課時跟蹤檢測（八）生活中的優化問題舉例層級一學業水平達標1．福建煉油廠某分廠將原油精煉為汽油，需對原油進行冷卻和加熱，如果第x小時時，原油溫度(單位：℃)為f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么原油溫度的瞬時變化率的最小值是()A．8 \f(20,3)C．－1 D．－8解析：選C瞬時變化率即為f′(x)＝x2－2x為二次函數，且f′(x)＝(x－1)2－1，又x∈[0,5]，故x＝1時，f′(x)min＝－1.2．把一段長為12cm的細鐵絲鋸成兩段，各自圍成一個正三角形，那么這兩個正三角形面積之和的最小值是()\f(3\r(3),2)cm2 B．4cm2C．3eq\r(2)cm2 D．2eq\r(3)cm2解析：選D設一段為x，則另一段為12－x(0＜x＜12)，則S(x)＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,3)))2×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12－x,3)))2×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x2,9)－\f(8x,3)＋16))，∴S′(x)＝eq\f(\r(3),4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)x－\f(8,3))).令S′(x)＝0，得x＝6，當x∈(0,6)時，S′(x)＜0，當x∈(6,12)時，S′(x)＞0，∴當x＝6時，S(x)最?。郤＝eq\f(\r(3),4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(1,9)×62－\f(8,3)×6＋16))＝2eq\r(3)(cm2)．3．某公司生產某種產品，固定成本為20000元，每生產一單位產品，成本增加100元，已知總收益R與年產量x的關系是R(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(400x－\f(1,2)x20≤x≤400，,80000x>400，))則總利潤最大時，每年生產的產品是()A．100 B．150C．200 D．300解析：選D由題意，總成本為：C＝20000＋100x，所以總利潤為P＝R－C＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(300x－\f(x2,2)－20000，0≤x≤400，,60000－100x，x>400，))P′＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(300－x，0≤x≤400，,－100，x>400，))令P′＝0，當0≤x≤400時，得x＝300；當x>400時，P′<0恒成立，易知當x＝300時，總利潤最大．4．設正三棱柱的體積為V，那么其表面積最小時，底面邊長為()\r(4V) B．2eq\r(3,V)\r(3,4V) \f(1,2)V解析：選C設底面邊長為x，則高為h＝eq\f(4V,\r(3)x2)，∴S表＝3×eq\f(4V,\r(3)x2)×x＋2×eq\f(\r(3),4)x2＝eq\f(4\r(3)V,x)＋eq\f(\r(3),2)x2，∴S表′＝－eq\f(4\r(3)V,x2)＋eq\r(3)x，令S表′＝0，得x＝eq\r(3,4V).經檢驗知，當x＝eq\r(3,4V)時，S表取得最小值．5．內接于半徑為R的球且體積最大的圓錐的高為()A．R B．2R\f(4,3)R \f(3,4)R解析：選C設圓錐高為h，底面半徑為r，則R2＝(h－R)2＋r2，∴r2＝2Rh－h2，∴V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(π,3)h(2Rh－h2)＝eq\f(2,3)πRh2－eq\f(π,3)h3，V′＝eq\f(4,3)πRh－πh2.令V′＝0得h＝eq\f(4,3)R.當0<h<eq\f(4R,3)時，V′>0；當eq\f(4R,3)<h<2R時，V′<0.因此當h＝eq\f(4,3)R時，圓錐體積最大．故應選C.6．某公司在甲、乙兩地銷售一種品牌車，利潤(單位：萬元)分別為L1＝－和L2＝2x，其中x為銷售量(單位：輛)，若該公司在這兩地共銷售15輛車，則能獲得的最大利潤為________萬元．解析：設甲地銷售x輛，則乙地銷售(15－x)輛．總利潤L＝－＋2(15－x)＝－＋＋30(x≥0)．令L′＝－＋＝0，得x＝.∴當x＝10時，L有最大值.答案：7．如圖，內接于拋物線y＝1－x2的矩形ABCD，其中A，B在拋物線上運動，C，D在x軸上運動，則此矩形的面積的最大值是________．解析：設CD＝x，則點C坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)，0))，點B坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)，1－\f(x2,4)))，∴矩形ABCD的面積S＝f(x)＝x·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x2,4)))＝－eq\f(x3,4)＋x，x∈(0,2)．由f′(x)＝－eq\f(3,4)x2＋1＝0，得x1＝－eq\f(2,\r(3))(舍)，x2＝eq\f(2,\r(3))，∴x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,\r(3))))時，f′(x)＞0，f(x)是遞增的，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,\r(3))，2))時，f′(x)＜0，f(x)是遞減的，當x＝eq\f(2,\r(3))時，f(x)取最大值eq\f(4\r(3),9).答案：eq\f(4\r(3),9)8．某廠生產某種產品x件的總成本：C(x)＝1200＋eq\f(2,75)x3，又產品單價的平方與產品件數x成反比，生產100件這樣的產品的單價為50元，總利潤最大時，產量應定為__________件．解析：設產品單價為a元，又產品單價的平方與產品件數x成反比，即a2x＝k，由題知a＝eq\f(500,\r(x)).總利潤y＝500eq\r(x)－eq\f(2,75)x3－1200(x>0)，y′＝eq\f(250,\r(x))－eq\f(2,25)x2，由y′＝0，得x＝25，x∈(0,25)時，y′>0，x∈(25，＋∞)時，y′<0，所以x＝25時，y取最大值．答案：259．為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元．該建筑物每年的能源消耗費用C(單位：萬元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關系：C(x)＝eq\f(k,3x＋5)(0≤x≤10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元，設f(x)為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和．(1)求k的值及f(x)的表達式；(2)隔熱層修建多厚時，總費用f(x)達到最小，并求最小值．解：(1)設隔熱層厚度為xcm，由題設，每年能源消耗費用為C(x)＝eq\f(k,3x＋5)，再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝eq\f(40,3x＋5).而建造費用為C1(x)＝6x.最后得隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和為f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×eq\f(40,3x＋5)＋6x＝eq\f(800,3x＋5)＋6x(0≤x≤10)．(2)f′(x)＝6－eq\f(2400,3x＋52)，令f′(x)＝0，即eq\f(2400,3x＋52)＝6，解得x＝5，x＝－eq\f(25,3)(舍去)．當0<x<5時，f′(x)<0，當5<x<10時，f′(x)>0，故x＝5是f(x)的最小值點，對應的最小值為f(5)＝6×5＋eq\f(800,15＋5)＝70.當隔熱層修建5cm厚時，總費用達到最小值70萬元．10．某廠生產某種電子元件，如果生產出一件正品，可獲利200元，如果生產出一件次品，則損失100元．已知該廠制造電子元件過程中，次品率p與日產量x的函數關系是：p＝eq\f(3x,4x＋32)(x∈N*)．(1)寫出該廠的日盈利額T(元)用日產量x(件)表示的函數關系式；(2)為獲最大日盈利，該廠的日產量應定為多少件？解：(1)由題意可知次品率p＝日產次品數/日產量，每天生產x件，次品數為xp，正品數為x(1－p)．因為次品率p＝eq\f(3x,4x＋32)，當每天生產x件時，有x·eq\f(3x,4x＋32)件次品，有xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3x,4x＋32)))件正品．所以T＝200xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3x,4x＋32)))－100x·eq\f(3x,4x＋32)＝25·eq\f(64x－x2,x＋8)(x∈N*)．(2)T′＝－25·eq\f(x＋32·x－16,x＋82)，由T′＝0得x＝16或x＝－32(舍去)．當0<x≤16時，T′≥0；當x≥16時，T′≤0；所以當x＝16時，T最大．即該廠的日產量定為16件，能獲得最大日盈利．層級二應試能力達標1．已知某生產廠家的年利潤y(單位：萬元)與年產量x(單位：萬件)的函數關系式為y＝－eq\f(1,3)x3＋81x－234，則使該生產廠家獲得最大年利潤的年產量為()A．13萬件 B．11萬件C．9萬件 D．7萬件解析：選Cy′＝－x2＋81，令y′＝0，解得x＝9或x＝－9(舍去)，當0＜x＜9時，y′＞0；當x＞9時，y′＜0.所以當x＝9時，y取得最大值．2．若一球的半徑為r，作內接于球的圓柱，則圓柱側面積的最大值為()A．2πr2 B．πr2C．4πr2 \f(1,2)πr2解析：選A設內接圓柱的底面半徑為r1，高為t，則S＝2πr1t＝2πr12eq\r(r2－r\o\al(2,1))＝4πr1eq\r(r2－r\o\al(2,1)).∴S＝4πeq\r(r2r\o\al(2,1)－r\o\al(4,1)).令(r2req\o\al(2,1)－req\o\al(4,1))′＝0得r1＝eq\f(\r(2),2)r.此時S＝4π·eq\f(\r(2),2)r·eq\r(r2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)r))2)＝4π·eq\f(\r(2),2)r·eq\f(\r(2),2)r＝2πr2.3．某商品一件的成本為30元，在某段時間內若以每件x元出售，可賣出(200－x)件，要使利潤最大每件定價為()A．80元 B．85元C．90元 D．95元解析：選B設每件商品定價x元，依題意可得利潤為L＝x(200－x)－30x＝－x2＋170x(0＜x＜200)．L′＝－2x＋170，令－2x＋170＝0，解得x＝eq\f(170,2)＝85.因為在(0,200)內L只有一個極值，所以以每件85元出售時利潤最大．4．內接于半徑為R的半圓的周長最大的矩形的寬和長分別為()\f(R,2)和eq\f(3,2)R \f(\r(5),5)R和eq\f(4\r(5),5)R\f(4,5)R和eq\f(7,5)R D．以上都不對解析：選B設矩形的寬為x，則長為2eq\r(R2－x2)，則l＝2x＋4eq\r(R2－x2)(0<x<R)，l′＝2－eq\f(4x,\r(R2－x2))，令l′＝0，解得x1＝eq\f(\r(5),5)R，x2＝－eq\f(\r(5),5)R(舍去)．當0<x<eq\f(\r(5),5)R時，l′>0，當eq\f(\r(5),5)R<x<R時，l′<0，所以當x＝eq\f(\r(5),5)R時，l取最大值，即周長最大的矩形的寬和長分別為eq\f(\r(5),5)R，eq\f(4\r(5),5)R.5．某公司一年購買某種貨物400噸，每次都購買x噸，運費為4萬元/次，一年的總存儲費為4x萬元，要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則x＝________噸．解析：設該公司一年內總共購買n次貨物，則n＝eq\f(400,x)，∴總運費與總存儲費之和f(x)＝4n＋4x＝eq\f(1600,x)＋4x，令f′(x)＝4－eq\f(1600,x2)＝0，解得x＝20，x＝－20(舍去)，x＝20是函數f(x)的最小值點，故當x＝20時，f(x)最?。鸢福?06.一個帳篷，它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側棱長為3m的正六棱錐(如圖所示)．當帳篷的頂點O到底面中心O1的距離為__________m時，帳篷的體積最大．解析：設OO1為xm，底面正六邊形的面積為Sm2，帳篷的體積為Vm3.則由題設可得正六棱錐底面邊長為eq\r(32－x－12)＝eq\r(8＋2x－x2)(m)，于是底面正六邊形的面積為S＝6×eq\f(\r(3),4)(eq\r(8＋2x－x2))2＝eq\f(3\r(3),2)(8＋2x－x2)．帳篷的體積為V＝eq\f(1,3)×eq\f(3\r(3),2)(8＋2x－x2)(x－1)＋eq\f(3\r(3),2)(8＋2x－x2)＝eq\f(\r(3),2)(8＋2x－x2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x－1＋3))＝eq\f(\r(3),2)(16＋12x－x3)，V′＝eq\f(\r(3),2)(12－3x2)．令V′＝0，解得x＝2或x＝－2(不合題意，舍去)．當1＜x＜2時，V′＞0；當2＜x＜4時，V′＜0.所以當x＝2時，V最大．答案：27．某集團為了獲得更大的收益，每年要投入一定的資金用于廣告促銷，經調查，每年投入廣告費t(百萬元)，可增加銷售額約為－t2＋5t(百萬元)(0≤t≤3)．(1)若該公司將當年的廣告費控制在3百萬元之內，則應投入多少廣告費，才能使該公司由此獲得的收益最大？(2)現該公司準備共投入3百萬元，分別用于廣告促銷和技術改造，經預測，每投入技術改造費x百萬元，可增加的銷售額約為－eq\f(1,3)x3＋x2＋3x(百萬元)．請設計一個資金分配方案，使該公司由此獲得的收益最大．(收益＝銷售額－投入)解：(1)設投入t(百萬元)的廣告費后增加的收益為f(t)，則有f(t)＝(－t2＋5t)－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(0≤t≤3)，∴當t＝2時，f(t)取得最大值4，即投入2百萬元的廣告費時，該公司由此獲得的收益最大．(2)設用于技術改造的資金為x(百萬元)，則用于廣告促銷的資金為(3－x)(百萬元)，又設由此獲得的收益是g(x)(百萬元)，則g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)x3＋x2＋3x))＋[－(3－x)2＋5(3－x)]－3＝－eq\f(1,3)x3＋4x＋3(0≤x≤3)，∴g′(x)＝－x2＋4，令g′(x)＝0，解得x＝－2(舍去)或x＝2.又當0≤x<2時，g′(x)>0；當2<x≤3時，g′(x)<0，∴當x＝2時，g(x)取得最大值，即將2百萬元用于技術改造，1百萬元用于廣告促銷，該公司由此獲得的收益最大．8．統計表明某型號汽車在勻速行駛中每小時的耗油量y(升)關于行