南江中學(xué)高2023級高三下學(xué)期4月數(shù)學(xué)測試題滿分150分，考試時(shí)間120分鐘一、選擇題，本大題有10個(gè)小題，每小題5分，共50分，每小題有一個(gè)正確選項(xiàng)，請將正確選項(xiàng)涂在答題卷上.1.中，角的對邊分別為，若，則（）2．《張丘建算經(jīng)》卷上第22題為：今有女善織，日益功疾，且從第2天起，每天比前一天多織相同量的布，若第1天織5尺布，現(xiàn)在一月（按30天計(jì)）共織390尺布，則每天比前一天多織________尺布。（不作近似計(jì)算）（）A.B.C.D.3．若在上是減函數(shù)，則b的取值范圍是（）4.已知平面和直線，給出條件：①；②；③；④；⑤能推導(dǎo)出的是（）①④①⑤②⑤③⑤5．已知數(shù)列滿足，則等于()6．在中，若、、分別為角、、的對邊，且，則有（）．成等比數(shù)列．成等差數(shù)列．成等差數(shù)列．成等比數(shù)列7.設(shè)是所在平面上的一點(diǎn)，且是中點(diǎn)，則的值為（）8．若存在過點(diǎn)(1,0)的直線與曲線和都相切,則()A.或B.或C.或D.或9.已知滿足約束條件，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)在約束條件下取到最小值時(shí)，的最小值為（）10.我們把具有以下性質(zhì)的函數(shù)稱為“好函數(shù)”：對于在定義域內(nèi)的任意三個(gè)數(shù)，若這三個(gè)數(shù)能作為三角形的三邊長，則也能作為三角形的三邊長.現(xiàn)有如下一些函數(shù)： ①②③，④，.其中是“好函數(shù)”的序號有（）A.①②B.①②③C.②③④D.①③④二、填空題，本大題共5個(gè)小題，每小題5分，共25分，請將正確答案填在答題卷上.11.已知指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的圖像都過，如果，那么12．13.定義在上的奇函數(shù)滿足，且不等式在上恒成立，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為14.已知命題函數(shù)在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．命題在區(qū)間內(nèi)恒成立．若命題“且”是假命題，實(shí)數(shù)的取值范圍是．15.給出定義：若，則叫做實(shí)數(shù)的“親密函數(shù)”，記作，在此基礎(chǔ)上給出下列函數(shù)的四個(gè)命題：①函數(shù)在上是增函數(shù)；②函數(shù)是周期函數(shù)，最小正周期為1；③函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱；④當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).其中正確命題的序號是三、解答題，本大題共6個(gè)小題，共75分，請將答案及過程寫在答題卷上.16.（12分）已知函數(shù)（1）求得最小正周期；（2）求在區(qū)間上的取值范圍.17.（12分）已知數(shù)列滿足.（Ⅰ）證明數(shù)列是等差數(shù)列；（Ⅱ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅲ）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.18.(12分)為一個(gè)等腰三角形形狀的空地，腰的長為3（百米），底的長為4（百米）.現(xiàn)決定在空地內(nèi)筑一條筆直的小路（寬度不計(jì)），將該空地分成一個(gè)四邊形和一個(gè)三角形，設(shè)分成的四邊形和三角形的周長相等，面積分別為和.（1）若小路一端為的中點(diǎn)，求此時(shí)小路的長度；（2）若小路的端點(diǎn)兩點(diǎn)分別在兩腰上，求得最小值.19.(12分)如圖分別是正三棱臺的直觀圖和正視圖，分別是上下底面的中心，是中點(diǎn)．（1）求正三棱臺的體積；(注：棱臺體積公式：，其中為棱臺上底面面積，為棱臺下底面面積，為棱臺高)（2）求平面與平面的夾角的余弦；（3）若是棱上一點(diǎn)，求的最小值．20.（13分）已知函數(shù)，其中函數(shù)在上是減函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若在上恒成立，求得取值范圍.（3）關(guān)于的方程，有兩個(gè)實(shí)根，求的取值范圍.21.（14分）已知函數(shù)的周期為，圖像的一個(gè)對稱中心為，將函數(shù)圖像上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），在將所得圖像向右平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖像．