第五章彎曲的基礎問題材料力學§5.1

平面彎曲的概念§5.2

梁的載荷及計算簡圖§5.3

剪力與彎矩§5.4

剪力圖與彎矩圖§5.5

剪力、彎矩和分布載荷集度間的微分關系§5.6

純彎曲梁的正應力§5.7

梁的切應力第五章彎曲的基礎問題材料力學§5.8

梁彎曲時的強度計算§5.9

梁的變形§5.10

疊加法求梁的變形§5.11

提高梁強度的措施§5.12

梁的剛度條件與梁的合理設計§5.13

簡單超靜定梁的解法§5.1

平面彎曲的概念一、平面彎曲的概念二、工程實例第五章彎曲的基礎問題一、平面彎曲的概念§5.1

平面彎曲的概念1．定義彎曲變形直線變成曲線的變形形式，簡稱彎曲。

梁——外力垂直于桿的軸線，使得桿的軸線由——以彎曲為主要變形的桿件一、平面彎曲的概念2．平面彎曲的概念平面彎曲——外力作用在梁的對稱平面內，使梁的軸

線彎曲后仍在此對稱平面內的彎曲變形即：平面彎曲——軸線的彎曲平面與外力的作用平面重合的彎曲形式§5.1

平面彎曲的概念§5.1

平面彎曲的概念§5.1

平面彎曲的概念二、工程實例§5.1

平面彎曲的概念1.吊車梁2.車刀3.搖臂鉆的臂4.橋梁5.立交橋梁6.跳板§5.2

梁的載荷及計算簡圖一、梁的簡化二、梁的分類第五章彎曲的基礎問題§5.2梁的載荷及計算簡圖固定端滑動鉸支座固定鉸支座任何方向移動阻止豎向移動任何移動和轉動一、梁的簡化2.載荷：分為集中力、分布力，集中力偶、分布力偶1.梁：用軸線表示3.支座：§5.2梁的載荷及計算簡圖二、梁的分類1.按支座情況分為：2.按支座數目分為：簡支梁靜定梁外伸梁懸臂梁超靜定梁§5.2梁的載荷及計算簡圖跨

——梁在兩支座間的部分跨長——梁在兩支座間的長度3.按跨數分為：單跨梁多跨梁§5.2梁的載荷及計算簡圖§5.3

剪力與彎矩第五章梁的基礎問題一、求法二、符號規定三、實用法則一、求法§5.3剪力與彎矩截面法剪力(FQ

)——與橫截面的法向垂直的內力一、求法截面法任一橫截面上的剪力

等于該橫截面任一側所有外力的代數和§5.3剪力與彎矩

彎矩(M

)有彎斷梁的趨勢——橫截面上的內力偶矩§5.3剪力與彎矩任一橫截面上的彎矩

等于對橫截面形心力矩的代數和該橫截面任一側所有外力§5.3剪力與彎矩二、符號規定繞研究體順時針轉為正由下轉向上為正剪力：彎矩：§5.3剪力與彎矩三、實用法則剪力：考慮橫截面左側梁段時，向上（下）的外力產生

+（-）剪力，（右側相反），代數和結果為+

(-)時，剪力為+

(-)彎矩：考慮橫截面左側梁段時，順（逆）針旋轉的外力矩產生+（-）彎矩，（右側相反），代數和結果為+

(-)時，彎矩為+

(-)注：對任一側梁段，向上（下）的外力產生+（-）彎矩§5.3剪力與彎矩例1試求圖示外伸梁A、D左與右鄰截面上的FQ和M。解：1.求支反力解：2.求內力A左鄰截面：例1試求圖示外伸梁A、D左與右鄰截面上的FQ和M。解：2.求內力A左鄰截面：A右鄰截面：例1試求圖示外伸梁A、D左與右鄰截面上的FQ和M。解：2.求內力D左鄰截面：例1試求圖示外伸梁A、D左與右鄰截面上的FQ和M。解：2.求內力D左鄰截面：D右鄰截面：例1試求圖示外伸梁A、D左與右鄰截面上的FQ和M。§5.4

剪力圖和彎矩圖一、剪力方程和彎矩方程二、剪力圖和彎矩圖第五章梁的基礎問題三、列方程法作剪力圖和彎矩圖四、疊加法作彎矩圖§5.4剪力圖和彎矩圖剪力方程一、剪力方程和彎矩方程彎矩方程——剪力隨橫截面變化的函數表達式——彎矩隨橫截面變化的函數表達式剪力圖二、剪力圖和彎矩圖彎矩圖

2.正值畫在上方，負值畫在下方。做法：

1.橫軸表示橫截面位置，縱軸表示剪力或彎矩；；§5.4剪力圖和彎矩圖——剪力隨橫截面的變化曲線——彎矩隨橫截面的變化曲線作剪力圖和彎矩圖的方法：二、剪力圖和彎矩圖

1.列方程法

2.疊加法

3.控制點法§5.4剪力圖和彎矩圖三、列方程法作剪力圖和彎矩圖§5.4剪力圖和彎矩圖2.列內力方程例2

作圖示梁的內力圖。解：3.作內力圖1.求支反力例3

作圖示梁的內力圖。內力圖特點：解：2.列內力方程3.作內力圖1.求支反力FQ圖突變，突變值等于集中力大小，

M圖轉折。集中力作用截面，例4

作圖示梁的內力圖。集中力偶作用截面，M圖突變，突變值等內力圖特點：解：2.列內力方程3.作內力圖1.求支反力于集中力偶大小，FQ圖不變。四、疊加法作彎矩圖可見：

剪力方程和彎矩方程都是載荷F、q和Me的線性函數§5.4剪力圖和彎矩圖四、疊加法作彎矩圖疊加原理：

由幾個外力同時作用時所引起的構件內的某一參數

（內力、應力或位移等）

由各個外力單獨作用時所引起的構件內的該一參數

的矢量和或代數和適用條件：小變形情況§5.4剪力圖和彎矩圖例5

試用疊加法作圖示簡支梁的彎矩圖解：

1.作出F單獨作用時的彎矩圖

2.作出Me單獨作用時的彎矩圖

3.疊加上述兩圖，得到F和Me同時作用時的彎矩圖例6

試用疊加法作圖示簡支梁的彎矩圖解：

1.作出q單獨作用時的彎矩圖

2.作出Me單獨作用時的彎矩圖

3.疊加上述兩圖第五章梁的基礎問題§5.5

剪力、彎矩和分布載荷集度間

的微分關系一、FQ、M和q之間的微分關系二、突變條件三、控制點法作剪力圖和彎矩圖一、FQ、M和q之間的微分關系§5.5剪力、彎矩和分布載荷集度間的微分關系規定：q↑為

+取微段dx為研究對象由Fy

=0：得到由MC=0：忽略二階微量，得到§5.5剪力、彎矩和分布載荷集度間的微分關系一、FQ、M和q之間的微分關系即：彎矩二分布載荷集度彎矩一力剪

由此得到

x截面上的剪力對x的一階導數

x截面上的分布載荷集度§5.5剪力、彎矩和分布載荷集度間的微分關系一、FQ、M和q之間的微分關系

彎矩圖凹凸性取決于該截面處的分布載荷集度彎矩圖切線斜率力剪

剪力圖上x截面處的切線斜率

該截面處的分布載荷集度即：由此得到§5.5剪力、彎矩和分布載荷集度間的微分關系一、FQ、M和q之間的微分關系微分關系對應表§5.5剪力、彎矩和分布載荷集度間的微分關系二、突變條件§5.5剪力、彎矩和分布載荷集度間的微分關系突變條件對應表三、控制點法作剪力圖和彎矩圖§5.5剪力、彎矩和分布載荷集度間的微分關系例7

試作圖示外伸梁的FQ和M圖。解：1.求支反力2.作FQ圖3.作M圖解：4.求AD段的極值彎矩(1)求極值彎矩的位置解析法：令得到幾何法：由剪力圖：得到例7

試作圖示外伸梁的FQ和M圖。解：(2)求極值彎矩的數值例7

試作圖示外伸梁的FQ和M圖。4.求AD段的極值彎矩解：5.求梁的和例7

試作圖示外伸梁的FQ和M圖。§5.6

純彎曲梁的正應力第五章梁的基礎問題一、純彎曲與橫力彎曲的概念二、純彎曲梁的正應力三、橫力彎曲梁的正應力純彎曲橫力彎曲——橫截面上只有M、沒有FQ的彎曲——橫截面上既有M、又有FQ的彎曲剪切彎曲一、純彎曲與橫力彎曲的概念§5.6

純彎曲梁的正應力1.實驗分析縱向線:變形現象：上層纖維縮短，下層纖維伸長仍為直線，相對旋轉了一角度彎成了相互平行的弧線，仍與橫向線垂直二、純彎曲梁的正應力§5.6

純彎曲梁的正應力橫向線:假設：(2)縱向纖維處于簡單拉伸或壓縮狀態(1)橫截面變形后仍為平面，且仍垂直于軸線(3)同一高度上的纖維的變形相同——橫截面上只有正應力——橫截面上同一高度的正應力相等——平面假設§5.6

純彎曲梁的正應力中性層中性軸——既不伸長、也不縮短的纖維層橫截面各橫截面繞中性軸旋轉§5.6

純彎曲梁的正應力中性軸——橫截面與中性層的交線兩個名詞：中性層2.公式推導(1)變形幾何學方面(2)物理學方面§5.6

純彎曲梁的正應力(3)靜力學方面z軸必須通過橫截面的形心自然滿足§5.6

純彎曲梁的正應力EIz——梁的抗彎剛度，反映梁抵抗彎曲變形的能力或橫截面上的正應力與橫截面的形狀和尺寸有關，單位：m3抗彎截面系數§5.6

純彎曲梁的正應力最大正應力§5.6

純彎曲梁的正應力常用截面Wz：三、橫力彎曲梁的正應力§5.3

橫力彎曲時的正應力在橫力彎曲情況下：

橫截面上既有正應力，又有切應力可按純彎曲梁的正應力公式計算橫力彎曲梁的正應力

橫截面將發生翹曲，不再保持為平面精確的分析表明：當時§5.7

梁的切應力第五章梁的基礎問題一、矩形截面梁二、工字形截面梁三、圓形截面梁四、橫力彎曲時橫截面的翹曲變形實踐表明：§5.7

梁的切應力

有些梁

是

因正應力達到抗拉或抗壓強度而破壞

跨度小、截面高的木梁

有些梁則是因切應力達到抗切強度而破壞(1)梁端橫截面上的剪力較大例如：破壞原因：(2)木梁沿木紋方向的抗切能力較弱實驗研究和理論分析表明：

梁的切應力分布規律與橫截面的形狀有關以下介紹幾種常用截面上的切應力§5.7

梁的切應力一、矩形截面梁1.兩個假設(1)切應力方向與橫截面的側邊平行，與剪力同向；(2)切應力沿橫截面寬度均勻分布。§5.7

梁的切應力2.公式推導(1)

取微段dx§5.7

梁的切應力(2)

在微段dx中取研究體§5.7

梁的切應力(3)

求研究體各面上的合力§5.7

梁的切應力(4)

考慮研究體的平衡§5.7

梁的切應力由切應力互等定理：式中

——所求切應力點一側面

積對中性軸的靜矩§5.7

梁的切應力3.切應力分布規律§5.7

梁的切應力腹板中的切應力翼緣二、工字形截面梁腹板

矩形截面上切應力分布的兩個假設仍然適用§5.7

梁的切應力故1.假設三、圓形截面梁(1)水平弦AB上各點的切應力方向交于一點(2)水平弦AB上各點的切應力

垂直分量相等§5.7

梁的切應力

垂直分量2.切應力公式3.最大切應力§5.7

梁的切應力四、橫力彎曲梁橫截面的翹曲變形矩形截面梁切應變：切應變沿高度按拋物線變化，使得橫截面發生翹曲切應力：§5.7

梁的切應力例8

求1-1截面上的D與E點的正應力和切應力以及梁的最大正應力和最大切應力。解：1.D與E點的應力例8

求1-1截面上的D與E點的正應力和切應力以及梁的最大正應力和最大切應力。解：2.梁的最大應力§5.8

梁彎曲時的強度計算第五章梁的基礎問題一、正應力強度條件二、切應力強度條件三、強度計算的三類問題一、正應力強度條件§5.8

梁彎曲時的強度計算注意：1.對于抗拉和抗壓強度相等的材料(如低碳鋼)要求：絕對值最大的正應力不超過材料的許用應力2.對于抗拉和抗壓強度不相等的材料(如灰鑄鐵)要求：最大拉應力不超過材料的許用拉應力最大壓應力不超過材料的許用壓應力二、切應力強度條件式中

——中性軸一側的橫截面面積對中性軸的靜矩

b

——橫截面在中性軸處的寬度§5.8

梁彎曲時的強度計算三、強度計算的三類問題(2)

選擇截面(1)

校核強度(3)

確定許用載荷§5.8

梁彎曲時的強度計算例

9

已知校核梁的強度。1.求幾何參數解：例

9

已知校核梁的強度。2.求支反力解：3.作M圖，求危險截面4.強度校核例

9

已知校核梁的強度。解：∴梁安全例10

已知[]=170MPa，[]=100MPa，選擇槽鋼型號。解：1.求支反力2.作FQ、M圖3.按正應力強度條件選擇截面對于一根槽鋼查表取：[

No.36c，其例10

已知[]=170MPa，[]=100MPa，選擇槽鋼型號。解：4.校核切應力強度查表得：例10

已知[]=170MPa，[]=100MPa，選擇槽鋼型號。解：每根槽鋼承受的最大剪力為：

∴安全4.校核切應力強度查表得：例10

已知[]=170MPa，[]=100MPa，選擇槽鋼型號。解：§5.9

梁的變形第五章梁的基礎問題一、梁的變形度量——撓度與轉角二、撓曲線近似微分方程三、積分法求梁的變形四、位移條件§5.9

梁的變形一、梁的變形度量——撓度與轉角若忽略剪力的影響，橫截面繞其自身中性軸旋轉撓曲線——梁在受力變形后的軸線，又稱為彈性曲線撓度（y）——

橫截面形心沿垂直于軸線方向的線位移稱為該點（橫截面的形心）的撓度向上為正，向下為負§5.9

梁的變形一、梁的變形度量——撓度與轉角轉角（）——

橫截面繞其中性軸旋轉的角度稱為該橫截面的轉角順時針轉為正，逆時針轉為負撓度與轉角是度量梁的變形的兩個基本量§5.9

梁的變形一、梁的變形度量——撓度與轉角——撓曲線方程§5.9

梁的變形一、梁的變形度量——撓度與轉角即：在小變形下：——轉角方程任一橫截面的轉角=撓曲線在該截面形心處切線的斜率求梁變形的關鍵是求撓曲線方程§5.9

梁的變形一、梁的變形度量——撓度與轉角二、撓曲線近似微分方程CD段：純彎曲1.力學方面AC段：橫力彎曲（忽略剪力的影響）§5.9

梁的變形二、撓曲線近似微分方程1.力學方面2.數學方面3.撓曲線近似微分方程§5.9

梁的變形二、撓曲線近似微分方程符號處理：y"與M(x)恒異號在小變形情況下，通常<1，而tan1=0.017，y'2<<1——撓曲線近似微分方程§5.9

梁的變形——撓曲線微分方程三、積分法求梁的變形對于等直桿轉角方程：撓曲線方程：§5.9

梁的變形四、位移條件2.位移連續條件1.已知位移條件撓度連續——連續性條件轉角連續——光滑性條件§5.9

梁的變形1.約束條件例11

求圖示梁的撓曲線方程和轉角方程。EI為常量。解：1.列微分方程并積分2.確定積分常數由由例11

求圖示梁的撓曲線方程和轉角方程。EI為常量。解：3.求ymax由=0，可見：yC與ymax相差很小，兩者相差不到ymax的3%。對于簡支梁，只要撓曲線上無拐點，總可以用跨中撓度代替最大撓度，并且不會引起很大誤差。工程上通常采用中點的撓度值作為設計依據例11

求圖示梁的撓曲線方程和轉角方程。EI為常量。解：4.畫撓曲線的大致形狀例12

求圖示梁的彎曲變形邊界條件：連續條件：解：AC段：CB段：§5.10

疊加法求梁的變形第五章梁的基礎問題基本原理轉角和撓度§5.10

疊加法求梁的變形由幾個外力同時作用時所引起的梁的變形等于由各個外力單獨作用時所引起的梁的變形的代數和例13

求B和yB解：2.F單獨作用時3.Me和F共同作用時1.Me單獨作用時§5.11

提高梁強度的措施第五章梁的基礎問題一、選擇合理截面形狀二、采用等強度梁或變截面梁三、改善梁的受力情況一、選擇合理截面形狀三、改善梁的受力情況二、采用等強度梁或變截面梁——提高Wz——降低