第五章數(shù)值積分和數(shù)值微分——函數(shù)無(wú)解析表達(dá)式或表達(dá)式過(guò)于復(fù)雜時(shí)定積分問(wèn)題的數(shù)值解法主要內(nèi)容導(dǎo)數(shù)或微分?jǐn)?shù)值計(jì)算華長(zhǎng)生制作1傳統(tǒng)方法的困境數(shù)值積分的基本思想數(shù)值積分的一般形式代數(shù)精度問(wèn)題求函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分

是微積分學(xué)中的基本問(wèn)題。

§5.1數(shù)值積分概述華長(zhǎng)生制作2對(duì)于積分但是在工程技術(shù)和科學(xué)研究中,常會(huì)見(jiàn)到以下現(xiàn)象:傳統(tǒng)方法的困境華長(zhǎng)生制作3以上這些現(xiàn)象,Newton-Leibniz很難發(fā)揮作用!只能建立積分的近似計(jì)算方法--------數(shù)值積分正是為解決這樣的困難而提出來(lái)的，不僅如此，數(shù)值積分也是微分方程數(shù)值解法的工具之一。華長(zhǎng)生制作4數(shù)值積分的基本思想

數(shù)值積分----指計(jì)算定積分近似值的各種計(jì)算方法。常用一個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)代替原來(lái)的復(fù)雜函數(shù)求積分。

從幾何上看，就是計(jì)算曲邊梯形面積的近似值。

最簡(jiǎn)單的辦法，是用直線、拋物線等代替曲邊，使得面積容易計(jì)算。華長(zhǎng)生制作5f(x)abf(a)f(x)abf(x)abf(b)f(a)(a+b)/2左矩公式中矩公式梯形公式用直線代替曲邊華長(zhǎng)生制作6拋物線公式用拋物線代替曲邊又稱辛普森公式數(shù)值積分的一般形式

正是由于權(quán)系數(shù)的構(gòu)造方法不同，從而決定了數(shù)值積分的不同方法。

上述的近似求積公式都是取[a,b]上若干點(diǎn)處的高度通過(guò)加權(quán)后再進(jìn)行求和得到積分的近似值，寫(xiě)成一般形式：或?qū)憺椋浩渲校?/p>

----

稱為求積節(jié)點(diǎn)

Ak----稱為節(jié)點(diǎn)xk上的權(quán)系數(shù)。----是函數(shù)f(x)在節(jié)點(diǎn)xk上的函數(shù)值，

----稱為求積公式的截?cái)嗾`差或余項(xiàng)。華長(zhǎng)生制作8利用插值多項(xiàng)式來(lái)構(gòu)造數(shù)值求積公式,具體步驟如下:不同的插值方法有不同的基函數(shù)插值型求積公式思路利用插值多項(xiàng)式則積分易算。以拉格朗日插值多項(xiàng)式為例華長(zhǎng)生制作9Ak由決定，與無(wú)關(guān)。節(jié)點(diǎn)

f(x)稱為求積系數(shù)。定義其系數(shù)，為拉各朗日插值基函數(shù)

這種求積公式稱為插值型積分公式華長(zhǎng)生制作10插值型的求積公式余項(xiàng)

為了保證數(shù)值求積公式的精度,我們自然希望求積公式能夠?qū)ΡM可能多的函數(shù)f(x)都準(zhǔn)確成立,這在數(shù)學(xué)上常用代數(shù)精度這一概念來(lái)說(shuō)明。插值型的求積公式余項(xiàng)華長(zhǎng)生制作11解：逐次檢查公式是否精確成立代入f(x)=1：=代入f(x)=x：=代入f(x)=x2：例：對(duì)于[a,b]上1次插值，有考察時(shí)其求積誤差。梯形公式因此梯形公式只對(duì)一次多項(xiàng)式精確成立。華長(zhǎng)生制作12代數(shù)精度定義如果某個(gè)求積公式對(duì)于次數(shù)不超過(guò)m的一切多項(xiàng)式都準(zhǔn)確成立,而對(duì)某個(gè)m+1次多項(xiàng)式并不準(zhǔn)確成立，則稱該求積公式的代數(shù)精度為m。顯然，梯形公式與中矩形公式均具有一次代數(shù)精度。一般來(lái)說(shuō)，代數(shù)精度越高，求積公式越精確。定理對(duì)于n+1節(jié)點(diǎn)的插值型求積公式至少具有n次代數(shù)精度。代數(shù)精度華長(zhǎng)生制作13例試確定下面積分公式中的參數(shù)使其代數(shù)精確度盡量高.解:華長(zhǎng)生制作14因此所以該積分公式具有3次代數(shù)精確度

華長(zhǎng)生制作15§5.2

牛頓－柯特斯求積公式Newton-Cotes公式是指等距節(jié)點(diǎn)下使用Lagrange插值多項(xiàng)式建立的數(shù)值求積公式各節(jié)點(diǎn)為一、公式推導(dǎo)：，以此分點(diǎn)為節(jié)點(diǎn),構(gòu)造出的插值型求積公式。

牛頓－柯特斯求積公式華長(zhǎng)生制作16注意是等距節(jié)點(diǎn)華長(zhǎng)生制作17所以Newton-Cotes公式為Cotes系數(shù)注：Cotes系數(shù)僅取決于n和k，可查表得到。與f(x)及區(qū)間[a,b]均無(wú)關(guān)。華長(zhǎng)生制作18二、低階Newton-Cotes公式及其余項(xiàng)在Newton-Cotes公式中,n=1,2,4時(shí)的公式是最常用也最重要三個(gè)公式,稱為低階公式(1).梯形公式及其余項(xiàng)Cotes系數(shù)為低階Newton-Cotes公式及其余項(xiàng)華長(zhǎng)生制作19上式即為梯形求積公式,也稱兩點(diǎn)公式，記為梯形公式的余項(xiàng)為求積公式為華長(zhǎng)生制作20廣義積分中值定理故華長(zhǎng)生制作21(2).

辛卜生公式及其余項(xiàng)Cotes系數(shù)為求積公式為華長(zhǎng)生制作22上式稱為辛卜生求積公式，也稱三點(diǎn)公式或拋物線公式記為Simpson公式的余項(xiàng)為華長(zhǎng)生制作23(3).柯特斯公式上式特別稱為柯特斯求積公式，也稱五點(diǎn)公式柯特斯系數(shù)可由柯特斯系數(shù)表得到（P153）。由此可以得到任意階數(shù)的牛頓－柯特斯求積公式。但實(shí)際計(jì)算時(shí)一般不用高階的公式，因?yàn)楦叽尾逯涤蠷unge現(xiàn)象。華長(zhǎng)生制作24由此可自然會(huì)得出以下結(jié)論：梯形規(guī)則簡(jiǎn)單，有1階代數(shù)精度；再增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)，就是具有3階代數(shù)精度的辛卜生規(guī)則；三、牛頓－科特斯公式的代數(shù)精度牛頓－科特斯公式實(shí)際上是插值求積公式，因此n階牛頓－科特斯公式至少有n次代數(shù)精度。由于牛頓－科特斯公式是等距插值，因此，有定理：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，牛頓－科特斯公式有n＋1次代數(shù)精度。華長(zhǎng)生制作25四、復(fù)化求積法直接使用Newton-Cotes公式的余項(xiàng)將會(huì)較大。公式的舍入誤差又很難得到控制為了提高公式的精度,往往使用復(fù)化求積法。然后在每個(gè)小區(qū)間上使用低階Newton-Cotes公式最后將每個(gè)小區(qū)間上的積分的近似值相加復(fù)化求積法華長(zhǎng)生制作26復(fù)化梯形公式：在每個(gè)上用梯形公式：=

Tn/*中值定理*/復(fù)合梯形公式華長(zhǎng)生制作27復(fù)化Simpson公式：44444=

Sn復(fù)化Simpson公式華長(zhǎng)生制作28求積公式的余項(xiàng)比較我們知道,兩個(gè)求積公式的余項(xiàng)分別為單純的求積公式復(fù)化求積公式的每個(gè)小區(qū)間復(fù)化求積公式精度提高。華長(zhǎng)生制作29復(fù)化求積法通過(guò)將積分區(qū)間分成n等份，來(lái)減小截?cái)嗾`差，因此n越大積分精度越高。但n太大，運(yùn)算量也增大，舍入誤差也增大；n太小，精度可能達(dá)不到。如何確定適當(dāng)?shù)?使得計(jì)算結(jié)果達(dá)到預(yù)選給定的精度要求呢？在實(shí)際計(jì)算中,常采用積分步長(zhǎng)的自動(dòng)選擇。具體地講,就是在求積過(guò)程中,將步長(zhǎng)逐次折半,反復(fù)利用復(fù)合求積公式,直到相鄰兩次的計(jì)算結(jié)果之差的絕對(duì)值小于允許誤差為止。這實(shí)際上是一種事后估計(jì)誤差的方法——變步長(zhǎng)求積算法。§5.3變步長(zhǎng)求積和龍貝格算法問(wèn)題§5.3變步長(zhǎng)求積和龍貝格算法華長(zhǎng)生制作305.3.1變步長(zhǎng)梯形求積法

對(duì)于復(fù)合梯形公式，若將積分區(qū)間[a,b]n等分,積分近似值記為T(mén)n,積分精確值記為I,則有:把每個(gè)子區(qū)間分半,也就是將積分區(qū)間[a,b]2n等分,則有則有當(dāng)在連續(xù),且函數(shù)值變化不大時(shí),即有給定求積精度，如何取n?5.3.1變步長(zhǎng)梯形求積法31可用來(lái)判斷迭代是否停止。變步長(zhǎng)梯形法計(jì)算過(guò)程

⑴⑵32⑶可以看到,每次都是在前一次的基礎(chǔ)上將子區(qū)間再對(duì)分。原分點(diǎn)上的函數(shù)值不需要重復(fù)計(jì)算,只需計(jì)算新分點(diǎn)上的函數(shù)值即可,一般地計(jì)算公式為：33由上節(jié)變步長(zhǎng)梯形公式得到的積分近似值的誤差大致是,因此人們期望,如果用這個(gè)誤差作為對(duì)

的一種補(bǔ)償,則得到的求積公式的代數(shù)精度會(huì)有所提高。（1）5.3.2

龍貝格公式龍貝格算法是在復(fù)化梯形公式誤差估計(jì)的基礎(chǔ)上，應(yīng)用線性外推的方法構(gòu)造出的加速算法。5.3.2龍貝格公式34通過(guò)直接驗(yàn)證可知也就是說(shuō),用梯形公式二分前后的兩個(gè)積分值

與

按照公式(1)做線形組合,其結(jié)果正好是用拋物線公式得到的積分值

。(2)即35同理可知,用拋物線公式得到的積分近似值

的誤差大致是,因此對(duì)拋物線公式進(jìn)行修正,得到(3)也就是說(shuō),用拋物線公式二分前后的積分值

與

按照公式(3)作線形組合,其結(jié)果正好是用柯特斯公式得到的積分值

。通過(guò)直接驗(yàn)證可知(4)36同理可知，用柯特斯公式得到的積分近似值

的誤差大致是,因此,對(duì)柯特斯公式進(jìn)行修改,得到求積公式(5)為此,構(gòu)造求積公式(6)稱(6)式為龍貝格(Romberg)公式。37龍貝格公式是一種計(jì)算積分的方法。在變步長(zhǎng)的求積過(guò)程中,運(yùn)用(2),(4),(6)式可以將精度低的梯形值逐步加工成精度較高的拋物線,柯特斯值與龍貝格值?？傊校篟omberg序列38計(jì)算f(a),f(b),算出

。

(2)把[a,b]2等分,計(jì)算,算出

與

。(3)把[a,b]4等分,計(jì)算

算出

與

。龍貝格求積的計(jì)算步驟如下：39(4)把[a,b]8等分,計(jì)算

算出

與

與

。(5)把[a,b]16等分,計(jì)算算出

與

與,繼續(xù)重復(fù)進(jìn)行,直到

時(shí)停止計(jì)算,就是所求的積分值.(允許誤差)40Romberg算法：<?<?<?………………

T1=)0(0T

T8=)3(0TT4=)2(0T

T2=)1(0T

S1=)0(1T

R1=)0(3T

S2=)1(1T

C1=)0(2T

C2=)1(2T

S4=)2(1TRomberg算法41要求熟練掌握的內(nèi)容：能靈