第三章幾何運算

幾何運算可改變圖象中各物體之間的空間關系。該運算可看成是將（各）物體在圖象內移動。其效果類似在一塊橡皮板上畫圖，拉伸該橡皮板，圖形會隨之變化。 幾何變換不改變圖象的象素值，只是在圖象平面上進行象素的重新排列。 一個幾何運算需要兩個獨立的算法： （1）空間變換。 （2）灰度插值?！?.1幾何變換一、基本變換基本幾何變換的定義一般變換距陣常用的基本幾何變換平移變換旋轉變換鏡像變換：水平鏡像、垂直鏡像放縮變換拉伸變換離散幾何變換的計算1、基本幾何變換的定義 對于原圖象f(u,v)，坐標變換函數 x=X(u,v); y=Y(u,v) 唯一確定了幾何變換： g(x,y)=g(X(u,v),Y(u,v)) g(x,y)是目標圖象。 表面看沒有值的改變。 變換函數X、Y唯一地描述了空間變換。若它們是連續的，則連通關系將在圖象中得到保持。2、一般變換矩陣

很多簡單的空間變換都可用一個3×3變換矩陣來表示： 其中 T稱為一般變換矩陣。 向量和中引入了第三個坐標分量w，這樣構成的坐標稱為齊次坐標。 當變換陣T中的系數取不同值時，可產生變倍、剪切、旋轉、反射、平移及透視等多種變換。*齊次坐標

齊次坐標是計算機視覺和圖形學中一個十分有用的工具，利用它可以統一完美地表達許多重要的幾何變換。所謂齊次坐標表示就是用n+1維向量表示一個n維向量，含有冗余信息：笛卡爾n維空間中的一點可以用齊次（n+1）空間中的一條直線來表示。因此，對一個笛卡爾空間的物理坐標點，在齊次空間中不存在唯一的表示。 如：3D空間中的點(xw,yw,zw)T的齊次坐標是一個4*1維矢量(kxw,kyw,kzw,k

)T，k為非零任意常數。 作用：通過矢量空間維數的增加，可將幾何變換中的非線性關系轉換為線性關系。3、仿射變換(AffineTransformation) 仿射變換的一般表達式為： 按線性變換定義，若變換L滿足： 其中c為常數。則L稱為線性變換。 將仿射變換表達式展開：

顯然，在一般情況下，仿射變換不是線性變換。只有當時，仿射變換蛻化為線性變換。因此，仿射變換又可表示為： 其中A為仿射變換，t為常數。 仿射變換的性質： （1）仿射變換將平行直線映射成平行直線；將三角形映射成三角形。 （2）仿射變換的乘積和逆變換仍是仿射變換。 但是仿射變換不能保證四邊形到四邊形的映射。幾種典型的仿射變換

（1）平移變換 將所有點的坐標u和v分別加上Tu和Tv平移到一個新的位置上。

（2）旋轉變換 將uv平面上的所有點相對原點逆時針旋轉角（注意旋轉中心的選?。＃?）縮放變換

當su，sv大于1時，圖象被放大；小于1時被縮小。（4）剪切變換（ShearTransform）

又稱“錯切變換”，指的是類似于四邊形不穩定性那種性質，方形變平行四邊形，任意一邊都可以被拉長的過程。 沿u軸的剪切變換可表示為： 沿v軸的剪切變換可表示為：***對稱變換（反射變換或鏡象變換）(a)對稱于Y軸變換矩陣為：

(b)對稱于X軸變換矩陣為：

(c)對稱于原點變換矩陣為：

(d)對稱于直線y=x變換矩陣為：

(e)對稱于直線y=-x變換矩陣為：4、透視變換 透視變換（亦稱投影映射），可表示為：

其中： 透視變換與仿射變換有許多相同的特性。如：它們都是平面映射，因此其向前和逆變換都是單值的；它們可以保證任意方向的直線變換后仍為直線。但是透視變換有8個自由度，可以滿足平面四邊形到四邊形的映射（四角映射），而仿射變換只有6個自由度，不能實現四角映射。

不失一般性，可以將一般距陣T中的a33作歸一化處理，這樣透視變換中的系數便降為8個。利用這8個系數，便可建立輸入與輸出圖象中4個點的映射關系。 假設與（k=0，1，2，3）分別為輸入圖象和輸出圖象中對應的四個點，由它們構成的點對稱為控制點對。將其代入變換式得：

為一由8個方程構成的方程組，求解便可得到8個系數的值。從而得到平面四邊形到平面四邊形映射的一般解。以下就一些特殊情況作一討論。

（1）單位正方形到四邊形的映射 考慮將uv平面的單位正方形映射成xy平面的任意四邊形。其四個控制點對之間的關系如下：代入方程組，可得解（略）。

（2）四邊形到單位正方形的映射

是（1）中問題的逆。

（3）四邊形到四邊形映射

一般四邊形到四邊形映射問題稱為四角映射（fourcornermapping）。透視變換提供了平面四角映射問題的解?？煞謨刹剑菏紫葘⑺倪呅斡成涑蓡挝徽叫?；然后再將單位正方形映射成最終的四邊形（如上圖）。5、多項式變換

多項式變換的一般形式可表示為： 多項式變換最早用于遙感圖象的幾何校正。在實際應用中，一般不直接給出多項式的系數，而是給出輸入、輸出圖象中一些位置已精確給定的控制點，利用控制點來推導多項式的系數。 用一般變換矩陣表示的所有變換都可用一階多項式變換得到。當多項式階數升高時，所能實現的變換種類和任意性也相應增加，但也會帶來一些負作用。二、灰度級插值

幾何運算的第二個要求是有進行灰度插值的算法。在輸入圖象[u，v]中，灰度值僅在整數位置上有定義。然而，輸出圖象[x，y]的灰度值一般由處在非整數坐標上的（u，v）值來決定。因此，若將幾何運算看成是一個從[u，v]到[x，y]的映射，則[u，v]中的一個象素可能會映射到[x，y]中幾個象素之間的位置；反過來也是如此。 灰度插值有一些常用算法，它們完成的功能相同，可從中選擇一個。而每個特定的幾何運算是由空間變換算法決定的。插值算法

插值是確定某個函數在兩個采樣值之間的數值時采用的運算過程。通常是利用曲線擬合的方法，通過離散的采樣點建立一個連續函數，用該重建的函數便可求出任意位置的函數值。 對有限帶寬的信號采樣會產生無限帶寬信號。插值過程正好相反，它通過對離散信號作低通濾波處理，減小了信號帶寬。其對采樣數值的平滑作用，恢復了在采樣過程中丟失的信息。因此，插值可看作采樣的逆過程。

對于等間隔采樣數據，插值可表示為：

式中，h為插值核，Ci為權系數，卷積對k個數據作處理。在實際應用中，h總是對稱的，即：，Ci為采樣值。 插值核的性質可通過其頻域特性來評估。理想的插值核在帶通區具有單位增益，在帶阻區有0增益，因此可以有效地通過和抑制不同頻率的信號成分。 插值算法的數值精度及計算復雜性直接與插值核有關。因此，插值核的設計與評價是插值算法的核心。以下討論一維問題，其結果很容易推廣到二維。常用的插值核1、最近鄰域法 其插值核定義為：用該方法作放大處理時，在圖象中可能出現明顯的塊狀效應2、線性插值 線性插值多項式為： 其插值核為：3、三次樣條插值 首先給定一組控制點： 其中，，要求構造一個函數F（x），滿足以下三個條件： （1）F（x），F’（x），F”（x），在[a，b]上連續； （2）F（x）在每個子區間上是不高于三次的多項式； （3），（i=0，1，------，n-1）

4、雙線性插值（二維情況） 令f（x，y）為兩個變量的函數，其在單位正方形頂點的值已知。假設我們希望通過插值得到正方形內任意點的函數值。則可由雙線性方程（1） 來定義的一個雙曲拋物面與四個已知點擬合。 首先對上端的兩個頂點進行線性插值得：（2） 類似地，再對底端的兩個頂點進行線性插值有：（3） 最后，做垂直方向的線性插值，以確定：（4）

整理得：（5）三、算法的實現1、向前映射法

可以將幾何運算想象成一次一個象素地轉移到輸出圖象中。如果一個輸入象素被映射到四個輸出象素之間的位置，則其灰度值就按插值算法在4個輸出象素之間進行分配。稱為向前映射法，或象素移交影射。 注：從原圖象坐標計算出目標圖象坐標 鏡像、平移變換使用這種計算方法2、向后映射法 向后映射法（或象素填充算法）是輸出象素一次一個地映射回到輸入象素中，以便確定其灰度級。如果一個輸出象素被映射到4個輸入象素之間，則其灰度值插值決定，向后空間變換是向前變換的逆。 注：從結果圖象的坐標計算原圖象的坐標旋轉、拉伸、放縮可以使用解決了漏點的問題，出現了馬賽克

由于許多輸入象素可能映射到輸出圖象的邊界之外，故向前映射算法有些浪費。而且，每個輸出象素的灰度值可能要由許多輸入象素的灰度值來決定，因而要涉及多次運算。如果空間變換中包括縮小處理，則會有4個以上的輸入象素來決定一個輸出象素的灰度值（重疊問題）。如果含有放大處理，則一些輸出象素可能被漏掉（如果沒有輸入象素被映射到它們附近位置的話，會產生“孔洞現象”）。 而向后映射是逐象素、逐行地產生輸出圖象。每個象素的灰度值最多由4個輸入象素參與的插值所唯一確定。當然，輸入圖象必須允許按空間變換所定義的方式隨機訪問，因此可能有些復雜。但向后映射法對一般的應用更為切實可行。§3.2圖象重采樣§3.3抗混疊技術*幾何運算的應用1、幾何校正2、圖象校直3、圖象配準4、圖象樣式轉換5、地圖投影6、數字圖象變形

作業：下載一幅單色圖象，用C語言編程實現圖象的平移、旋轉、縮放等變換算法。

代數運算：一、引言二、加法運算應用三、減法運算應用四、乘法運算和除法運算1引言1）定義代數運算是指兩幅輸入圖像進行點對點的加、減、乘或除計算而得到輸出圖像。2）主要應用圖像相加可以將一幅圖像內容加到另一幅圖像上，以達到二次曝光的要求（doubleexposure）。圖像相加可以對同一場景的多幅圖像求平均值，以降低加性（additive）隨機噪聲。圖像相減可去除圖像中不需要的加性圖案。圖像