第26章銳角三角函數小結與復習教學目標:1、使學生會把實際問題轉化為解直角三角形問題，從而會把實際問題轉化為數學問題來解決；2、逐步培養學生分析問題、解決問題的能力；3、滲透數學來源于實踐又反過來作用于實踐的觀點，培養學生用數學的意識．教學重點：要求學生善于將某些實際問題中的數量關系，歸結為直角三角形元素之間的關系，從而利用所學知識把實際問題解決．教學難點：實際問題轉化成數學模型．教學過程：知識回顧：在解答解直角三角形應用題型時，我們已經掌握解直角三角形必備的基本知識及其相互間的關系：（1）三邊之間的關系：勾股定理（2）兩銳角之間的關系：兩銳角互余（3）邊角之間的關系：銳角三角函數我們知道在解直角三角形有關的應用題時，有的題只需在一個直角三角形中就可解決問題，這種情況可把它叫做“單直角三角形問題”。解“單直角三角形問題”只要我們具備上述的知識及關系，基本能夠解決問題了。而有的情況需要兩個直角三角形相互配合才能決問題，這種情況可把它叫做“雙直角三角形問題”。解決這類問題，我們除具備上述的知識及關系外，還需要具有一定的觀察、分析及轉化問題的能力，再掌握一些在解題過程中總結出來的行之有效的模式才能迅速解決問題。本節課，我們把“雙直角三角形問題”分成幾種題型來進行討論。活動一：第一種題型：“一點兩角一線段”，此種題型又可分為兩種情況：第1種情況：對應圖形的特點是：兩直角三角形有“一已知的公共邊”，“已知兩角”有一“公供頂點”，“公供頂點”在“已知公共邊”的“同一端點”處，“已知兩角”分別在“已知公共邊”的“兩側”，這“一已知公共邊‘垂直于’所求線段”。故形象地稱這種題型為“一點兩角一線段”題例1如圖，熱氣球的探測器顯示，從熱氣球看一棟高樓頂部的仰角為30o，看這棟離樓底部的俯角為60o，熱氣球與高樓的水平距離為120m.這棟高樓有多高(結果精確到?分析：在中，，m所以可以利用解直角三角形的知識求出BD；類似地可以在Rt△ACD中求出CD，進而求出BC.幾何法：解：如圖,在△ABD和△ACD中，,m∴∴答:這棟樓高約為.代數法：如果設所求線段BC=xm，AD=L，∠BAD=α、∠CAD=β，那么把它們代入上面的解答過程求解，可歸納成一個比較簡明扼要的公式模型：……①運用公式①進行代數法解答如下：解：設所求線段BC=Xm，L=AD=120m，α=∠BAD=300，β=∠CAD=600，由題意得方程：答：這棟樓高約為顯然，代數解法簡化了很多。活動二：第2種情況：對應圖形的特點是：兩直角三角形有“一已知的公共邊”，“已知兩角”有一“公供頂點”，“公供頂點”在“已知公共邊”的“同一端點”處，“已知兩角”分別在“已知公共邊”的“兩側”，這“一已知公共邊‘垂直’于所求線段”。故這種題型也形象地稱為“一點兩角一線段”題。例2、如圖，建筑物BC上有一旗桿,由距40m的D處觀察旗桿頂部A的仰角為50o，觀察旗桿底部B的仰角為45o，求旗桿的高度（精確到）。分析：在Rt△ADC中，DC=40m,∠ADC=500，所以可以利用解直角三角形的知識求出AC;類似地可以在Rt△BDC中求出BC，進而求出AB.幾何法：解：如圖,在Rt△ADC中和Rt△BDC中∠ADC=500，∠BDC=450，DC=40mAC=DC·tan500≈40×＝；BC=DC·tan450=40×1=40∴AB=AC-BC==≈答:旗桿高約為m.代數法：如果設所求線段AB=xm，DC=L，∠ADC=α、∠BDC=β，那么把它們代入按上面的解答過程求解，可歸納成一個比較簡明扼要的公式模型：……②（注意：只要括號內是大角的正切值減去小角的正切值，就能夠保證結果是正值）。運用公式②進行代數法解答如下：解：設AB=xm，L=DC=40m，α=∠ADC=500β=∠BDC=450，由題意得方程答:旗桿高約為m。顯然，代數解法簡化了很多。活動三：第二種題型“兩點兩角一線段”。對應圖形的特點是：兩直角三角形有“一已知的公共線段”，“已知兩角的頂點”分別在“已知公線段的兩端點”處，“已知兩角”分別在“已知公共線段”所在直線的“同側”，這“一已知的公共線段”的延長線“垂直”于所求線段。故形象地稱這種題型為“兩點兩角一線段”題。例3、如圖，已知：在塔前的平地上選擇一點A，測出這點看塔頂的仰角∠DAC=350，在A點和塔之間的水平線AC上，選擇一點B，測這點看塔頂的仰角∠DBC=500，AB=20m.求塔DC的高度。幾何法：解：由題意得∠DCB=∠DCA=900在Rt△BCD中，∵∠DBC=500∴在Rt△ACD中，∵∠DAC=350，∴DC=AC·tan∠DAC=（AB+BC）·tan∠DAC=AB·tan∠DAC+BC·ta∠DAC=20×tan350+BC×tan350把代入進行計算：DC=20×tan350+×tan350DCtan500=20×tan350×tan500+DC·tan350DC·tan500-DC·tan350=20×tan350×tan500DC·（tan500-tan350）=20×tan350×tan500答：塔高約為.代數法：如果設所求線段DC=xm，∠DAC=β，∠DBC=α，AB=L，那么把它們代入，按上面的解答過程求解，可歸納成一個比較簡明扼要的公式模型：……③（注意：分母只要是大角的正切值減去小角的正切值，就能保證結果是正值）。運用公式③進行代數法解答如下：解：設DC=Xm，β=∠DAC=350，α=∠DBC=500，L=AB=20m，由題意可得方程：答：塔高約為.課后小結：三個公式的運用價值的分析思考與評價：1、三個公式完全實用于符合“雙直角三角形問題”的“一點兩角一線段”、“兩點兩角一線段”等題的已知條件及圖形特點的題型，是具有很強的代表性的，可作為解決具有此類應用問題題型的公式模型。故其實用價值是高的。2、用三個公式進行代數解答，不會失去幾何解答的合理性和科學性。3、為了正確運用、深刻理解和記憶這三個公式，可引導學生親自動手參與推導，并指出在運用公式時，要注意要嚴格確定題型的已知條件和圖形特征是否已經符合公式要求，只有這樣才能正確高效地使用公式。三個公式中的三角函數值都是正切值。公式①、②針對的是“一點兩角一線段”的題型，一點在指什么、在哪里？兩角是指什么、在哪里？一線段又是指什么、在哪里？為什么是一加一減？圖形有什么不同或相同點？相減時分母中的大角的正切值應在什么位置時才不會出現負數？公式③針對的是“兩點兩角一線段”的題型，兩點在指什么、在哪里？兩角是指什么？在哪里？一線段又是指什么、在哪里？適合公式①②的題對應的圖形，直觀上看，正因為兩角在已知公供線段的異側，或兩角在已知公供線段的同側才形成了所求線段是由兩條線段相加或相減所得，故公式中間用加號或減號，因此兩公式可合起來記憶，只是中間是一加一減。適合公式③的題型與適合公式①、②的是不同的，就圖形而言最根本的區別是：兩已知角的頂點是否在已知線段的同一端點，已知線段是直接垂直所求線段還是其延長線垂直于所求線段。且公式③是一分式。公式①、②都是多項式。學生練習：1、如圖，上午10點整，不明漁輪在小島上哨所A的南偏西30°方向的O處，不明漁輪正以每小時10海里的速度向O點的正東方向行駛，哨所A距離正東方向的OB直線8海里，漁輪至B處時，從哨所A上的測得B點在哨所向南偏東60°方向．那么漁輪到達正東方向B點時是什么時間？(精確到1分)．分析說明：此題的圖形可看成是由公式①的原圖形經過順時針旋轉900所得，可過A點作AD⊥OB于D，這樣，觀察圖形知：一點是A，兩已知角是∠OAD，∠BAD，已知一線段是AD，兩角的頂點都在已知一線段AD的同一瑞點A處所求線段是OB同。從圖形特點和已知條件分析，可發現它仍就是“一點兩角一線段”第1種情況的題型特點，只是圖形的位置發生了變動，當然以可用公式①求解。45°ABCD60°2、如圖，小蕓在自家樓房的窗戶A處，測量樓前的一棵樹CD的高.現測得樹頂C處的俯角為450，樹底D處的俯角為60°，樓底到大樹的距離BD為20米.請你幫助小蕓計算樹的高度（精確到米）．（2009年云南省中考題，第17題，分值8分。此題與人教版九年級下冊解直角三角形，第45°ABCD60°先看幾何法解答：解：過點A作AE∥BD交DC的延長線于點E，則∠AEC=∠BDC=90°．45°ABED45°ABED60°C∴． 3分∵，∴， 6分（米）．答：樹高約為米． 8分分析說明：此題的圖形可看成是由公式②的原圖形以已知線段AE所在的直線為對稱軸翻轉1800所得。延長CD交過A點的平行線AE于E點，∠AED=900，通過添加軒輔助線后，觀察一點是A點，已知兩角∠DAE=600、∠C=450，的頂點都在已知線段AE（AE=BD）的同一端點A，已知線段是AE=BD=20米。從圖形特點和已知條件分析，可發現它就是“一點兩角一線段第2情況”的題型，只是圖形的位置發生了變動，故可用公式②求解。如果從代數法解答的角度思考，過點A作AE∥BD，AE交DC的延長線于點E，設DC=X米，∠α=∠DAE=600，∠β=∠CAE=300，L=BD=AE=20米，代入公式②得方程：,很快就可出CD的長度。3、上午10時，我軍駐某海島上的觀察所A發現海上有一艘敵軍艦艇正從C處向海島駛來，當時的俯角，經過5分鐘后，艦艇到達D處，測得俯角。已知觀察所A距水面高度為80米，我軍武器射程為100米，現在必須迅速計算出艦艇何時駛入我軍火力射程之內，以便及時還擊。分析說明：此題的圖形可看成是由公式②的原圖形經過圖形一定的圖形變換所得。要計算出艦艇何時駛入我軍火力射程內，就是要求敵艦艇剛好進入我軍火力100米射程的時刻，求時間就得知道路程和速度，求艦艇的速度時，可先求出路程CD的長，然后用已知C處到A處的時間是5分鐘，進而可求得艦艇的速度，接著可求艦艇10：05分從D處至BD方向100米處的時間，最終求得敵艦艇剛好進入我軍火力100米射程的時刻。在求解的過程中，求線段CD的長時，從圖形特點和已知條件分析看，它就是“一點兩角一線段”的題型，一點是A點，只是圖形的位置發生了變動，兩角為∠CAB=900-α，∠DAB=900-β，此兩角可通過兩個俯角的值及互余關系求得，因此仍可用公式②求解。即CD=AB（tan∠CAB-tan∠DAB）=80·［tan（900-α）-tan（900-β）］。圖14、如圖1，一枚運載火箭從地面處發射，當火箭到達點時，從地面處的雷達站測得仰角是．后，火箭到達點，此時測得仰角為，OC的距離是米，解答下列問題：圖1（1）火箭到達點時距離發射點有多遠（精確到）？（2）火箭從點到點的平均速度是多少（精確到s）？分析說明：第（1）問，只要在單Rt△OBC中，利用已知的邊角關系并可求出BC長。而第（2）問中求火箭從A點到B點的平均速度是多少，就是要先求出AB的長，從而求出火箭的平均速度。從圖形特點和已知條件分析，求AB的長它，就是“一點兩角一線段”的題型，只是圖形的位置發生了變動，可用公式②求解。5、（人教版九年級下冊，解直角三角形，第99頁數學活動2測量塔高）如圖（1）在塔前的平地點選擇一點A，用活動1中制作的測角儀測出你看塔頂的仰角α；（2）在A點和塔之間選擇一點B，測出你由B點看塔頂的仰角β；（3）量出A、B兩點的距離；（4）計算塔的高度．分析說明：此題的求解從圖形特點和已知條件分析，它就是“兩點兩角一線段”的題型個，可用公式③,X的值再加上人的高度就可得塔的高度只是把分母中的小角α和大角β的值互相調換，保證結果為正值。很快就可得塔的高度。6、如圖6-32，海島A的周圍8海里內有暗礁，魚船跟蹤魚群由西向東航行，在點B處測得海島A位于北偏東600，航行12海里到達點C處，又測得海島A位于北偏東30°，如果魚船不改變航向繼續向東航行．有沒有觸礁的危險？分析說明：有沒有觸礁的危險，關鍵是看海島A到直線BC的距離，有沒有小于8海里，小于8海里就有可能觸礁，反之就不可能觸礁。所以必須過A點作BC的垂線段AD，垂足為D，這樣就可得適合“兩點兩角一線段”的題型圖形，從圖形特點和已知條件分析，∠ABD、∠ACD值都可由兩個已知的方位角求得，故可用公式③求解。解：設AD=X海里，∠α=∠ACD=600，∠β=∠ABD=300，得方程,很快就可得AD的長度。知識拓展：1、圖形特點及已知條件不變，而僅是原圖形的位置改變時的處理由于許多時候都可能出現，圖形位置改變但仍適合我們歸納的題型公式的圖形，但這時我們仍然根據已知條件及圖形特點使用公式求解即可。例如：（1）適合歸納的題型公式①的“一點兩角一線段”第1種情況的原圖形與它的變位圖形。（2）適合歸納的題型公式②的“一點兩角一線段”第2種情況的原圖形與它的變位圖形。（3）適合我們歸納的題型公式③的“兩點兩角一線段”的原圖形與它的變位圖形。只要是符合我們歸納的三種題型的已知條件和圖形特點，僅僅是圖形的位置發生改變，那么，首先認真觀察圖形，并進行旋轉等圖形變換，不斷地變成自己已習慣的原圖形位置后，