第12講

│函數模型及其應用第12講函數模型及其應用精選ppt知識梳理第12講

│知識梳理

1．函數模型常用函數模型(1)一次函數模型：f(x)＝kx＋b(k，b為常數，k≠0)．(2)二次函數模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a、b、c為常數，a≠0)．(3)指數函數模型：f(x)＝abx＋c(a、b、c為常數，a≠0，b>0，b≠1)．(4)對數函數模型：f(x)＝mlogax＋n(m、n、a為常數，a>0，m≠0，a≠1)．(5)冪函數模型：f(x)＝axn＋b(a、b、n為常數，a≠0，n≠1)．(6)分段函數模型精選ppt第12講

│知識梳理

2．三種函數模型的性質在區間(0，＋∞)上，指數函數y＝ax(a>1)，對數函數y＝logax(a>1)，冪函數y＝xn(n>0)都是增函數，但它們增長速度不同．隨著x的增大，指數函數y＝ax(a>1)的增長速度越來越快，會超過并遠遠大于冪函數y＝xn(n>0)的增長速度，而對數函數y＝logax(a>1)的增長速度則會越來越慢，圖象逐漸表示為與x軸趨于平行，因此，總會存在一個x0，當x>x0時，就有logax<xn<ax.3．函數模型的應用(1)解答函數應用題的步驟：①閱讀理解：讀懂題目中的文字敘述所反映的實際背景，領悟其中的數學本質，弄清題中出現的量及其數學含義．精選ppt第12講

│知識梳理

②分析建模：分析題目中的量與量之間的關系，根據題意恰當地引入字母(包括常量與變量)，有時可借助列表、畫圖等手段來理順數量關系，同時要注意由已知條件聯想熟知的函數模型，以確定函數模型的種類，在對已知條件和目標變量的綜合分析、歸納抽象的基礎上，建立目標函數，將實際問題轉化為數學問題．③數學求解：利用相關的函數知識，進行合理設計，以確定最佳解題方案，進行數學上的求解計算．④還原總結：把計算獲得的結果還原到實際問題中去解釋實際問題，即對實際問題進行總結作答．精選ppt第12講

│知識梳理

(2)在實際問題中建立函數模型的算法程序：第一步：收集數據；第二步：根據收集到的數據在平面直角坐標系內畫出散點圖；第三步：根據點的分布特征，選擇一個能刻畫散點圖特征的函數模型；第四步：選擇其中的幾組數據求出函數模型；第五步：將已知數據代入所求出的函數模型進行檢驗，看其是否符合實際．若不符合實際，則重復第三、四、五步；若符合實際，則進入下一步；第六步：用求得的函數模型去解決實際問題．精選ppt第12講

│知識梳理

以上過程可用程序框圖表示如圖12－1：圖12－1精選ppt第12講

│要點探究

?探究點1已知函數模型解決實際應用問題要點探究

例1某公司試銷一種成本單價為500元/件的新產品，規定試銷時銷售單價不低于成本單價，又不高于800元/件．經試銷調查，發現銷售量y與銷售單價x(元/件)的圖象可近似看作一條直線，該直線經過(600,400)和(700,300)兩點．(1)求y關于x的函數關系式；(2)設公司獲得的毛利潤(毛利潤＝銷售總價－成本總價)為S元，試用銷售單價x表示毛利潤S，并求銷售單價定為多少時，該公司可獲得最大毛利潤？最大毛利潤是多少？此時銷售量是多少？精選ppt第12講

│要點探究

[思路]根據函數圖象，可知y是x的一次函數，利用待定系數法可求得函數關系式；然后利用“毛利潤＝銷售總價－成本總價”建立S與x的關系式，通過求函數的最值達到解題目的．[解答](1)由于y與x關系式的圖象為一條直線，因此設y＝kx＋b，∴解得k＝－1，b＝1000，∴y＝－x＋1000(500≤x≤800)；精選ppt第12講

│要點探究

(2)S＝xy－500y＝x(－x＋1000)－500(－x＋1000)＝－(x－750)2＋62500(500≤x≤800)，∴當銷售單價是750元/件時，可獲得最大毛利潤62500元，此時銷售量為250件．[點評]以函數圖象給出關系式的應用問題，先利用圖象形狀確定函數的類型，然后利用待定系數法求解；函數應用問題中，已知的等量關系也是解題的依據，它們常用來構造函數關系．精選ppt第12講

│要點探究

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│要點探究

(1)講課開始后多少分鐘，學生的注意力最集中？能持續多少分鐘？(2)講課開始后5分鐘與講課開始后25分鐘相比，何時學生的注意力更集中？(3)一道數學難題，需要講解24分鐘，并且要求學生的注意力至少達到180，那么經過適當安排，老師能否在學生達到所需狀態下講授完這道題目？精選ppt第12講

│要點探究

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│要點探究

?探究點2

建立函數模型解決實際應用問題

例3據氣象中心觀察和預測：發生于M地的沙塵暴一直向正南方向移動，其移動速度v(km/h)與時間t(h)的函數圖象如圖12－2所示，過線段OC上一點T(t,0)作橫軸的垂線l，梯形OABC在直線l左側部分的面積即為t(h)時間內沙塵暴所經過的路程s(km)．(1)當t＝4時，求s的值；(2)將s隨t變化的規律用數學關系式表示出來；(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650km，試判斷這場沙塵暴是否會侵襲到N城，如果會，在沙塵暴發生后多長時間它將侵襲到N城？如果不會，請說明理由．圖12－2精選ppt第12講

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│要點探究

例4蘆薈是一種經濟價值很高的觀賞、食用植物，不僅可美化居室、凈化空氣，又可美容保健，因此深受人們歡迎，在國內占有很大的市場．某人準備進軍蘆薈市場，栽培蘆薈，為了了解行情，進行市場調研，從4月1日起，蘆薈的種植成本Q(單位：元/10kg)與上市時間t(單位：天)的數據情況如下表：上市時間t50110250種植成本Q150108150精選ppt第12講

│要點探究

(1)根據上表數據，從下列函數中選取一個最能反映蘆薈種植成本Q與上市時間t的變化關系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝alogbt；(2)利用你選擇的函數，求蘆薈種植成本最低時上市天數及最低種植成本．精選ppt第12講

│要點探究

[解答](1)由所提供的數據可知，反映蘆薈種植成本Q與上市時間t的變化關系的函數不可能是常值函數，故用函數Q＝at＋b，Q＝a·bt，Q＝alogbt中的任意一個來反映時都應有a≠0，而上述三個函數均為單調函數，這與表格所提供的數據不符合，所以應選用二次函數Q＝at2＋bt＋c進行描述．精選ppt第12講

│要點探究

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│規律總結

規律總結1．把實際問題數學化、建立數學模型一定要過好三關：(1)事理關：通過閱讀、理解，明白問題講的是什么，熟悉實際背景，為解題找突破口．(2)文理關：將實際問題的文字語言轉化為數學符號語言，用數學式子表達數學關系．(3)數理關：在構建數學模型的過程中，對已知數學知識進行檢索，從而認定或構建相應的數學模型．精選ppt第12講

│函數模型及其應用第12講函數模型及其應用精選ppt知識梳理第12講

│知識梳理

1．函數模型常用函數模型(1)一次函數模型：f(x)＝kx＋b(k，b為常數，k≠0)．(2)二次函數模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a、b、c為常數，a≠0)．(3)指數函數模型：f(x)＝abx＋c(a、b、c為常數，a≠0，b>0，b≠1)．(4)對數函數模型：f(x)＝mlogax＋n(m、n、a為常數，a>0，m≠0，a≠1)．(5)冪函數模型：f(x)＝axn＋b(a、b、n為常數，a≠0，n≠1)．(6)分段函數模型精選ppt第12講

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2．三種函數模型的性質在區間(0，＋∞)上，指數函數y＝ax(a>1)，對數函數y＝logax(a>1)，冪函數y＝xn(n>0)都是增函數，但它們增長速度不同．隨著x的增大，指數函數y＝ax(a>1)的增長速度越來越快，會超過并遠遠大于冪函數y＝xn(n>0)的增長速度，而對數函數y＝logax(a>1)的增長速度則會越來越慢，圖象逐漸表示為與x軸趨于平行，因此，總會存在一個x0，當x>x0時，就有logax<xn<ax.3．函數模型的應用(1)解答函數應用題的步驟：①閱讀理解：讀懂題目中的文字敘述所反映的實際背景，領悟其中的數學本質，弄清題中出現的量及其數學含義．精選ppt第12講

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②分析建模：分析題目中的量與量之間的關系，根據題意恰當地引入字母(包括常量與變量)，有時可借助列表、畫圖等手段來理順數量關系，同時要注意由已知條件聯想熟知的函數模型，以確定函數模型的種類，在對已知條件和目標變量的綜合分析、歸納抽象的基礎上，建立目標函數，將實際問題轉化為數學問題．③數學求解：利用相關的函數知識，進行合理設計，以確定最佳解題方案，進行數學上的求解計算．④還原總結：把計算獲得的結果還原到實際問題中去解釋實際問題，即對實際問題進行總結作答．精選ppt第12講

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(2)在實際問題中建立函數模型的算法程序：第一步：收集數據；第二步：根據收集到的數據在平面直角坐標系內畫出散點圖；第三步：根據點的分布特征，選擇一個能刻畫散點圖特征的函數模型；第四步：選擇其中的幾組數據求出函數模型；第五步：將已知數據代入所求出的函數模型進行檢驗，看其是否符合實際．若不符合實際，則重復第三、四、五步；若符合實際，則進入下一步；第六步：用求得的函數模型去解決實際問題．精選ppt第12講

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以上過程可用程序框圖表示如圖12－1：圖12－1精選ppt第12講

│要點探究

?探究點1已知函數模型解決實際應用問題要點探究

例1某公司試銷一種成本單價為500元/件的新產品，規定試銷時銷售單價不低于成本單價，又不高于800元/件．經試銷調查，發現銷售量y與銷售單價x(元/件)的圖象可近似看作一條直線，該直線經過(600,400)和(700,300)兩點．(1)求y關于x的函數關系式；(2)設公司獲得的毛利潤(毛利潤＝銷售總價－成本總價)為S元，試用銷售單價x表示毛利潤S，并求銷售單價定為多少時，該公司可獲得最大毛利潤？最大毛利潤是多少？此時銷售量是多少？精選ppt第12講

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[思路]根據函數圖象，可知y是x的一次函數，利用待定系數法可求得函數關系式；然后利用“毛利潤＝銷售總價－成本總價”建立S與x的關系式，通過求函數的最值達到解題目的．[解答](1)由于y與x關系式的圖象為一條直線，因此設y＝kx＋b，∴解得k＝－1，b＝1000，∴y＝－x＋1000(500≤x≤800)；精選ppt第12講

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(2)S＝xy－500y＝x(－x＋1000)－500(－x＋1000)＝－(x－750)2＋62500(500≤x≤800)，∴當銷售單價是750元/件時，可獲得最大毛利潤62500元，此時銷售量為250件．[點評]以函數圖象給出關系式的應用問題，先利用圖象形狀確定函數的類型，然后利用待定系數法求解；函數應用問題中，已知的等量關系也是解題的依據，它們常用來構造函數關系．精選ppt第12講

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(1)講課開始后多少分鐘，學生的注意力最集中？能持續多少分鐘？(2)講課開始后5分鐘與講課開始后25分鐘相比，何時學生的注意力更集中？(3)一道數學難題，需要講解24分鐘，并且要求學生的注意力至少達到180，那么經過適當安排，老師能否在學生達到所需狀態下講授完這道題目？精選ppt第12講

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?探究點2

建立函數模型解決實際應用問題

例3據氣象中心觀察和預測：發生于M地的沙塵暴一直向正南方向移動，其移動速度v(km/h)與時間t(h)的函數圖象如圖12－2所示，過線段OC上一點T(t,0)作橫軸的垂線l，梯形OABC在直線l左側部分的面積即為t(h)時間內沙塵暴所經過的路程s(km)．(1)當t＝4時，求s的值；(2)將s隨t變化的規律用數學關系式表示出來；(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650km，試判斷這場沙塵暴是否會侵襲到N城，如果會，在沙塵暴發生后多長時間它將侵襲到N城？如果不會，請說明理由．圖12－2精選ppt第12講

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例4蘆薈是一種經濟價值很高的觀賞、食用植物，不僅可美化居室、凈化空氣，又可美容保健，因此深受人們歡迎，在國內占