yīng)用問題中，已知的等量關(guān)系也是解題的依據(jù)，它們常用來構(gòu)造函數(shù)關(guān)系．精選ppt第12講

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(1)講課開始后多少分鐘，學(xué)生的注意力最集中？能持續(xù)多少分鐘？(2)講課開始后5分鐘與講課開始后25分鐘相比，何時(shí)學(xué)生的注意力更集中？(3)一道數(shù)學(xué)難題，需要講解24分鐘，并且要求學(xué)生的注意力至少達(dá)到180，那么經(jīng)過適當(dāng)安排，老師能否在學(xué)生達(dá)到所需狀態(tài)下講授完這道題目？精選ppt第12講

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?探究點(diǎn)2

建立函數(shù)模型解決實(shí)際應(yīng)用問題

例3據(jù)氣象中心觀察和預(yù)測(cè)：發(fā)生于M地的沙塵暴一直向正南方向移動(dòng)，其移動(dòng)速度v(km/h)與時(shí)間t(h)的函數(shù)圖象如圖12－2所示，過線段OC上一點(diǎn)T(t,0)作橫軸的垂線l，梯形OABC在直線l左側(cè)部分的面積即為t(h)時(shí)間內(nèi)沙塵暴所經(jīng)過的路程s(km)．(1)當(dāng)t＝4時(shí)，求s的值；(2)將s隨t變化的規(guī)律用數(shù)學(xué)關(guān)系式表示出來；(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650km，試判斷這場(chǎng)沙塵暴是否會(huì)侵襲到N城，如果會(huì)，在沙塵暴發(fā)生后多長時(shí)間它將侵襲到N城？如果不會(huì)，請(qǐng)說明理由．圖12－2精選ppt第12講

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例4蘆薈是一種經(jīng)濟(jì)價(jià)值很高的觀賞、食用植物，不僅可美化居室、凈化空氣，又可美容保健，因此深受人們歡迎，在國內(nèi)占