第六章

自旋與全同粒子

1前言

盡管單粒子體系的薛定諤方程取得了很大的成功。但是該理論有很大的局限性。首先，絕大部分微觀粒子都存在自旋，而前面討論的問題都未涉及到粒子的自旋特征。另外，實際粒子體系一般多為多粒子體系，所以研究多粒子體系的問題更有實際意義。6.1電子自旋(Electronspin)施特恩-蓋拉赫（Stern-Gerlach）實驗基本思想是通過討論基態氫原子在非均勻磁場中運動情況，得知電子具有自旋的信息2

通電線圈只有在非均勻磁場中才可能受外力作用否則只能受外力矩作用，外力矩只能使它轉動而不產生平動，具有自旋的氫原子也是如此

基態氫原子，總電量為0，軌道角動量也為0，即核外電子無軌道磁矩，表面上其運動應該不受磁場的影響，實際情況是氫原子在磁場中軌跡分裂成兩條，這說明氫原子有自旋磁矩。3即自旋磁矩平行或反平行于外加磁場由此，氫原子運動情況與磁場和電子自旋磁矩的夾角有關，由于只有兩個軌跡，所以電子的自旋磁矩只有兩個方向，計算表明烏侖貝克.哥德斯米脫假設（1）每個電子具有自旋角動量，它在空間任意方向的取值只能有兩個4（SI）

（CGS）在任意方面上的投影（SI）

（CGS）

（2）每個電子具有自旋磁矩

,它與自旋角動量的關系是（——玻爾磁子）

5自旋回轉磁比率（磁矩與角動量的比值）：（SI）（CGS）

軌道磁矩與軌道角動量的關系：（SI）（CGS）

自旋回轉磁比率是軌道回轉磁比率的兩倍

（SI）（CGS）6§6.2電子的自旋算符和自旋函數1自旋算符

為了描述電子的自旋角動量的特性，需要引入一個厄米算符來表征電子的自旋角動量注意：自旋角動量是電子內部的一種固有特性，它是由電子的自身結構決定的，在經典理論中沒有對應量，它不能表示為空間坐標和動量的函數。但是

作為自旋角動量，它與軌道角動量應該具有相同的量子性質，應滿足角動量算符的普遍對易關系7自旋角動量平方算符

與各分量間的對易關系為8

由于在空間任意方向上的投影只有兩個取值，所以、、的本征值是

的本征值都是

即的本征值

將自旋角動量本征值表示為角動量本征值的一般表示式:1.自旋算符的本征值它們相當于一個數值算符

93泡利算符s為自旋量子數為“磁”量子數為了討論問題方便，引入泡利算符10對易關系泡利算符的平方算符11的本征值本征值的本征值都是

12Prove反對易關系Prove134．自旋算符的矩陣表示

描述電子自旋角動量狀態，類似于一般角動量的描述方法，通常選作為力學量完全集，即以它們的共同本征態描述體系的狀態，稱為表象，通常也簡稱表象，該本征態只有兩個，兩個態相應于S2的取值總為3/4?2，而Sz取+1/2?或者-1/2?，在該表象中，自旋算符矩陣應該是兩行兩列矩陣，波函數為兩分量的列矩陣：很顯然14相應于Sz取的本征態可表示為相應于Sz取的本征態可表示為兩個本征矢15該兩個函數滿足正交歸一化條件16故有

（a,d必為實數）由

設的矩陣形式為現在來求的矩陣形式17則

而

再由得到18取

19泡利矩陣自旋算符矩陣Sz表象中本征函數設本征函數為則其本征方程為20相應的久期方程為由此可以解得相應于其本征方程為21化簡后有即由此的本征函數為或者歸一化后為其物理意義：表示在Sx取的本征態中，Sz取22的概率各占1/2類似地的本征方程為歸一化后的本征函數同理的本征值也為相應的本征函數分別為及23思考題在Sz本征值為的本征態中測量Sx，測量結果及相應的概率為多少？24上一節內容復習1、自旋角動量算符及對易關系

本征值均為25本征值均為本征值為及與電子的具體自旋狀態無關，所以，它們相當于是一個數量算符2、泡利算符26對易關系反對易關系27相應算符的本征值的本征值都是

本征值均為1本征值均為3及均為數量算符3．自旋算符及本征態的矩陣表示在表象，即以本征矢為基矢量的表象中所有自旋波函數均為兩行一列矩陣，而算符則為兩行兩列矩陣28常用算符的矩陣形式29常用算符的本征函數算符本征函數算符本征函數算符本征函數304.考慮自旋的電子波函數的幾率密度。表示t時刻，在處找到自旋的電子的幾率密度

表示t時刻，在處找到自旋的電子表示t時刻粒子在x，y，z處的電子出現的幾率密度31電子的概率表示在全空間找到自旋為其中電子的概率表示在全空間找到自旋為表示電子在全空間出現總概率為0在一般情況下，自旋和軌道運動之間有相互作用，因而電子的自旋狀態對軌道運動有影響，與不同。當電子的自旋和軌道運動相互作用小到可以忽略時，與相同，這時總波函數為32對于任意一個力學量算符，在考慮自旋的情況下都是一個兩行兩列矩陣335.考慮自旋的電子波函數

電子既然有自旋，其波函數應包含電子自旋的信息，電子自旋通常用來表示，所以波函數表示為寫成矩陣形式，為二行一列矩陣34物理意義：的幾率密度。的幾率密度

表示t時刻，在處找到自旋的電子表示t時刻粒子在x，y，z處的電子出現的幾率密度表示t時刻，在處找到自旋的電子35粒子在全空間的歸一化條件其中表示在全空間找到自旋為電子的概率表示在全空間找到自旋為電子的概率在一般情況下，自旋和軌道運動之間有相互作用，因而電子的自旋狀態對軌道運動有影響，這通過中的和是的不同函數來體現。

當電子的自旋和軌道運動相互作用小到可以忽略時，和對空間位置的依賴關系是一樣時，這時，總的波函數可以分解為空間波函數和自旋波函數的乘積36因為此時空間波函數不受自旋方向的影響，所以軌道波函數為設電子的自旋波函數為則總波函數可表示為37考慮電子自旋情況下，體系力學量的平均值對于任意一個力學量算符，在考慮自旋的情況下都是一個兩行兩列矩陣所以，總的平均值為

由此對自旋求平均：

該式僅是對x，y，z點與電子自旋有關的力學量的平均

38§6.3簡單塞曼效應考慮氫原子和類氫原子在均勻磁場中的情況，這時電子除了具有原來的動能和勢能外，因為具有自旋和軌道磁矩，所以還具有附加的磁場能，另外電子和自旋之間還具有相互作用能。假設外磁場很強，以至于自旋和軌道的相互作用能遠小于它們在外磁場中的能量，這時可忽略相互作用能。在有強磁場的情況下的附加磁場能量39取的方向為軸方向，則定態Schr?dinger方程由于不考慮自旋與軌道相互作用，所以該方程的本征函數為：

或者40把以上兩式代入以上本征方程，可得當外磁場不存在時，方程的解為對于氫原子，其能級只與n有關，即對L與m簡并，而對于堿金屬由于內層電子對原子核的庫侖場的屏蔽，其能級不僅與n有關，也與L有關，僅對m簡并41在有外磁場作用情況下，因為所以仍然為新的方程的能量本征函數，把代入兩個方程可得到由此，加入磁場后，原先對m的簡并也消除了下圖是加磁場時的2p到1s能級躍遷4243在外場中由能級躍遷到的譜線頻率為由m的選擇定則可知

在外磁場中分裂成三條譜線，這種現象稱為簡單塞曼效應。,44上一節內容復習類氫原子在強外磁場作用下，自旋和軌道的相互作用能遠小于它們在外磁場中的能量，這時可忽略相互作用能。定態薛定諤方程：類氫原子的簡單塞曼效應其中該方程的兩個本征函數45或者相應的兩個軌道波函數方程為該兩個方程的解相應的能量本征值為46即在磁場作用下，體系能級對m的簡并消除體系的譜線分裂為3條這種現象稱為簡單塞曼效應47§6.4兩個角動量的耦合

經典力學中，若一個物體同時具有兩個不同來源的角動量，則其總角動量可以表示為的矢量和，根據算符假設，量子力學中總角動量也應表示為算符的形式，且根據經典力學量之間的關系與相應算符之間關系的對應性，表示總角動量的算符應定義為兩個分角動量算符的矢量和，即

可以證明該角動量與前面介紹的角動量具有相同的對易關系或48另外但是以下根據的本征值，求角動量的本征值先介紹兩套表象1、非耦合表象

前面已介紹過，描述體系狀態需要一組相互對易的49力學量組成力學量完全集，很顯然對于兩個角動量體系，可以選構成力學量完全集，其共同本征函數系用由此由于兩套角動量相互獨立，所以50以這一組本征函數系為基矢所構成的表象稱為非耦合表象，在該表象中均為對角陣2、耦合表象由于也相互對易，所以也可以選以上的四個力學量構成描述兩個角動量體系的力學量完全集，它們的共同本征函數在該態中51復習兩個角動量合成兩個角動量合成的總角動量在量子力學中同樣是用算符表示其對易關系它與一般角動量具有相同的性質，所以的本征值為的本征值為52幾個重要的對易關系式兩種表象描述兩個角動量耦合時通常選作為力學量完全集，它們共同的本征函數系用表示，以這一套本征函數系作為基矢量的表象稱為非耦合表象53也可以選作為力學量完全集，它們的共同本征函數系用表示，以該本征函數系為基矢的表象稱為耦合表象543、已知兩個角動量量子數，求總角動量量子數這種情況下，耦合表象的波函數可表示為

把它按非耦合表象的本征函數系進行展開，由于在該態中，確定，非耦合表象中展開式中只能包含確定的態以這組函數系為基矢的表象稱為耦合表象

描述兩個角動量體系可以用耦合表象也可以用非耦合表象，要看研究問題的方便而定。例如，討論自旋-軌道相互作用時通常用耦合表象比較方便可能值分角動量量子數確定總角動量量子數的可能值由其中j，m待定55否則在該態中測量就有除由于所以而的可能值可根據求出。展開式可表示為克來布希-高登系數由此對于確定的m，以外的其它值56由于構成該本征矢的基矢量共有個，因此，獨立的個數也應該為

個，它們相應于取不同的可能值，的最大值為令的最小值為對應于每一個可能

，可有種可能的取值，由此可算出總態數為可以求出57所以有由于j只能取正整數或0，所以58

由此，在兩個分角動量量子數一定的情況下，總角動量量子數可能值為到間的所有正整數值和之間的關系可用一三角形來表示例：設電子的軌道角動量量子數，和軌道總角動量的可能值及相應簡并度求電子的自旋59§6.6全同粒子的特征固有性質相同的粒子稱為全同粒子

例：電子、質子、中子、超子、重子、輕子等

固有性質指的是：質量、電荷、自旋、宇稱等……1.全同粒子2．不可區分性

經典力學中，兩個性質相同的物體運動時，仍然可以區分，因各自有確定軌道。60例如：在電子雙縫衍射實驗中，考察兩個電子，無法判別哪個電子通過哪條縫，也無法判別屏上觀察到的電子，通過哪條縫來的，也無法判別哪個是第一個電子，哪個是第二個電子……微觀體系（粒子），因為運動具有波粒二象性，無確定軌道，在位置重迭處就不能區分是哪個粒子。3．全同性原理由于全同粒子的不可區分性，在全同粒子所組成的系統中，任意兩個全同粒子相互交換（位置等）不會引起系統狀態的改變。全同性原理是量子力學中的基本原理之一，也稱基本假設之一。614．全同粒子體系波函數的對稱性質設體系由N個全同粒子組成以表示第i個粒子的坐標和自旋表示第i個粒子在外場中的能量表示第i個粒子和第i個粒子的相互作用能則體系的哈米頓算符：則兩粒子互換，哈米頓算符不變62此時薛定諤方程可表示為：交換與63

這表示如果是方程的解，則也是方程的解。

根據全同性原理，它們描述的是同一狀態，則它們間只可能相差一常數因子，以表示.即有

再交換與64

描述全同粒子系統狀態的波函數只能是交換對稱或者反對稱的。當時

即波函數為交換反對稱函數當時

即波函數為交換對稱函數655．波函數的對稱性質不隨時間而變化

設時刻波函數對稱：它滿足薛定格方程：

由于

對稱,也對稱在時刻，波函數為它是兩個對稱函數之和，故也是對稱的。同樣可證明反對稱函數在以后任何時刻都是反對稱的。666、費米子和玻色子費米子：自旋為奇數倍的粒子稱為費米子。如電子、質子、中子等粒子，自旋均為，它們均為費米子。

玻色子：自旋為的整數倍的粒子稱為玻色子。如介子、光子的自旋分別為O或，它們均為玻色子。

玻色子服從玻色—愛因斯坦統計，其波函數是對稱的。費米子系統服從費米—狄拉克統計，其波函數是反對稱的。

結論：描寫全同粒子系統狀態的波函數只能是對稱的或反對稱的，它們的對稱性不隨時間變化。67§6.7全同粒子體系的波函數，泡利原理一、兩粒子體系在不考慮粒子間相互作用時，體系的哈米頓算符

以和表示的第i個本征值和本征函數，則單粒子的本征值方程為：體系的哈米頓算符的本征值方程為： 68本征波函數

（6.7-1）

本征能量

若兩粒子交換，則（6.7-2）

能量值仍為是簡并的，這種簡并稱為交換簡并。

如果兩粒子處于同一狀態，

則（6.7-1）和（6.7-2）給出同一個對稱波函數

如果兩粒子處于不同狀態，

則（6.7-1）和（6.7-2）式的函數既不對稱，也不反對稱，故不符合全同粒子體系波函數的要求。69

這表明（6.7-1）和（6.7-2）兩式所表示的函數，只能部分滿足全同粒子體系對波函數的要求，不能完全滿足，故不能作為全同粒子體系的波函數。

但由（6.7-1）和（6.7-2）兩式的和、差可以構成對稱函數和反對稱函數。玻色系統：

費米系統：

則以上兩式既是原方程的解，又滿足交換對稱或反對稱的條件，因此可以作為兩個無相互作用的全同粒子體系的波函數。

70泡利原理

對玻色子系統，波函數取形式，當兩個玻色子處于同一個狀態時，這時，故幾率密度，所以允許。

對于費米系統，波函數取形式，當兩費米子處于同一個狀態時，故使幾率密度，所以不允許。泡利不相容原理：費米系統中，兩個費米子不能處于同一個狀態。正是這個原理，使核和原子等的結構有序。71以上是兩個粒子無相互作用是的波函數，若兩個粒子之間存在相互作用時，本征方程為

由于交換簡并在這種情況下依然成立，所以波函數仍可以表示為：72二、N粒子體系將兩粒子體系推廣到N粒子體系單粒子的本征值方程：體系的薛定格方程：本征函數

（6.7-4）（6.7-3）本征能量73三、費米子體系波函數

可見，在不考慮粒子間相互作用時，全同粒子體系的能量等于各單粒子能量之和，哈米頓算符的本征函數是各單粒子的本征函數的積。因此，解多粒子體系的問題，歸結為解單粒子的薛定格方程。下面分別討論費米系統和玻色系統的波函數形式。

由N個費米子組成的體系的本征函數是反對稱的，依照（6.7-3）式稱為斯萊特行列式

注意：每一行所以粒子態相同74

是歸一化的，是的歸一化因子。將斯萊特行列式展開，共有項如（6.7-3）式的形式，因而,是體系薛定格方程的本征函數解。

交換任意兩個粒子，在斯萊特行列式中就表現出兩列相互交換，這就使行列式改變符號。所以是反對稱的。

如果N個粒子中，有兩個處于同一個狀態，則斯萊特行列式中有兩行完全相同，這使行列式等于零，從而使，幾率。要使，不能有兩粒子處在同一單粒子態。這也就是泡利的不相容原理。75例

一個體系由三個費米子組成，粒子間無相互作用，它們分別可能處于單粒態、、，求系統波函數。Solve76四、玻色子體系的波函數

N個玻色子所組成的體系的波函數應是對稱的。它也由（6.7-3）式進行構成。所不同的是單粒子態中，能容納的玻色子數不受限制，