第二章推理與證明第二節直接證明和間接證明第三課時反證法一、課前準備1．課時目標（1）.結合已經學過的數學實例，了解間接證明的一種基本方法——反證法；（2）.了解反證法的思考過程、特點;(3).會用反證法證明問題.2．基礎預探(1)．反證法.假設原命題 (即在原命題的條件下，結論不成立)，經過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明 ，從而證明了 ，這種證明方法叫做反證法．(2)．反證法常見矛盾類型.在反證法中，經過正確的推理后“得出矛盾”，所得矛盾主要是指與 矛盾，與 、 、 、 或 矛盾，與

矛盾．（3）應用反證法的原則：，即如果一個命題的結論難以用直接法證明時可考慮用反證法．（4）方法實質：反證法是利用的命題具有等價性來進行證明的，即由一個命題與其逆否命題同，通過證明一個命題的命題的正確，從而肯定原命題真實.二、學習引領1.反證法的基本思想反證法的基本思想是：否定結論就會導致矛盾．它可以用下面的程序來表示：“否定———推理———矛盾———肯定．”“否定”———假設所要證明的結論不成立，而結論的反面成立．“推理”———從已知條件和假設出發，應用一系列的論據進行推理．“矛盾”———通過推導，推出與實際“需要”不符、與“公理”矛盾、與“已知定理”矛盾、與“定義”矛盾、與“題設”矛盾、自相矛盾等．“肯定”———由于推理過程正確．故矛盾是由假設所引起的，因此，假設是錯誤的，從而肯定結論是正確的．2.反證法證題的基本步驟（1）反設：假設原命題的結論不成立，即其反面成立；（2）歸謬：以命題的條件和所作的假設出發，經過推理，得出矛盾；（3）否定假設得出欲證結論：由矛盾判定假設不正確，從而肯定原命題的結論正確。3．反證法解決的常見題型（1）易導出與已知矛盾的命題；（2）一些基本定理；（3）“否定性”命題；（4）“惟一性”命題；（5）“必然性”命題；（6）“至少”、“至多”命題．三、典例導析題型一否定型命題例1、試證不是有理數。思路導析:要求證的結論是以否定的形式出現的，因此可應用反正法來進行證明。證明：假設是有理數，注意到，可設（、為互質的正整數，且），兩邊平方，得①，表明，是2的倍數，因為是正整數，故當是奇數時，令（），則，即是奇數，與是2的倍數矛盾。當是偶數，又可設（），代入①式，整理后得②，②式表明，是2的倍數。這樣與都是2的倍數，它們至少有公因數2，與所作假定、為互質的正整數相矛盾。因此不是有理數。規律總結:在應用反證法證題時，必須按“反設——歸謬——結論”的步驟進行，反正法的難點在于如何從假設中推出矛盾，從而說明假設不成立。本題從假設中推出的結論是與自身相矛盾變式練習1求證：1，2，不可能是一個等差數列中的三項。題型二“至少”、“至多”型命題例2．設均為實數，且，，求證：中至少有一個大于0。思路導析:如果直接從條件出發推證，方向不明，思路不清，不移入手，較難，說證結論是以“至少”形式出現，因而可用反證法證明。證明：設中都不大于0，即而，這與矛盾，故中至少有一個大于0規律總結:當遇到命題的結論是以“至多”“至少”等形式給出時，一般是多用反證法；應注意“至少有一個”“都是”的否定形式分別是“一個也沒有”“不都是”，本題是一個自相矛盾的題目類型。變式練習2已知，求證：中，至少有一個數大于25。題型三“唯一”性命題例3．求證：兩條相交直線有且只有一個交點。思路導析:此題是含有“有且只有一個”的命題，可考慮用反證法進行證明。證明：假設結論不成立，則有兩種情況：或者沒有交點，或者不只一個交點。如果直線沒有交點，那么∥，這與已知矛盾；如果直線不只有一個交點，則至少交于點，這樣經過兩點就有兩條直線，這與兩點確定以直線矛盾。由（1）和（2）可知，假設錯誤，所以，兩條相交直線有且只有一個交點。規律總結:此題是證明一個命題的充要條件，用反證法證明了它的否定，從而獲得結論正確，也可正面證明，需證明存在性和唯一性。在證明唯一性命題時，應找出除這一個元素外的其它的所有元素，并逐一推導出矛盾，排除掉。變式練習3已知函數的圖象過點．問是否存在常數，使不等式對一切實數都成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．題型四肯定型命題例4．設函數對定義域上任意實數都有，且成立。求證：對定義域內的任意都有。思路導析:這是一個肯定型命題，可考慮用反正發來進行證明。證明：假設滿足體設條件的任意都有部成立，即存在某個有，，，又因為，這與假設矛盾。假設不成立，故對定義域內的任意都有。規律總結:在反設命題的結論時要注意正確寫出結論的否定形式是非常重要的。在本體中對“任意都有”的否定是“存在某個有”變式練習4求證：正弦函數沒有比小的正周期．四、隨堂練習一、選擇題1．否定結論“至多有兩個解”的說法中，正確的是()A．有一個解B．有兩個解C．至少有三個解D．至少有兩個解2.用反證法證明命題“三角形的內角中至少有一個不大于60°”時，反設正確的是()A．假設三內角都不大于60°B．假設三內角都大于60°C．假設三內角至多有一個大于60°D．假設三內角至多有兩個大于60°3.已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么c與b的位置關系為()A．一定是異面直線B．一定是相交直線C．不可能是平行直線D．不可能是相交直線4.命題“任意多面體的面至少有一個是三角形或四邊形或五邊形”的結論的否定是________．5.用反證法證明命題：“一個三角形中不能有兩個直角”的過程歸納為以下三個步驟：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，這與三角形內角和為180°相矛盾，則∠A＝∠B＝90°不成立；②所以一個三角形中不能有兩個直角；③假設∠A，∠B，∠C中有兩個角是直角，不妨設∠A＝∠B＝90°.正確順序的序號排列為____________．6.已知：a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0.求證：a>0，b>0，c>0.五、課后作業1.否定“自然數a、b、c中恰有一個偶數”時的正確反設為()A．a、b、c都是奇數B．a、b、c或都是奇數或至少有兩個偶數C．a、b、c都是偶數D．a、b、c中至少有兩個偶數2.用反證法證明命題：“若整系數一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一個是偶數”時，下列假設正確的是()A．假設a，b，c都是偶數B．假設a、b，c都不是偶數C．假設a，b，c至多有一個偶數D．假設a，b，c至多有兩個偶數3.有甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽，其中只有一位獲獎，有人走訪了四位歌手，甲說：“是乙或丙獲獎”，乙說：“甲、丙都未獲獎”，丙說：“我獲獎了”，丁說：“是乙獲獎了”，四位歌手的話只有兩句是對的，則獲獎的歌手是()A．甲B．乙C．丙D．丁4.用反證法證明命題“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一個能被5整除”，那么反設的內容是________________．5.用反證法證明質數有無限多個的過程如下：假設______________．設全體質數為p1、p2、…、pn，令p＝p1p2…pn＋1.顯然，p不含因數p1、p2、…、pn.故p要么是質數，要么含有______________的質因數．這表明，除質數p1、p2、…、pn之外，還有質數，因此原假設不成立．于是，質數有無限多個．6.已知a，b，c∈(0,1)．求證：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能同時大于eq\f(1,4).第三課時反正法答案解析一、基礎預探（1）答案：不成立；假設錯誤；原命題成立（2）答案：已知條件；數學公理；定理；公式；定義；已被證明的結論；公認的簡單事實（3）答案：正難則反（4）答案：互為逆否；真假；逆否三．典例導析變式訓練1.證明：假設1，2，是公差為d的等差數列的第p，q，r項，則，于是。因為p，q，r均為整數，所以等式右邊是有理數，而等式左邊是無理數，二者不可能相等，推出矛盾。所以，1，2，不可能是一個等差數列中的三項。2.證明：假設命題的結論不成立，即均不大于25，那么，這與已知條件相矛盾。所以，中，至少有一個數大于25。3.解：假設存在符合條件的．的圖象過，，即．又對一切實數都成立，令，則．，，．．由得據題意，對于任意實數，與都成立．對于，若，則，不合題意；若，欲使的解集為，則需即解得．對于，再考慮，把代入，得，其解集為．所以，存在滿足條件的，其中．4.證明：假設是正弦函數的周期，且，則對任意實數都有成立．令，得，即，從而對任意實數都有，這與矛盾．所以正弦函數沒有比小的正周期．四、隨堂練習1.C[解析]在邏輯中“至多有n個”的否定是“至少有n＋1個”，所以“至多有兩個解”的否定為“至少有三個解”，故應選C.2.B[解析]“至少有一個不大于”的否定是“都大于60°”．故應選B.3.C[解析]假設c∥b，而由c∥a，可得a∥b，這與a，b異面矛盾，故c與b不可能是平行直線．故應選C.4.沒有一個是三角形或四邊形或五邊形[解析]“至少有一個”的否定是“沒有一個”．5.③①②[解析]由反證法證明的步驟知，先反證即③，再推出矛盾即①，最后作出判斷，肯定結論即②，即順序應為③①②.6.[證明]用反證法：假設a，b，c不都是正數，由abc>0可知，這三個數中必有兩個為負數，一個為正數，不妨設a<0，b<0，c>0，則由a＋b＋c>0，可得c>－(a＋b)，又a＋b<0，∴c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b)ab＋c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b)＋ab即ab＋bc＋ca<－a2－ab－b2∵a2>0，ab>0，b2>0，∴－a2－ab－b2＝－(a2＋ab＋b2)<0，即ab＋bc＋ca<0，這與已知ab＋bc＋ca>0矛盾，所以假設不成立．因此a>0，b>0，c>0成立．五、課后作業1.B[解析]a，b，c三個數的奇、偶性有以下幾種情況：①全是奇數；②有兩個奇數，一個偶數；③有一個奇數，兩個偶數；④三個偶數．因為要否定②，所以假設應為“全是奇數或至少有兩個偶數”．故應選B.2.B[解析]“至少有一個”反設詞應為“沒有一個”，也就是說本題應假設為a，b，c都不是偶數．3.C[解析]因為只有一人獲獎，所以丙、丁只有一個說對了，同時甲、乙中只有一人說對了，假設乙說的對，這樣丙就錯了，丁就對了，也就是甲也對了，與甲錯矛盾，所以乙說錯了，從而知甲、丙對，所以丙為獲獎歌手．故應選C.4.a，b都不能被5整除[解析]“至少有一個”的否定是“都不能”．5.質數只有有限多個除p1、p2、…、pn之外[解析]由反證法的步驟可得．6.[證明]證法1：假設(1－a)b、(1－b)c、(1－c)a都大于eq\f(1,4).∵a、b、c都是小于1的正數，∴1－a、1－b、1－c都是正數.eq\f((1－a)＋b,2)≥eq\r((1－a)b)＞eq\r(\f(1,4))＝eq\f(1,2)，同理eq\f((1－b)＋c,2)＞eq\f(1,2)，eq\f((1－c)＋a,2)＞eq\f(1,2).三式相加，得eq\f((1－a)＋b,2)＋eq\f((1－b)＋c,2)＋eq\f((1－c)＋a,2)＞eq\f(3,2)，即eq\f(3,2)＞eq\f(3,2)，矛盾．所以(1－a)b、(1－b)c、(1－c)a不能都大于eq\f(1,4).證法2：假設三個式子同時大于eq\f(1,4)，即(1－a)b>eq\f(1,4)，(1－b)c>eq\f(1,4)，(1－c)a>eq\f(1,4)，三式相乘得(1－