不等式專題----定理和技巧引言：不等式在所有數學領域都有用，本書闡述不等式定理的基本技巧。讀者將看到一些經典定理，如舒爾不等式、繆爾海德定理、柯西-蘇瓦茨不等式、冪平均不等式、不等式、霍爾德定理。對學生：本書的讀者面向高年級的有想進一步提高數學水平的高中生和大學生，本書提到的技巧是不等式難題的竅門，學生們也可以發現自己功課不同難題的方法。目錄：1、幾何不等式拉維換元三角方法復數的應用2、4個基本技巧三角換元代數換元增函數定理建立新邊界3、齊次化和標準化齊次化舒爾不等式和繆爾海德定理標準化柯西-蘇瓦茨不等式和霍爾德定理。4、凸函數琴生不等式冪平均不等式最優化不等式輔助線不等式5、例題多變量不等式帕特南研討會Ch1.幾何不等式拉維換元許多不等式因采用合適的換元而簡單化，讓我們從三角幾何的經典不等式開始。最重要的幾何不等式是哪個？1746年，察柏爾證明了一個定理：定理：設和分別代表的外接圓半徑和內切圓半徑，則.當且僅當等邊三角形時取等號。證明：設的三邊分別為，半周長，面積為，則：還有：且：式就是海倫公式。由得：，而由式得：，那么相當于即：定理：設為三角形的三個邊長，則有：等號當且僅當時成立。證明：采用拉維換元，設，，，其中那么，，則：，，式即：而：即：.證畢。CABODEF【練習1】設CABODEF如圖，對直角三角形，設為直角邊，為斜邊，則，且，是三角形外接圓半徑。【試證】三角形的面積：，則：，即：將代入得：=1\*GB3①即令：=2\*GB3②采用均值不等式：，代入=2\*GB3②式得：代入=1\*GB3①式得：.證畢.定理：設，則：等號當且僅當時成立。證明：既然不等式的變量是對稱的，不適一般性，設，則：，.若，則：構成三角形的三邊（兩邊之和大于第三邊）；此時，由定理2可得到結果。現在，假設，則：定理的不等式，在當中部分變量為零時依然成立。定理：設，則：證明：既然，我們發現正數列，，，數列具有，，由定理2得到：兩邊討論極限，我們得到結果。很明顯，當時等號成立。然而，和，不能保證得到.事實上，對，等式等效于或，或，或，可以理解為當變量為0時的等式結果。可以直接證明等式：故：定理4是舒爾不等式的特例。（注：舒爾不等式：對于非負數和正數，有，僅當=1\*romani>或=2\*romanii>且，或且，或且時等號成立；當為偶數時，不等式對所有實數都成立。）【試題1】設是正數且，試證：.【解析】既然且，主要是，采用換元，，，則不等式為：即：即：.為定理4.拉維換元對像三角形的三邊長的不等式很有用，拉維換元后，可以消去三角形的三邊長的條件。【試題2】設是一個三角形的三邊長，試證：.【解析】采用拉維換元，，，，且.則不等式變為：展開化簡為：兩邊同除以得：采用柯西-蘇瓦茨不等式：，即證。【練習2】設是一個三角形的三邊長，試證：.【試證】采用拉維換元，令，，則：同理：；.三式相加得：即：.證畢。【練習3】設是一個三角形的三邊長，試證：.和：.【試證】先化簡，再用拉維換元由于共有12項，分成3份，每份4項.=1\*GB3①采用拉維換元：令，，，則：三式相加并除以2得：=2\*GB3②則=2\*GB3②式乘以就等于=1\*GB3①式。由：得=2\*GB3②式不小于，即=1\*GB3①式不小于.證畢。第二個式子證法與此類似，請讀者自證。我們現在開始研究魏琴伯克不等式，也稱外森比克不等式。【試題3】設是一個面積為三角形的三邊長，試證：這個式稱為外森比克不等式。【解析】采用拉維換元，，，，且.不等式變為：其中：，（為半周長）推導如下：由于：所以：則：定理：對任何面積為、邊長為的三角形，有不等式：這個不等式稱為芬斯勒-哈德威格不等式。證明：采用拉維換元，，，，且.及：代入式得：式可由恒等式：得證。也可采用凸函數性質證明。證法二：由許多方法證明：對于凸函數，用琴生不等式可以證明：當時，故：（注：琴生不等式：對于向下凸出的函數，函數的均值不小于均值的函數。如函數在區間是向下凸出的，由函數的均值不小于均值的函數得：）定理：設為正實數，表示面積為的三角形三邊長，則有：這個不等式稱為青茨法斯不等式。證明：由定理的芬斯勒-哈德威格不等式足以證明。或：或：本式可由柯西-蘇瓦茨不等式直接證明。定理：設代表面積為的三角形的三邊長，代表面積為的三角形的三邊長，則：這個不等式稱為伊諾貝格-佩多不等式。引理1：證明：式等價于：由海倫公式得：或：（注：海倫公式：，即：，即：即：即：）由柯西-蘇瓦茨不等式得：先證明：由引理1得：所以，我們只需證明：檢驗不等式：這里：，，采用恒等式：，或進行放縮：卡里茨發現伊諾貝格-佩多不等式可以由奧采兒不等式放縮得到。定理：設為正實數，且滿足和則：這就是奧采兒不等式。證明：由柯西-蘇瓦茨不等式得：上面的不等式等價于：當時，無關緊要。重點是當時，關注二次多項式既然，且的系數為正，則至少有一實根，所以非負，故的判別式：伊諾貝格-佩多不等式證法二：采用下列換元：，，，；，，，；