一、選

作業 A組基礎函數y＝x2lnx的導數為( 解析由導數的計算 x(2lnx＋1)＝x(lnx＋1)＝xln(ex)答案已知函數y＝f(x)的圖象在點(1，f(1))處的切線方程是21＝0，則f(1)＋2f′(1)＝( 23

解析因為點(1，f(1))在直線x－2y＋1＝0上，所以＝0，得f(1)＝1。又f′(1)＝1，所以f(1)＋2f′(1)＝1＋2×1＝2 答案 已知曲線y＝4－3lnx的一條切線的斜率為2，則切點的橫標為 2 2x2xx0切線的斜率為1，所以y′|x＝x0＝x03＝1，解得x0＝3(舍去22)，即切點的橫坐標為3

答案設曲線y＝ax－ln(x＋1)在點(0,0)處的切線方程為y＝2x，則 解析y′＝a－ 根據已知得當x＝0時，y′＝2，代入解a＝3答案5．(2016·洛陽一模)已知直線m：x＋2y－3＝0，函數＋cosx的圖lPl⊥mP點的坐標可能 －2，－2 B.，2 C.2 －2，－ 2因為y＝3x＋cosx的圖象與直線l相切于點PP(a，b)22＝3a＋cosa且y′|x＝a＝3－sina＝2，所以sina＝1，解得2 ∈Z)，所以b＝3π＋6kπ(k∈Z)，所以P ＋6kπ(k∈Z)，2k＝0時，Pπ，3π。故選B

2 2 答案已知函數f(x)＝x2的圖象在點A(x1，f(x1))與點B(x2，f(x2))處的切線互相垂直，并交于點P，則點P的坐標可能是(

D.1，－12解析由題，A(x1，x2)，B(x2，x2)，f′(x)＝2x，則過A，B兩12的切線斜率k1＝2x1，k2＝2x2，又切線互相垂直，所以k1k2＝－1，x1x2＝－1。兩條切線方程分別為l1：y＝2x1x－x2，l2：y＝2x2x－x2， 立得4＝x1x2＝－1，故選D4答案二、填

x已知曲線y1＝2－1與y2＝x3－x2＋2x在x＝x0處的切線的斜率的乘積為3，則x0的值為 x解析由題知，y1′＝1，y2′＝3x2－2x＋2，所以兩曲線在 3x2 x處的切線的斜率分別 xx xx x0＝1答案已知函數y＝f(x)及其導函數y＝f′(x)的圖象如圖所示，則曲線y＝f(x)在點P處的切線方程是 解析根據導數的幾何意義及圖象可知，曲線y＝f(x)在點P處答案曲線y＝log2x在點(1,0)處的切線與坐標軸所圍三角形的面積 解析∵y′＝1，∴k＝1 ∴切線方程為y＝1(x－1)∴三角形面積為

1×

＝1 2答答

2log已知直線y＝－x＋1數

x圖象的切線解析設切點為(x0，y0)，則

∴ex0＝a，又

0＝－x0＋1，∴x0＝2，∴a＝e2答案三、解已知函數f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)f(x)的圖象過原點，且在原點處的切線斜率為－3，求a，b的值；若曲線y＝f(x)存在兩條垂y軸的切線a的取值范解f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)由題意得解得b＝0，a＝－3a＝1∵曲線y＝f(x)存在兩條垂直于y軸的切線∴關于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有兩個不相∴Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)>0，即22 ∴a的取值范圍是

，＋∞ 已知函數f(x)＝x3－ax2＋10(1)當a＝1時，求曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線方程(2)若在區間[1,2]內至少存在一個實數x，使得f(x)<0成立，求實a的取值范圍。解(1)a＝1曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線斜率∴曲線y＝f(x)在點(2f(2))處的切線方程為y－14＝8(x－2)－y－2＝0 (2)由已知得a>xx2 設 ≤x≤2)，則x2 ∴g′(x)<0，∴g(x)在區間[1,2]上是減函數 即實數a的取值范圍是2，＋∞ B組能力提13．(2015·鄭州二測)如圖，y＝f(x)是可導函數，直線l：y＝kx＋2是曲線y＝f(x)在x＝3處的切線，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的導函數，則g′(3)＝() 3于－133f′(3)＝－1。又33f′(3)，由題圖可知f(3)＝1，所以

＝0答案14．(2016·湖南六校聯考)設點P在曲線y＝2ex上，點Q在曲y＝lnx－ln2上，則|PQ|的最小值為( B. D.2解析由已知可得y＝2ex與y＝lnx－ln2＝lnx互為反函數，即2x＝2exy＝lnx－ln2的圖象x－y＝0對稱，|PQ|的最小值為點Q到直線x－y＝0的最小距離的2倍，令Q(t，lnt－ln2)Q的切線與直線x－y＝0平行y＝lnx－ln2的導數為y′＝1，xtt距離為

2＝2

2(1＋ln2)已知函數f(x)的導函數為f′(x)，且滿足

3，則 解析

3＋x2。令x＝1，得f(0)＝1。在

0，得f(0)＝f′(1)e－1＝1，所以f′(1)＝e，所以f(x)＝ex－x＋13答案ex－x2已知函數f(x)＝aex＋x2，g(x)＝sinπx＋bx，直線l與曲線y＝f(x)切于點(0，f(0))，且與曲線y＝g(x)切于點(1，g(1))。2(1)a，b的值和直線l的方程(2)證明：f(x)>g(x)解 2cos曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程為y＝ax＋a，曲線在點(1，g(1))處的切線方程為y＝b(x－1)＋1＋b，即y＝bx＋1。依題意，有a＝b＝1，直線l的方程為y＝x＋1。2(2)證明：由(1)知f(x)＝ex＋x2，g(x)＝sinπx＋x2F(x)＝f(x)－(x＋1)＝ex＋x2－x－1，則F′(x)＝ex＋2x－1，x∈(－∞，0)時，F′(x)<F′(0)＝0