環境系統分析大連民族學院環境工程系Office:634Email:ouxiaoxia@

歐曉霞數學模型概述2.1數學模型的定義和分類2.2數學模型的建立2.2.1建立數學模型的過程2.2.2對模型的基本要求2.2.3數學模型的驗證和誤差分析2.3Excel在建立數學模型的應用2.3.1污水處理的線性回歸分析2.3.2結構分析和曲線擬合2.3.3用Excel進行參數估計1數學模型的定義和分類1.定義:根據所觀察到的現象，歸結成一套反映其數量關系的數學關系式與算法，用以描述對象的運動規律，這套公式和算法稱為數學模型。廣義定義:數學公式+計算方法和計算過程特征:抽象性(數學規律→突破約束→反應本質)2.數學模型的優點多變量模擬；可以任意改變模型參數和結構，有利于發現事物的本質特征；不需要實驗設備和空間，速度快，費用低；具有描述目標系統的狀態外，具有分析能力。3.模型的分類模型抽象模型具體模型數學模型:方程式,函數,邏輯式圖象模型:流程圖,方向圖,框圖；計算機程序:計算程序,模擬程序相似模型:(實物放大縮小)建筑模型，風洞實驗模型模擬模型:電模擬模型3.模型的分類動態模型/靜態模型線形模型/非線模型確定性模型/隨機模型模擬模型/管理模型集中參數模型/分布參數模型通常環境系統分析模型——動態模型/非線模型/隨機模型/分布參數模型討論題用建立數學模型的方法討論，用一盆水清洗衣服和將該盆水分成兩個半盆水來洗衣服，哪個效果好。

定義：M中包含有一些元素(分量)，每個元素(分量)分別對應和代表S中的一個元素(分量)；M中的上述分量之間應存在一定的關系，這種個關系可以用于與S的分量間關系進行類比。

設，一盆水水量L，衣服中污染物質量M，余水量L1，殘余物比較；物理簡化法；數學簡化法。2.2數學模型的建立2.2.1對模型的基本要求2.2.2建立數學模型的過程2.2.3數學模型的驗證和誤差分析2.2.1對模型的基本要求利用對客觀系統的結構和運動規律的認識和理解建立模型-演繹法-機理模型-白箱模型利用對系統的輸入、輸出數據的觀察建立模型-歸納法-經驗或統計模型-黑箱模型灰箱模型：介于機理和經驗之間1.根據模型結構分類2.對模型的基本要求依據充分；足夠的精確度；可操作、實用2.2.2建模過程

數據的收集與分析

實測數據/歷史數據變量/變量；變量/時間；變量/空間模型結構的選擇與確定模型參數估值模型驗證與修正模型的應用和反饋建立數學模型的步驟觀測數據組Ⅰ模型結構選擇模型應用觀測數據組Ⅱ參數估計檢驗與驗證圖2-4模型的建立過程模型的結構選擇(1)白箱模型根據對系統的結構和性質的了解,以客觀事物變化遵循的物理化學定律為基礎，經邏輯演繹而建立起的模型是機理模型。這種建立模型的方法叫演繹法。機理模型具有唯一性。(2)灰箱模型即半機理模型。在建立環境數學模型的過程中,幾乎每個模型都包含一個或多個待定參數,這些待定參數一般無法由過程機理來確定。通常要借助于觀測數據或實驗結果。(3)黑箱模型即輸入-輸出模型。需要大量的輸入,輸出數據以獲得經驗模型。它們可在日常例行觀察中積累,也可由專門實驗獲得。根據對系統輸入輸出數據的觀測,在數理統計基礎上建立起經驗模型的方法又叫歸納法。經驗模型不具有唯一性。2.3Excel在建立數學模型的應用2.3.1污水處理的線性回歸分析2.3.2結構分析和曲線擬合2.3.3用Excel進行參數估計污水處理的線性回歸分析例2-2某污水處理廠提供的3、4月份的日常監測臺帳如表2-4所示，試根據3月份的數據建立其出水COD對應入水COD的線性回歸模型，然后用4月份的數據進行驗證。

表2-5

出水COD對應入水COD回歸統計結果MultipleR0.630237Intercept43.25682XVariable10.136996標準誤差26.22009觀測值24因此，出水COD對應入水COD的線性回歸的模型形式是：

Y=0.137X+43.257結構分析和曲線擬合例2-3十二胺降解實驗數據如表2-7所示，使用Excel工作表進行曲線擬合。

表2-7十二胺降解實驗數據從獲得的三個數學模型來看，指數模型R2

與實驗數據擬合的相關系數高達98.6%（R2=0.9726）,應是較好的選擇。2.3.3用Excel進行參數估計用Copy計算式結合多元線性回歸進行復雜模型參數估值

例2-4根據對某一種反應的分析，獲得灰箱模型為：試根據表2-8所示的一組實驗觀測值，進行灰箱模型的參數估值，并討論其是否可信。解：首先建立Excel的工作表，輸入已知的實驗數據，在新的兩列中分別通過輸入計算式和用Copy命令求得對應的x10.5和ln(x2)，該反應測定的原始實驗數據和兩列中間計算結果均列入表2-8。

用最優化方法進行復雜模型的參數估值使用Excel電子表格，對于因變量y相應于自變量X（可以是包含多個元素的向量）的試驗或觀測數據，由經驗給定參數的初值開始，計算計算值與觀測值之間的誤差，用最優化方法進行參數估值，使該參數取值條件下誤差的平方和最小。

例2-5已知河流平均流速為4.0km／h，飽和溶解氧(DO)為lO.Omg／L，河流起點的BOD(L0)濃度為20mg／L，沿程的溶解氧(ＤＯ)的測定數據如下：第二章數學模型概述學習難點的闡述通過例題例2-2學習，進一步闡述該學習難點，用具體計算和圖形展示誤差的取值、累積頻率曲線；認識中值誤差(累積頻率為50％)的概念和采用來作為衡量模型精確度的度量。掌握數學建模方法。第二章數學模型概述學習要點為：(1)

滿足模型條件的數學表達式和算法叫做數學模型，它具有高度的抽象性和經濟性。環境系統工程中的數學模型是應用數學語言和方法來描述環境污染過程中的物理、化學、生物化學、生物生態以及社會等方面的內在規律和相互關系的數學方程。(2)

數學模型的建立過程包括：數據的搜集和初步分析、模型的結構選擇、估計模型的參數以及模型的檢驗和修正等。(3)

MicrosoftExcel提供了一組數據分析工具，要使用分析工具庫進行數學模型的驗證和誤差分析，必須對所提供的分析函數定義和在統計、誤差分析中的作用有相應的了解。(4)

練習掌握用Excel解決環境問題的線性回歸分析、曲線擬合及參數估計等數學建模問題。難點重點作業已知一組實驗數據,就下列模型進行參數估計并說明哪種模型結構更適合實驗數據。(1)y=abx；(2)y=axbx12