第一章§3一、選擇題1．如果0<a<b，且a＋b＝1，則下列四個數中最大的是()A．eq\f(1,2) B．bC．2ab D．a2＋b2解析：設a＝eq\f(1,3)，b＝eq\f(2,3)，代入可得2ab＝eq\f(4,9)，a2＋b2＝eq\f(1,9)＋eq\f(4,9)＝eq\f(5,9)答案：B2．已知a，b，c為正數，則eq\f(a,b)＋eq\f(b,c)＋eq\f(c,a)有()A．最小值3 B．最大值3C．最小值2 D．最大值2解析：因為a，b，c為正數，所以eq\f(a,b)＋eq\f(b,c)＋eq\f(c,a)≥3eq\r(3,\f(a,b)·\f(b,c)·\f(c,a))＝3，最小值3.答案：A3．下列結論正確的是()A．當x>0且x≠1時，lgx＋eq\f(1,lgx)≥2B．當x>0時，eq\r(x)＋eq\f(1,\r(x))≥2C．當x≥2時，x＋eq\f(1,x)的最大值為2D．當0<x≤2時，x－eq\f(1,x)無最大值解析：若0<x<1時，lgx<0，所以A錯；x＋eq\f(1,x)≥2時當且僅當x＝1時取等號，因為x≥2，所以C錯；因為x和－eq\f(1,x)為增函數，所以x－eq\f(1,x)為增函數，當x＝2時，x－eq\f(1,x)有最大值eq\f(3,2)，所以D錯．答案：B4．某公司租地建倉庫，每月土地占用費y1與倉庫到車站的距離成反比，而每月庫存貨物的運費y2與倉庫到車站的距離成正比，如果在距離車站10千米處建倉庫，這兩項費用y1和y2分別為2萬元和8萬元，那么，要使這兩項費用之和最小，倉庫應建成離車站()A．5千米處 B．4千米處C．3千米處 D．2千米處解析：設倉庫應建成離車站x千米處，設總費用為y，由題意得y1＝eq\f(k1,x)，y2＝k2x.把(10,2)，(10,8)代入得k1＝20，k2＝eq\f(4,5)，∴y＝eq\f(20,x)＋eq\f(4x,5)≥2eq\r(\f(20,x)·\f(4x,5))＝8，當且僅當eq\f(20,x)＝eq\f(4x,5)，∴x＝5.答案：A二、填空題5．a、b滿足eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝1，則a＋b的最小值為________．解析：∵eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝1，∴a＋b＝(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(2,b)))＝1＋2＋eq\f(b,a)＋eq\f(2a,b)≥3＋2eq\r(2)，∴a＋b的最小值3＋2eq\r(2).答案：3＋2eq\r(2)6．若正數x、y滿足xy2＝4，則x＋2y的最小值________．解析：∵xy2＝4，x>0，y>0，∴x＝eq\f(4,y2).x＋2y＝eq\f(4,y2)＋2y＝eq\f(4,y2)＋y＋y≥3eq\r(3,\f(4,y2)·y·y)＝3eq\r(3,4).當且僅當x＝y＝eq\r(3,4)時，等號成立，此時x＋2y的最小值為3eq\r(3,4).答案：3eq\r(3,4)三、解答題7．設a、b∈(0，＋∞)，試比較eq\f(a＋b,2)，eq\r(ab)，eq\r(\f(a2＋b2,2))，eq\f(2ab,a＋b)的大小，并說明理由．解析：∵a，b∈(0，＋∞)，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥eq\f(2,\r(ab))，即eq\r(ab)≥eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))＝eq\f(2ab,a＋b)(當且僅當a＝b時取等號)．又eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2＝eq\f(a2＋b2＋2ab,4)≤eq\f(a2＋b2＋a2＋b2,4)＝eq\f(a2＋b2,2).∴eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))(當且僅當a＝b時取等號)．而eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，于是eq\f(2ab,a＋b)≤eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))(當且僅當a＝b時取等號)．8．求函數y＝eq\f(1,x－3)＋x(x>3)的最小值．解析：將原式配湊成y＝eq\f(1,x－3)＋x－3＋3.∵x>3，∴x－3>0，eq\f(1,x－3)>0，∴y≥2eq\r(x－3·\f(1,x－3))＋3＝5.當且僅當eq\f(1,x－3)＝x－3，即x＝4時，y有最小值5.9．如圖所示，把一塊邊長是a的正方形鐵片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的邊沿著虛線折轉作成一個無蓋方底的盒子，問切去的正方形邊長是多少時，才能使盒子的容積最大？解析：設切去的正方形邊長為x，無蓋方底盒子的容積為V，則V＝(a－2x)2x＝eq\f(1,4)(a－2x)(a－2x)×4x≤eq\f(1,4)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(a－2x＋a－2x＋4x,3)))3