2021-2022學年山東省濰坊市壽光市第一中學高二上學期期末數學試題一、單選題1．若，，則（

）A． B． C．5 D．10【答案】A【分析】先求出,再利用向量的模長計算公式即可【詳解】因為所以故選:A2．直線與直線2x－y+7=0平行，則=（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據直線平行可得方程，即可得到答案.【詳解】兩直線平行，所以有,故選：B.3．在等比數列中，且，則（

）A．16 B．8 C．4 D．2【答案】C【分析】利用等比數列性質，若，則，即可計算出的值.【詳解】由題意可知，根據等比數列性質，若，則；所以，因為，所以.故選：C.4．已知是空間向量的一個基底，是空間向量的另一個基底，若向量在基底下的坐標為，則向量在基底下的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設出在基底下的坐標為，利用對照系數，得到方程組，求出結果.【詳解】∵在基底下的坐標為∴設在基底下的坐標為則對照系數，可得：解得：∴在基底下的坐標為故選：C5．設函數在上可導，其導函數為，且函數在處取得極小值，則函數的圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根極值與導函數的關系確定在附近的正負，得的正負，從而確定正確選項．【詳解】由題意可得，而且當時，，此時，排除B、D；當時，，此時，，若，，所以函數的圖象可能是C．故選：C6．如圖所示，已知雙曲線：的右焦點為，雙曲線的右支上一點，它關于原點的對稱點為，滿足，且，則雙曲線的離心率是A． B． C． D．【答案】C【分析】利用雙曲線的性質，推出，，通過求解三角形轉化求解離心率即可．【詳解】解：雙曲線的右焦點為，雙曲線的右支上一點，它關于原點的對稱點為，滿足，且，可得，，，，所以，可得，，所以雙曲線的離心率為：．故選：．【點睛】本題考查雙曲線的簡單性質的應用，三角形的解法，考查轉化思想以及計算能力，屬于中檔題．7．若圓與圓恰有2條公切線，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由兩圓相交可得參數范圍．【詳解】因為圓與圓恰有2條公切線，所以解得故選：B．8．任取一個正整數，若是奇數，就將該數乘3加1；若是偶數，就將該數除以2.反復進行上述運算，經過有限次步驟，必進入循環圈1→4→2→1.這就是數學史上著名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”）.如果對于正整數，經過步變換，第一次到達1，就稱為步“雹程”.如取，由上述運算法則得出：3→10→5→16→8→4→2→1，共需經過7個步驟變成1，得.則下列命題錯誤的是（

）A．若，則只能是4 B．當時，C．隨著的增大，也增大 D．若，則的取值集合為【答案】C【分析】根據“冰雹猜想”進行推理即可判定.【詳解】對于A，，逆推，只能是4，故A對；對于B，時，，，故B對；對于C，時，，時，，，故C錯，對于D，時，逆推，故D對.故選：C.二、多選題9．兩個學校，開展節能活動，活動開始后兩學校的用電量，與時間t（天）的關系如圖所示，則一定有（

）A．比節能效果好B．的用電量在上的平均變化率比的用電量在上的平均變化率小C．兩學校節能效果一樣好D．與自節能以來用電量總是一樣大【答案】AB【分析】根據兩函數切線斜率的變化以及切線斜率的幾何意義、平均變化率的定義對各選項的正誤進行判斷，可得出正確選項.【詳解】由圖象可知，對任意的，曲線在處的切線比曲線在處的切線要“陡”，所以比節能效果好，A正確，C錯誤；由圖象可知，，則的用電量在上的平均變化率比的用電量在上的平均變化率小，B選項正確；由于曲線和曲線不重合，D選項錯誤．故選：AB10．如圖，在長方體中，，點P為線段上的動點，則下列結論正確的是（

）A．當時，，P，D三點共線B．當時，C．當時，平面D．當時，平面【答案】ACD【分析】由題意，建立空間直角坐標系，利用向量的坐標公式，求得點的坐標，根據空間向量公式，可得答案.【詳解】由題意，如圖建系：則，，設，，則，可得，，對于A：當時，則點P為對角線的中點，根據長方體性質可得三點共線，故A正確；對于B：當時，∴，解得，所以，則，因此不正確，故B錯誤；對于C：當時，，設平面的法向量為，，∴，，當時，，，故，∴，∴，又平面，∴平面，故C正確；對于D：當時，可得，，設平面的法向量為，則，，取，則，∴，而，∴，∴平面，故D正確．故選：ACD11．已知拋物線，其焦點為F，準線為l，PQ是過焦點F的一條弦，點，則下列說法正確的是（

）A．焦點F到準線l的距離為2B．焦點，準線方程C．的最小值是3D．以弦PQ為直徑的圓與準線l相切【答案】ACD【分析】對A：由拋物線方程及焦點F到準線l的距離為即可求解；對B：由拋物線方程即可求解；對C：利用拋物線的定義，將拋物線上的點到焦點的距離轉化為到準線的距離，從而即可求解；對D：利用拋物線的定義，及圓心到直線的距離等于圓的半徑則直線與圓相切，從而即可求解.【詳解】解：對B：由拋物線，可得，準線

，故選項B錯誤；對A：由拋物線，可得，即，所以焦點F到準線l的距離為，故選項A正確；對C：過點P作，垂足為，由拋物線的定義可得，所以（為點到準線l的距離），當且僅當、、三點共線時等號成立，所以的最小值是3，故選項C正確；對D：過點P、Q分別作，，垂足分別為、，設弦PQ的中點為M，則弦PQ為直徑的圓的圓心為M，過點M作，垂足為，則為直角梯形的中位線，，又根據拋物線的定義有，，所以，所以以弦PQ為直徑的圓與準線l相切，故選項D正確；故選：ACD.12．函數的所有極值點從小到大排列成數列，設是的前項和，則（

）A．數列為等差數列 B．C．為函數的極小值點 D．【答案】BD【分析】首先求出函數的導函數，令，根據正弦函數的性質即可求出函數的極值點，再求出，利用誘導公式計算可得；【詳解】解：因為，所以，令，即可得或，，易得函數的極值點為或，，從小到大為，，…，不是等差數列，A錯誤；，B正確；函數在區間上為增函數，在區間上為減函數，所以為函數的極大值點，C錯誤；，，則根據誘導公式得，D正確；故選：BD．三、填空題13．記等差數列的前n項和為，若，，則公差__________.【答案】【分析】根據題意列出方程，即可求得答案.【詳解】由題意等差數列的前n項和為，，，可得，且，則，且，解得，故答案為：14．一條直線經過，并且傾斜角是直線的傾斜角的2倍，則直線的方程為__________．【答案】【分析】先求出直線的傾斜角，從而可求得直線的傾斜角，則可求出直線的斜率，進而可求出直線的方程【詳解】因為直線的斜率為，所以直線的傾斜角為，所以直線的傾斜角為，所以直線的斜率為，因為直線經過，所以直線的方程為，即，故答案為：15．如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，M，E，F分別為PQ，AB，BC的中點，則異面直線EM與AF所成的角的余弦值是_______．【答案】【詳解】試題分析：以為坐標原點,射線所在直線分別為軸,軸,軸建立空間直角坐標系．令兩正方形邊長均為2．則,,,設異面直線與所成的角為,．【解析】異面直線所成的角．四、雙空題16．如圖，圓O與離心率為的橢圓相切于點M(0,1)，過點M引兩條互相垂直的直線l1，l2，兩直線與兩曲線分別交于點A，C與點B，D(均不重合)．若P為橢圓上任一點，記點P到兩直線的距離分別為d1，d2，則的最大值是_________；此時P點坐標為_________．【答案】

；

【詳解】分析：由題意首先求得橢圓方程，然后結合勾股定理可得的數學表達式，結合縱坐標的取值范圍和二次函數的性質即可求得最終結果.詳解：由題意知：解得，可知：橢圓C的方程為，圓O的方程為.設，因為,則,因為，所以,因為，所以當時，取得最大值為,此時點.點睛：本題主要考查橢圓的方程的求解，橢圓中的最值問題等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.五、解答題17．已知函數在處的切線方程為.(1)求的解析式；(2)求函數圖象上的點到直線的距離的最小值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）由題可得，然后利用導數的幾何意義即求；（2）由題可得切點到直線的距離最小，即得.【詳解】（1）∵函數，∴的定義域為，，∴在處切線的斜率為，由切線方程可知切點為，而切點也在函數圖象上，解得，∴的解析式為；（2）由于直線與直線平行，直線與函數在處相切，所以切點到直線的距離最小，最小值為，故函數圖象上的點到直線的距離的最小值為.18．已知在各項均為正數的等差數列中，，且，，構成等比數列的前三項．(1)求數列，的通項公式；(2)設，求數列的前項和．【答案】(1)，(2)【分析】（1）設公差為，由，且，，構成等比數列，利用“”法和“”法求解；（2）由（1）得到，利用錯位相減法求解.【詳解】（1）解：因為數列為各項均為正數的等差數列，所以，即得，設公差為，則有，，，又因為，，構成等比數列的前三項，所以，即，解得或（舍去），所以，所以數列是以3為首項，2為公差的等差數列，故得，由題意得，，，所以數列是以4為首項，2為公比的等比數列，故.（2）設，則①，在上式兩邊同時乘以2得，，②，得，，,所以．19．在平面直角坐標系xOy中，已知點P，B，C坐標分別為，E為線段BC上一點，直線EP與x軸負半軸交于點A．(1)當E點坐標為時，求過點E且在兩坐標軸上截距絕對值相等的直線方程；(2)求與面積之和S的最小值．【答案】(1)或或；(2).【分析】（1）根據給定條件，分直線過原點與不過原點，結合直線方程的截距式求解作答.（2）設點E的橫坐標為t，根據給定條件求出t的范圍，再將S表示為t的函數，并求出最小值作答.【詳解】（1）令過點且在兩坐標軸上截距絕對值相等的直線為l，當直線l過原點時，直線l在x，y軸上的截距都為0，其方程為，當直線l不過原點時，設直線l的方程為或，于是得或，解得或，直線l的方程為或，所以所求方程為：或或.（2）依題意，直線，因點E在線段BC上，則設點，，設，，由得：，顯然，則，有，，，當且僅當，即時取等號，所以與面積之和S的最小值.20．如圖，四棱錐中，是以為斜邊的等腰直角三角形，，，，為的中點.（1）證明：平面；（2）求直線與平面間的距離.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）取的中點，連接?，易證四邊形為平行四邊形，故，再由線面平行的判定定理即可得證；（2）由平面，知點到平面的距離即為所求.設，取的中點，連接?，可證，，進而推出平面；于是以為原點，?分別為?軸，在平面內，作平面，建立空間直角坐標系，可證，從而求得，，寫出點?的坐標，根據法向量的性質求得平面的法向量，由點到平面的距離即可得解.【詳解】（1）證明：取的中點，連接?，為的中點，，，四邊形為平行四邊形，，平面，平面，平面.（2）平面，點到平面的距離即為所求.設，取的中點，連接?，則四邊形為矩形，是以為斜邊的等腰直角三角形，，，，，?平面，平面，，平面，平面，平面平面，以為原點，?分別為?軸，在平面內，作平面，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，平面，，在中，，，，，，，，設平面的法向量為，則，即，令，則，，，點到平面的距離，故直線與平面間的距離為.【點睛】方法點睛：求空間中點到平面的距離，向量方法:先在平面內選一點，確定的坐標，在確定平面的法向量，最后代入公式求解.也通常采用三棱錐等體積求解.21．已知雙曲線(1)過點的直線與雙曲線交于兩點，若點N是線段的中點，求直線的方程；(2)直線l：與雙曲線有唯一的公共點M，過點M且與l垂直的直線分別交x軸、y軸于，兩點．當點M運動時，求點的軌跡方程.【答案】(1)(2).【分析】（1）設，，采用“點差法”可求得直線的斜率，即可求得答案；（2）根據直線l：與雙曲線有唯一的公共點M，聯立方程可得到，從而求得點M坐標，由此表示出過M且與l垂直的直線方程，求得，化簡可得其關系，即可得答案.【詳解】（1）設，，則，兩式相減得，即，因為點是線段的中點，所以，即直線的斜率為1，所以直線的方程為，即,聯立方程組,得，滿足，故直線的方程為（2）聯立方程組,得，因為直線l：與雙曲線有唯一的公共點M，根據雙曲線的對稱性可知都不等于0，，得，則,則,所以M的坐標為，其中，因為過點M且與l垂直的直線方程為，令，得，令，，所以，故點的軌跡方程為：.【點睛】方法點睛：（1）涉及到弦的中點問題時，一般采用“點差法”解答，較為簡便；（2）求動點的軌跡方程時，要能根據題意選擇恰當的方法，想法得到動點的坐標之間的變化關系，化簡可解.22．如圖所示，第九屆亞洲機器人錦標賽VEX中國選拔賽永州賽區中，主辦方設計了一個矩形坐標場地ABCD（包含邊界和內部，A為坐標原點），AD長為10米，在AB邊上距離A點4米的F處放置一只電子狗，在距離A點2米的E處放置一個機器人，機器人行走速度為v，電子狗行走速度為，若電子狗和機器人在場地內沿直線方向同時到達場地內某點M，那么電子狗將被機器人捕獲，點M叫成功點.(1)求在這個矩形場地內成功點M的軌跡方程；(2)P為矩形場地AD邊上的一動點，若存在兩個成功點到直線FP的距離為，且直線FP與點M的