理論題2多普勒激光冷卻與光學蜜糖本題的目的是要發展一個簡單的理論來理解所謂的“激光冷卻”和“光學蜜糖”現象。這一現象是指一束中性原子，以堿金屬最為典型，被相向傳播的同頻率激光冷卻。1997年朱隸文、菲利普斯和庫恩－坦努吉就因此工作獲諾貝爾獎。上圖展示了被捕捉在三個正交的相向傳播的激光束對交叉點的鈉原子（中心的亮點）。由于耗散性的光學力與在蜜糖中運動的物體所受的粘滯阻力類似，捕捉區域被稱為“光學蜜糖”。在本題中，你要分析一個光子入射到一個原子時的相互作用和一維的耗散機制。I．激光冷卻基礎考慮一個質量為的原子以速度沿方向運動。為簡單起見，我們考慮一維問題，即我們將不考慮和方向（見圖1）。此原子有兩個內部能級。低能級稱基態，能量取為零，高能級稱激發態，能量記為，這里。原子最初處于基態。在實驗室參考系中頻率為的一束激光沿方向照到所討論的原子上。按量子力學的觀點，此激光由大量的能量為，動量為的光子組成。原子可以吸收一個光子，隨后又自發地發射一個光子，發射的光子沿和方向的概率相等。因為原子的運動速度遠小于光速，即，（是光速），再考慮到，即，原子的動量遠大于單個光子的動量，你的結果只需保留到和的一次項。圖1一個質量為，速度沿方向的原子與頻率為，動量為的光子碰撞的示意圖。原子有兩個能量差為的內部能級。假定激光的頻率被調到，在運動的原子看來，該頻率激光正好能與原子的兩個內部能級間發生躍遷共振。回答下列問題：1.吸收1a寫出光子共振吸收的條件0.21b寫出吸收光子后實驗室參考系中原子動量的表達式。0.21c寫出吸收光子后實驗室參考系中原子總能的表達式0.22.沿方向自發發射一個光子在某些時候，吸收上述光子后，原子會沿方向發射一個光子。2a寫出實驗室參考系中看到的沿方向發射的光子的能量。0.22b寫出實驗室參考系中看到的沿方向發射的光子的動量。0.22c寫出沿方向發射一個光子后,實驗室參考系中觀察到的原子動量。0.22d寫出沿方向發射一個光子后,實驗室參考系中觀察到的原子總能量。0.23.沿方向自發發射一個光子在某些時候，吸收上述光子后，原子會沿方向發射一個光子。3a寫出實驗室參考系中看到的沿方向發射的光子的能量。0.23b寫出實驗室參考系中看到的沿方向發射的光子的動量。0.23c寫出沿方向發射一個光子后,實驗室參考系中觀察到的原子動量。0.23d寫出沿方向發射一個光子后,實驗室參考系中觀察到的原子總能量。0.24.吸收后的平均發射沿和方向發射一個光子的概率相等。基于此，回答如下問題：4a寫出所發射光子的平均能量。0.24b寫出所發射光子的平均動量。0.24c寫出發射光子后原子的平均總能。0.24d寫出發射光子后原子的平均動量。0.25.能量和動量轉移如上所述，對一個完整的單光子吸收－發射過程，在激光輻射與原子間存在一個凈的平均動量和能量轉移。5a寫出經歷一個完整的單光子吸收－發射過程后，原子能量的平均變化量。0.25b寫出經歷一個完整的單光子吸收－發射過程后，原子動量的平均變化量。0.26.沿方向傳播的激光造成的能量動量轉移現在考慮一束頻率為的激光沿方向照到原子上，而原子依然以速度沿方向運動。假定，在原子參考系看來，激光頻率與原子內部能級間躍遷的共振條件依然滿足。回答下列問題：6a寫出經歷一個完整的單光子吸收－發射過程后，原子能量的平均變化量。0.36b寫出經歷一個完整的單光子吸收－發射過程后，原子動量的平均變化量。0.3II.耗散與光學蜜糖的基礎然而，量子過程中總是存在不確定性。因此，由原子在吸收一個光子后的有限時間內會發射一個光子可以推斷，前面討論的共振條件不一定要嚴格滿足。即，激光束的頻率和為任意值時吸收－發射過程依然能夠發生。當然，這些過程發生的概率會不同。顯然，當共振條件得到嚴格滿足時發生的概率最大。平均說來，吸收到發射間經歷的時間被稱作原子的激發能級的壽命，用表示。考慮個相對于實驗室參考系靜止的原子的集合，有頻率為的激光束照到它們上。原子不斷地吸收和發射光子，平均說來，有個原子處于激發態（因而，有個原子處于基態）。經過量子力學計算可以得到下列結果：這里，是原子躍遷的共振頻率，是所謂的拉比頻率，正比于激光束的強度。正如前面提到過的，即使激光頻率與原子的共振頻率不等，也不為零。上面結果的另一種表達方式是：單位時間內發生吸收－發射過程的數目為。考慮圖2所描述的物理情形，兩束頻率相同但頻率任意的相向傳播激光照射到包含個原子，以速度沿方向運動的原子氣上。圖2兩束頻率相同但頻率任意的相向傳播激光照射到包含個原子，以速度沿方向運動的原子氣上。7.激光作用到原子束上的力7a依照到目前為止得到的知識，給出激光作用到原子束上的力。你應該假定。1.58.低速極限現在假定原子的速度足夠小，使得你可以將力的表達式展開到的一階項。8a在此極限下，給出“7a”中力的表達式。1.5利用此結果，你可以給出利用激光輻照使原子加速、減速和根本不對原子產生影響的條件。8b寫出得到一個正作用力（即，使原子加速）的條件。0.258c寫出作用力為零的條件。0.258d寫出得到一個負作用力的條件（使原子減速）0.258e現在考慮原子以速度（沿方向）運動。寫出得到使原子減速的力的條件。0.259.光學蜜糖在負作用力的條件