數學A（理）§12.1隨機事件的概率第十二章概率、隨機變量及其分布基礎知識·自主學習題型分類·深度剖析思想方法·感悟提高練出高分1.概率和頻率(1)在相同的條件S下重復n次試驗，觀察某一事件A是否出現，稱n次試驗中事件A出現的次數nA為事件A出現的頻數，稱事件A出現的比例fn(A)＝

為事件A出現的頻率.(2)對于給定的隨機事件A，在相同條件下，隨著試驗次數的增加，事件A發生的

會在某個常數附近擺動并趨于穩定，我們可以用這個常數來刻畫隨機事件A發生的可能性大小，并把這個

稱為隨機事件A的概率，記作P(A).頻率常數2.事件的關系與運算包含

定義符號表示包含關系如果事件A發生，則事件B一定發生，這時稱事件B

事件A(或稱事件A包含于事件B)

(或A?B)相等關系若B?A且A?B

B?AA＝B并事件

定義符號表示并事件(和事件)若某事件發生當且僅當事件A發生或事件B發生，稱此事件為事件A與事件B的

(或和事件)A∪B(或A＋B)交事件(積事件)若某事件發生當且僅當

且

，則稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)A∩B(或AB)事件A發生事件B發生

定義符號表示互斥事件若A∩B為不可能事件(A∩B＝?)，則稱事件A與事件B互斥A∩B＝?對立事件若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件P(A)＋P(B)＝13.概率的幾個基本性質(1)概率的取值范圍：

.(2)必然事件的概率P(E)＝

.(3)不可能事件的概率P(F)＝

.(4)概率的加法公式如果事件A與事件B互斥，則P(A∪B)＝

.(5)對立事件的概率若事件A與事件B互為對立事件，則P(A)＝

.0≤P(A)≤110P(A)＋P(B)1－P(B)[知識拓展]互斥事件與對立事件的區別與聯系互斥事件與對立事件都是兩個事件的關系，互斥事件是不可能同時發生的兩個事件，而對立事件除要求這兩個事件不同時發生外，還要求二者之一必須有一個發生，因此，對立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對立事件.思考辨析判斷下面結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)事件發生頻率與概率是相同的.(

)(2)隨機事件和隨機試驗是一回事.(

)(3)在大量重復試驗中，概率是頻率的穩定值.(

)×√×(4)兩個事件的和事件是指兩個事件都得發生.(

)(5)對立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是對立事件.(

)(6)“方程x2＋2x＋8＝0有兩個實根”是不可能事件.(

)×返回√√題號答案解析1234

EnterDBB0①錯，不一定是10件次品；③錯，頻率不等于概率，這是兩個不同的概念.②錯，

是頻率而非概率；解析解析思維升華題型一隨機事件的關系例1

某城市有甲、乙兩種報紙供居民們訂閱，記事件A為“只訂甲報紙”，事件B為“至少訂一種報紙”,事件C為“至多訂一種報紙”,事件D為“不訂甲報紙”,事件E為“一種報紙也不訂”.判斷下列每對事件是不是互斥事件；如果是,再判斷它們是不是對立事件.(1)A與C;(2)B與E;(3)B與C;(4)C與E.題型一隨機事件的關系例1

某城市有甲、乙兩種報紙供居民們訂閱，記事件A為“只訂甲報紙”，事件B為“至少訂一種報紙”,事件C為“至多訂一種報紙”,事件D為“不訂甲報紙”,事件E為“一種報紙也不訂”.判斷下列每對事件是不是互斥事件；如果是,再判斷它們是不是對立事件.(1)A與C;(2)B與E;(3)B與C;(4)C與E.解

(1)由于事件C“至多訂一種報紙”中有可能“只訂甲報紙”，即事件A與事件C有可能同時發生，故A與C不是互斥事件.解析思維升華題型一隨機事件的關系例1

某城市有甲、乙兩種報紙供居民們訂閱，記事件A為“只訂甲報紙”，事件B為“至少訂一種報紙”,事件C為“至多訂一種報紙”,事件D為“不訂甲報紙”,事件E為“一種報紙也不訂”.判斷下列每對事件是不是互斥事件；如果是,再判斷它們是不是對立事件.(1)A與C;(2)B與E;(3)B與C;(4)C與E.(2)事件B“至少訂一種報紙”與事件E“一種報紙也不訂”是不可能同時發生的，故B與E是互斥事件.由于事件B不發生可導致事件E一定發生，且事件E不發生會導致事件B一定發生，故B與E還是對立事件.解析思維升華題型一隨機事件的關系例1

某城市有甲、乙兩種報紙供居民們訂閱，記事件A為“只訂甲報紙”，事件B為“至少訂一種報紙”,事件C為“至多訂一種報紙”,事件D為“不訂甲報紙”,事件E為“一種報紙也不訂”.判斷下列每對事件是不是互斥事件；如果是,再判斷它們是不是對立事件.(1)A與C;(2)B與E;(3)B與C;(4)C與E.(3)事件B“至少訂一種報紙”中有這些可能：“只訂甲報紙”、“只訂乙報紙”、“訂甲、乙兩種報紙”，事件C“至多訂一種報紙”中有這些可能：“一種報紙也不訂”、“只訂甲報紙”、“只訂乙報紙”，解析思維升華題型一隨機事件的關系例1

某城市有甲、乙兩種報紙供居民們訂閱，記事件A為“只訂甲報紙”，事件B為“至少訂一種報紙”,事件C為“至多訂一種報紙”,事件D為“不訂甲報紙”,事件E為“一種報紙也不訂”.判斷下列每對事件是不是互斥事件；如果是,再判斷它們是不是對立事件.(1)A與C;(2)B與E;(3)B與C;(4)C與E.由于這兩個事件可能同時發生，故B與C不是互斥事件.(4)由(3)的分析，事件E“一種報紙也不訂”是事件C的一種可能，即事件C與事件E有可能同時發生，故C與E不是互斥事件.解析思維升華題型一隨機事件的關系例1

某城市有甲、乙兩種報紙供居民們訂閱，記事件A為“只訂甲報紙”，事件B為“至少訂一種報紙”,事件C為“至多訂一種報紙”,事件D為“不訂甲報紙”,事件E為“一種報紙也不訂”.判斷下列每對事件是不是互斥事件；如果是,再判斷它們是不是對立事件.(1)A與C;(2)B與E;(3)B與C;(4)C與E.對互斥事件要把握住不能同時發生，而對于對立事件除不能同時發生外，其并事件應為必然事件.解析思維升華題型一隨機事件的關系例1

某城市有甲、乙兩種報紙供居民們訂閱，記事件A為“只訂甲報紙”，事件B為“至少訂一種報紙”,事件C為“至多訂一種報紙”,事件D為“不訂甲報紙”,事件E為“一種報紙也不訂”.判斷下列每對事件是不是互斥事件；如果是,再判斷它們是不是對立事件.(1)A與C;(2)B與E;(3)B與C;(4)C與E.這些也可類比集合進行理解，具體應用時，可把所有試驗結果寫出來，看所求事件包含哪幾個試驗結果，從而判定所給事件的關系.解析思維升華跟蹤訓練1從40張撲克牌(紅桃、黑桃、方塊、梅花點數從1～10各10張)中，任取一張，判斷下列給出的每對事件，互斥事件為________，對立事件為________.①“抽出紅桃”與“抽出黑桃”；②“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”；③“抽出的牌點數為5的倍數”與“抽出的牌點數大于9”.解析

①是互斥事件.理由是：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出紅桃”和“抽出黑桃”是不可能同時發生的，所以是互斥事件.②是互斥事件，且是對立事件.理由是：從40張撲克牌中，任意抽取1張，“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”兩個事件不可能同時發生，但其中必有一個發生，所以它們既是互斥事件，又是對立事件.③不是互斥事件.理由是：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出的牌點數為5的倍數”與“抽出的牌點數大于9”這兩個事件可能同時發生，如抽得點數為10.因此，二者不是互斥事件，當然也不可能是對立事件.答案

①②

②題型二隨機事件的頻率與概率例2某企業生產的乒乓球被奧運會指定為乒乓球比賽專用球，目前有關部門對某批產品進行了抽樣檢測，檢查結果如下表所示：抽取球數n5010020050010002000優等品數m45921944709541902優等品頻率

(1)計算表中乒乓球優等品的頻率；解依據公式f＝

，計算出表中乒乓球優等品的頻率依次是0.900,0.920,0.970,0.940,0.954,0.951.(2)從這批乒乓球產品中任取一個，質量檢查為優等品的概率是多少？(結果保留到小數點后三位)解

由(1)知，抽取的球數n不同，計算得到的頻率值不同，但隨著抽取球數的增多，頻率在常數0.950的附近擺動，所以質量檢查為優等品的概率約為0.950.思維升華頻率是個不確定的數，在一定程度上頻率可以反映事件發生的可能性大小，但無法從根本上刻畫事件發生的可能性大小.但從大量重復試驗中發現，隨著試驗次數的增多，事件發生的頻率就會穩定于某一固定的值，該值就是概率.跟蹤訓練2

某河流上的一座水力發電站，每年六月份的發電量Y(單位：萬千瓦時)與該河上游在六月份的降雨量X(單位：毫米)有關.據統計，當X＝70時，Y＝460；X每增加10，Y增加5.已知近20年X的值為140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160.

(1)完成如下的頻率分布表：近20年六月份降雨量頻率分布表降雨量70110140160200220頻率

解

(1)在所給數據中，降雨量為110毫米的有3個，為160毫米的有7個，為200毫米的有3個.故近20年六月份降雨量頻率分布表為降雨量70110140160200220頻率(2)假定今年六月份的降雨量與近20年六月份降雨量的分布規律相同，并將頻率視為概率，求今年六月份該水力發電站的發電量低于490(萬千瓦時)或超過530(萬千瓦時)的概率.解由已知可得Y＝

＋425，題型三

互斥事件、對立事件的概率例3某商場有獎銷售中，購滿100元商品得1張獎券，多購多得.1000張獎券為一個開獎單位，設特等獎1個，一等獎10個，二等獎50個.設1張獎券中特等獎、一等獎、二等獎的事件分別為A、B、C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；例3(2)1張獎券的中獎概率；思維點撥思維升華解析事件A、B、C兩兩互斥.例3(2)1張獎券的中獎概率；思維點撥思維升華解析∵A、B、C兩兩互斥，例3(2)1張獎券的中獎概率；思維點撥思維升華解析例3(2)1張獎券的中獎概率；思維點撥思維升華解析求復雜的互斥事件的概率一般有兩種方法：一是直接求解法，將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和；例3(2)1張獎券的中獎概率；思維點撥思維升華解析例3(2)1張獎券的中獎概率；思維點撥思維升華解析二是間接法，先求該事件的對立事件的概率，再由P(A)＝1－P()求解.當題目涉及“至多”“至少”型問題，多考慮間接法.思維點撥思維升華解析例3(3)1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率.事件A、B、C兩兩互斥.例3(3)1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率.思維點撥思維升華解析例3(3)1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率.思維點撥思維升華解析例3(3)1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率.思維點撥思維升華解析求復雜的互斥事件的概率一般有兩種方法：一是直接求解法，將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和；例3(3)1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率.思維點撥思維升華解析例3(3)1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率.思維點撥思維升華解析二是間接法，先求該事件的對立事件的概率，再由P(A)＝1－P()求解.當題目涉及“至多”“至少”型問題，多考慮間接法.跟蹤訓練3

國家射擊隊的隊員為在射擊世錦賽上取得優異成績，正在加緊備戰，經過近期訓練，某隊員射擊一次命中7～10環的概率如下表所示：命中環數10環9環8環7環概率0.320.280.180.12求該射擊隊員射擊一次：(1)射中9環或10環的概率；(2)命中不足8環的概率.因此，射擊一次，命中不足8環的概率為0.22.思想與方法系列20用正難則反思想求互斥事件的概率典例：(12分)某超市為了了解顧客的購物量及結算時間等信息，安排一名員工隨機收集了在該超市購物的100位顧客的相關數據，如下表所示.一次購物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顧客數(人)x3025y10結算時間(分鐘/人)11.522.53已知這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55%.(1)確定x，y的值，并估計顧客一次購物的結算時間的平均值；規范解答溫馨提醒易錯提示已知這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55%.(1)確定x，y的值，并估計顧客一次購物的結算時間的平均值；解

(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.2分

規范解答溫馨提醒易錯提示已知這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55%.(1)確定x，y的值，并估計顧客一次購物的結算時間的平均值；6分

規范解答溫馨提醒易錯提示已知這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55%.(1)確定x，y的值，并估計顧客一次購物的結算時間的平均值；要準確理解題意，善于從圖表信息中提煉數據關系，明確數字特征含義.規范解答溫馨提醒易錯提示已知這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55%.(1)確定x，y的值，并估計顧客一次購物的結算時間的平均值；(1)對統計表的信息不理解，錯求x，y難以用樣本平均數估計總體.規范解答溫馨提醒易錯提示(2)求一位顧客一次購物的結算時間不超過2分鐘的概率.(將頻率視為概率)思維點撥規范解答溫馨提醒易錯提示...若某一事件包含的基本事件多，而它的對立事件包含的基本事件少，則可用“正難則反”思想求解.(2)求一位顧客一次購物的結算時間不超過2分鐘的概率.(將頻率視為概率)...思維點撥規范解答溫馨提醒易錯提示(2)求一位顧客一次購物的結算時間不超過2分鐘的概率.(將頻率視為概率)9分

思維點撥規范解答溫馨提醒易錯提示(2)求一位顧客一次購物的結算時間不超過2分鐘的概率.(將頻率視為概率)12分

思維點撥規范解答溫馨提醒易錯提示11分

(2)正確判定事件間的關系，善于將A轉化為互斥事件的和或對立事件，切忌盲目代入概率加法公式.(2)求一位顧客一次購物的結算時間不超過2分鐘的概率.(將頻率視為概率)思維點撥規范解答溫馨提醒易錯提示(2)不能正確地把事件A轉化為幾個互斥事件的和或對立事件，導致計算錯誤.(2)求一位顧客一次購物的結算時間不超過2分鐘的概率.(將頻率視為概率)思維點撥規范解答溫馨提醒易錯提示返回方法與技巧1.對于給定的隨機事件A，由于事件A發生的頻率fn(A)隨著試驗次數的增加穩定于概率P(A)，因此可以用頻率fn(A)來估計概率P(A).2.從集合角度理解互斥事件和對立事件從集合的角度看，幾個事件彼此互斥，是指由各個事件所含的結果組成的集合彼此的交集為空集，事件A的對立事件

所含的結果組成的集合，是全集中由事件A所含的結果組成的集合的補集.失誤與防范1.正確認識互斥事件與對立事件的關系：對立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情況，但互斥事件不一定是對立事件，“互斥”是“對立”的必要不充分條件.返回2.需準確理解題意，特別留心“至多……”“至少……”“不少于……”等語句的含義.23456789101D解析射擊兩次的結果有：一次中靶；二次中靶；兩次都不中靶，234567891011.一個人打靶時連續射擊兩次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是(

)A.至多有一次中靶 B.兩次都中靶C.只有一次中靶 D.兩次都不中靶故至少一次中靶的互斥事件是兩次都不中靶.2.下列命題：①將一枚硬幣拋兩次，設事件M：“兩次出現正面”，事件N：“只有一次出現反面”，則事件M與N互為對立事件；②若事件A與B互為對立事件，則事件A與B為互斥事件；③若事件A與B為互斥事件，則事件A與B互為對立事件；④若事件A與B互為對立事件，則事件A∪B為必然事件，其中，真命題是(

)A.①②④ B.②④

C.③④ D.①②23456789101答案

B解析對①一枚硬幣拋兩次，共出現{正，正}，{正，反}，{反，正}，{反，反}四種結果，則事件M與N是互斥事件，但不是對立事件，故①錯；23456789101對②對立事件首先是互斥事件，故②正確；對③互斥事件不一定是對立事件，如①中兩個事件，故③錯；對④事件A、B為對立事件，則這一次試驗中A、B一定有一個要發生，故④正確.故B正確.234567891013.從6個男生2個女生中任選3人，則下列事件中必然事件是(

)A.3個都是男生 B.至少有1個男生C.3個都是女生 D.至少有1個女生解析因為只有2名女生，所以選出的3人中至少有一個男生.B23456789101解析至多有一張移動卡包含“一張移動卡，一張聯通卡”“兩張全是聯通卡”兩個事件，它是“2張全是移動卡”的對立事件，故選A.A2345678910123456789101解析甲想一數字有3種結果，乙猜一數字有3種結果，基本事件總數為3×3＝9.設甲、乙“心有靈犀”為事件A，則A的對立事件B為“|a－b|>1”，即|a－b|＝2包含2個基本事件，答案

D6.在200件產品中，有192件一級品，8件二級品，則下列事件：①在這200件產品中任意選出9件，全部是一級品；②在這200件產品中任意選出9件，全部是二級品；③在這200件產品中任意選出9件，不全是二級品.其中________是必然事件；________是不可能事件；________是隨機事件.23456789101①③②234567891017.口袋內裝有一些大小相同的紅球、白球和黑球，從中摸出1個球，摸出紅球的概率為0.42，摸出白球的概率為0.28，若紅球有21個，則黑球有________個.解析

1－0.42－0.28＝0.30,21÷0.42＝50，50×0.30＝15.15234567891018.已知某運動員每次投籃命中的概率都為40%，現采用隨機模擬的方法估計該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計算器產生0到9之間取整數值的隨機數，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三個隨機數為一組，代表三次投籃的結果.經隨機模擬產生了如下20組隨機數：907

966

191

925

271

932

812

458

569

683431

257

393

027

556

488

730

113

537

989據此估計，該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為________.23456789101答案

0.25234567891019.黃種人群中各種血型的人所占的百分比如下表所示：血型ABABO該血型的人所占比/%2829835已知同種血型的人可以輸血，O型血可以輸給任一種血型的人，任何人的血都可以輸給AB型血的人，其他不同血型的人不能互相輸血.小明是B型血，若小明因病需要輸血，問：23456789101(1)任找一個人，其血可以輸給小明的概率是多少？解對任一人，其血型為A，B，AB，O型血的事件分別記為A′，B′，C′，D′，它們是互斥的.由已知，有P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35.因為B，O型血可以輸給B型血的人，故“可以輸給B型血的人”為事件B′∪D′.根據互斥事件的加法公式，有P(B′∪D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64.23456789101(2)任找一個人，其血不能輸給小明的概率是多少？解

方法一由于A，AB型血不能輸給B型血的人，故“不能輸給B型血的人”為事件A′∪C′，且P(A′∪C′)＝P(A′)＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.方法二因為事件“其血可以輸給B型血的人”與事件“其血不能輸給B型血的人”是對立事件，故由對立事件的概率公式，有P(A′∪C′)＝P()＝1－P(B′∪D′)＝1－0.64＝0.36.2345678910110.對一批襯衣進行抽樣檢查，結果如表：抽取件數n50100200500600700800次品件數m021227273540次品率

23456789101(1)求次品出現的頻率(次品率)；解次品率依次為0,0.02,0.06,0.054,0.045，0.05，0.05.(2)記“任取一件襯衣是次品”為事件A，求P(A)；23456789101(3)為了保證買到次品的顧客能夠及時更換，銷售1000件襯衣，至少