層次分析模型背景日常工作、生活中的決策問題涉及經濟、社會等方面的因素作比較判斷時人的主觀選擇起相當大的作用，各因素的重要性難以量化

Saaty于1970年代提出層次分析法AHP(AnalyticHierarchyProcess)

AHP——一種定性與定量相結合的、系統化、層次化的分析方法國家綜合實力國民收入軍事力量科技水平社會穩定對外貿易美、俄、中、日、德等大國工作選擇貢獻收入發展聲譽關系位置供選擇的崗位例1

國家實力分析例2

工作選擇待評價的科技成果直接經濟效益C11間接經濟效益C12社會效益C13學識水平C21學術創新C22技術水平C23技術創新C24效益C1水平C2規模C3科技成果評價例3科技成果的綜合評價目標層O(選擇旅游地)P2黃山P1桂林P3天柱山準則層方案層C3居住C1景色C2費用C4飲食C5旅途一.層次分析法的基本步驟例.選擇旅游地如何在3個目的地中按照景色、費用、居住條件等因素選擇.“選擇旅游地”思維過程的歸納將決策問題分為3個層次：目標層O，準則層C，方案層P；每層有若干元素，各層元素間的關系用相連的直線表示。通過相互比較確定各準則對目標的權重，及各方案對每一準則的權重。將上述兩組權重進行綜合，確定各方案對目標的權重，給出決策問題的定量結果。層次分析法的基本步驟2.構造成對比較陣設要比較各準則C1,C2,…,Cn對目標O的重要性A稱為成對比較陣An×n為正互反陣表示Ci與Cj對目標O的影響之比。就是說1.建立層次分析結構模型2468比較尺度aij

Saaty等人提出1~9尺度——aij

取值1,2,…,9及其互反數1,1/2,…,1/9尺度13579相同稍強強明顯強絕對強aij=1,1/2,,…1/9的重要性與上面相反心理學家認為成對比較的因素不宜超過9個便于定性到定量的轉化：層次分析法的基本步驟C3居住C1景色C2費用C4飲食C5旅途O(選擇旅游地)特別地，成對比較的不一致情況一致比較不一致允許不一致，但要確定不一致的允許范圍考察完全一致的情況------表示在O中的比重。滿足的正互反陣A稱一致陣。

A的秩為1，A的唯一非零特征根為n

A的任一列向量是對應于n的特征向量

A的歸一化特征向量可作為權向量對于不一致(但在允許范圍內)的成對比較陣A，建議用對應于最大特征根的特征向量作為權向量w，即一致陣性質已知：n階一致陣的唯一非零特征根為n可證：n

階正互反陣最大特征根

n,且

=n時為一致陣定義一致性指標:CI越大，不一致越嚴重為衡量CI的大小，引入隨機一致性指標RI3.計算權向量并作一致性檢驗RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51

n1234567891110定義一致性比率CR=CI/RI

當CR<0.1時，通過一致性檢驗Saaty的結果如下3.計算權向量并作一致性檢驗“選擇旅游地”中準則層對目標的權向量及一致性檢驗準則層對目標的成對比較陣最大特征根=5.073權向量(特征向量)w=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T一致性指標隨機一致性指標RI=1.12(查表)一致性比率CR=0.018/1.12=0.016<0.1目標層O(選擇旅游地)P2黃山P1桂林P3天柱山準則層方案層C3居住C1景色C2費用C4飲食C5旅途記第2層（準則）對第1層（目標）的權向量為同樣求第3層(方案)對第2層每一元素(準則)的權向量方案層對C1(景色)的成對比較陣方案層對C2(費用)的成對比較陣…Cn…Bn最大特征根1

2

…

n

權向量w1(3)w2(3)…

wn(3)4.計算組合權向量

=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T第3層對第2層的計算結果k10.5950.2770.1293.0050.0030.00100.00503.0020.6820.2360.082230.1420.4290.42933.0090.1750.1930.633430.6680.1660.1665RI=0.58(n=3),

CIk

均可通過一致性檢驗w(2)

0.2630.4750.0550.0900.110方案P1對目標的組合權重為0.5950.263+…=0.300方案層對目標的組合權向量為(0.300,0.246,0.456)T組合權向量第1層O第2層C1,…Cn第3層P1,…Pm第2層對第1層的權向量第3層對第2層各元素的權向量構造矩陣則第3層對第1層的組合權向量第s層對第1層的組合權向量其中W(p)是由第p層對第p-1層權向量組成的矩陣層次分析法的基本步驟1）建立層次分析結構模型深入分析實際問題，將有關因素自上而下分層（目標—準則或指標—方案或對象），上層受下層影響，而層內各因素基本上相對獨立。2）構造成對比較陣用成對比較法和1~9尺度，構造各層對上一層每一因素的成對比較陣。3）計算權向量并作一致性檢驗對每一成對比較陣計算最大特征根和特征向量，作一致性檢驗，若通過，則特征向量為權向量。4）計算組合權向量（作組合一致性檢驗*）組合權向量可作為決策的定量依據。層次分析法的優點

系統性——將對象視作系統，按照分解、比較、判斷、綜合的思維方式進行決策——系統分析（與機理分析、測試分析并列）；

實用性——定性與定量相結合，能處理傳統的優化方法不能解決的問題；

簡潔性——計算簡便，結果明確，便于決策者直接了解和掌握。層次分析法的局限

囿舊——只能從原方案中選優，不能產生新方案；粗略——定性化為定量，結果粗糙；主觀——主觀因素作用大，結果可能難以服人。模糊層次分析法什么是"模糊數學"

模糊概念的外延是不明確的,其邊界是不清晰的,因而相應的集合也是“模糊”的。就是說一個對象是否屬于這個集合,不能簡單地用“是”或“否”來回答。比如,對于“年輕人”這個概念,若要判斷20歲的張三或80歲的李四是否是“年輕人”,答案自然是明確的！但要判斷28歲~35歲左右的人是否屬于“年輕人”的集合,就不那么好確定了。模糊數學（FuzzyMathematics）其基本思想是：把經典集合中的隸屬關系加以擴充，使元素對“集合”的隸屬程度由只能取0與1這兩個值推廣到可以取單位區間[0,1]中的任意一數值。表示Ci與Cj對目標O的影響之比。A稱為成對比較陣Ann為正互反陣就是說模糊層次分析法的關鍵是模糊一致矩陣模糊矩陣模糊互補陣模糊一致陣模糊互補陣模糊一致矩陣性質構造模糊一致矩陣對模糊互補陣按行求和，記實施如下變換：模糊一致矩陣中元素的意義模糊一致矩陣當表示元素i與元j同樣重要；當表示元素j比元素i重要；當表示元素i比元素j重要；例港址的選擇A效益B1經濟B2人文B5環境B4技術B3區域B6方案組C11,C12C13,C14方案組C21,C22C23,C24方案組C31,C32C33,C34方案組C41,C42C43,C44方案組C51,C52C53,C54方案組C61,C62C63,C641.列出層次結構：最高層為最優目標，中間層是最優方案相關的元素，最低層是專家評價。2.寫出A-B優先關系矩陣，方法如下：其中當因素Bi比因素Bj重要時，rij=1；當因素Bi與因素Bj同樣重要時，rij=0.5；當因素Bi不如因素Bj重要時，rij=0。AB1B2B3B4B5B6B10.511111B200.50.5111B300.50.5000B40010.511B500.5100.51B6000000.5A-B優先關系矩陣3.構造A-B層模糊一致陣R=(rij)n×n，方法如下：實施如下變換：A-B層模糊一致陣4.計算A-B層層單排序，方法如下：表示本層(B)因素對上層(A)某因素的重要性次序表示k層元素對k-1層