第十一

章

能量法1§11–1

桿件的應變能計算§11–2功的互等定理和位移互等定理§11–3卡氏定理§11–4虛功原理§11–5單位載荷法

§11–6計算莫爾積分的圖乘法第十一章能量法能量法2利用與應變能概念相關的一些定理和原理，來解決結構的位移計算或與結構變形有關的問題的方法，稱為能量法（energymethod)

能量法不計能量損耗，則根據功能原理有U=W3§11.1桿件的應變能計算一、桿件在基本變形時的應變能1、軸向拉壓桿的應變能計算：能量法42、圓軸扭轉時的應變能3、梁彎曲時的應變能能量法5二、桿件在組合變形時的應變能

小變形時，各基本變形的應變能可單獨計算，然后相加，得到組合變性桿的總應變能。即：能量法

注意:應變能是力的二次函數，因此，引起同一基本變形的一組外力在桿內所產生的應變能，并不等于各力分別作用時產生的應變能的簡單相加。6能量法例如：求圖示簡支梁的應變能。FMABC解：設F和M同時由零按比例加至終值。x（1）求支反力，列彎矩方程：（2）求應變能：（1）、（2）式代入（3）式得：7能量法FMABC變形(a)式得令則U1：F單獨作用應變能U1U2U1U2誘導功誘導功U2：M單獨作用應變能8能量法上三式說明：一組外力引起同一基本變形時，桿的總應變能，并不等于各力分別單獨作用時產生的應變能的簡單相加。另外，上三式還說明：桿件的應變能，只與最終的載荷狀態有關，而與加載次序無關。FMABCFMABC同時加F和M先加M，再加F先加F，再加M9能量法又如：結論：應變能與加載次序無關。10[例11-1-1]用能量法求C點的撓度。梁為等截面直梁。解：外力功等于應變能利用對稱性，得：思考：分布荷載時，可否用此法求C點位移？FaaABC能量法11例11-1-2

圖示半圓形等截面曲桿位于水平面內，在A點受鉛垂力F的作用，求A點的垂直位移。解：用能量法（外力功等于應變能）1、求內力能量法AFR123、外力功等于應變能2、變形能：能量法13§11.2功的互等定理和位移互等定理能量法F1AB12P2AB12F2F1AB12F2F2AB12F114線彈性體，載荷作功與加載次序無關，只取決于載荷的終值能量法F1AB12F2F2AB12F115能量法如圖所示桁架，桿CD的長度l為1m，已知節點B受鉛垂向下的力F=1kN作用時，桿CD產生逆時針方向的轉角=0.01rad。試確定為使節點B產生鉛垂向下的線位移=0.0008m，在節點C及D兩處應加多大的力。并說明加力方向。解：如圖11-4b所示，在點C及點D應加一對大小相等，方向相反，且均垂直于桿CD的力。根據功的互等定理：16§11.4虛功原理

能量法虛功原理又稱為虛位移原理，在理論力學中，討論過質點系的虛位移原理，它表述為，質點系平衡的充要條件是作用在質點系上的所有各力在質點系的任何虛位移上所作的總虛功等于零，即對于變形體，除了外力在虛位移上要作功外，內力在相應的變形虛位移上也要作功。前者稱為外力虛功，用表示；后者稱為內力虛功，用表示。變形體平衡的充分必要條件是作用于其上的外力系和內力系在任意一組虛位移上所作的虛功之和為零，即17能量法在結構中取出一微段dx，如圖所示:(b)(a)(d)(c)外力在剛性虛位移上所作總虛功為零，只需考慮在變形虛位移上所作虛功：略去高階微量，得外力虛功：18能量法內力虛功為：整個結構的內力虛功為：求和符號表示考慮結構中的所有桿件，若橫截面上還存在扭矩，則上式應增加這一項。結構所有外力對于虛位移所作的虛功應為：而則有：即為虛功原理具體表達式19§11.5單位載荷法能量法由虛功原理可以得到計算結構位移的單位載荷法。如圖所示簡支梁，受已知載荷Fi（i=1,2,…n)作用，要求任意截面沿任意方向位移。F2F1FnA如，要求任一截面A的撓度Δ由單位力引起的內力分別記為：1A可設想先將載荷移去，在A處沿Δ方向加一單位載荷，原載荷作用下的位移作為虛位移，單位力看作實際載荷。則由虛功原理得：20能量法說明：（1）單位載荷法對線性、非線性及非彈性體均適用。（2）所求的位移及施加的單位力都是廣義的。若Δ為線位移，則在欲求Δ處沿Δ方向加單位力；若Δ為角位移，則在欲求Δ處沿Δ轉向加單位力偶。若Δ為兩點間的相對線位移，則在欲求Δ處加一對方向相反的單位力；若Δ為兩截面間的相對角位移，則在欲求Δ處加一對方向相反的單位力偶。（3）若求出的Δ為正，則說明所求的位移與單位力同向，反之，則相反。（4）對于細長桿件，剪力影響很小，第三項可略去不計。一般情況下，求結構中一點位移的單位載荷法的計算公式為：21能量法對于線彈性結構，材料服從胡克定律，小變形下，結構的位移與載荷成線性關系，則有上式常稱為莫爾定理或莫爾積分。對于基本變形桿，莫爾定理的形式為：（1）拉壓時：（2）扭轉時：（3）彎曲時：對于桁架：那么，單位載荷法的計算公式可寫為：22能量法F2F1FnAF0如圖所示簡支梁，受已知載荷Fi（i=1,2,…n)作用，要求任意截面沿任意方向位移。如：求任一截面A的撓度ΔA（a）實際載荷作用下（b）實際載荷前，在A處沿Δ方向先加一虛擬力F0莫爾定理的另一種證明方法23能量法F2F1FnF0A（c）在F0之后，再加實際載荷而由§11.1知：

由（a)、(b)兩式得：

若令F0為單位載荷，即

F0=1，則有

即為莫爾定理或莫爾積分24莫爾定理是計算線彈性結構位移的一種有效方法。能量法說明：

Δ為廣義位移。若Δ為線位移，則在欲求Δ處沿Δ方向加單位力；若Δ為角位移，則在欲求Δ處沿Δ轉向加單位力偶。M(x)與

同樣視為廣義的內力，M(x)為外載引起的內力表達式；

為單位載荷引起的內力表達式；M(x)與

的定義域相同，否則應分段利用莫爾定理。25使用莫爾定理的注意事項：5、莫爾積分必須遍及整個結構。1、M(x)：結構在原載荷下的內力。3、所加廣義單位力與所求廣義位移之積，必須為功的量綱。能量法2、

：去掉主動力，在所求廣義位移

處，沿所求廣義位移

的方向加廣義單位力

時，結構產生的內力。4、M(x)與

的坐標系必須一致，每段桿的坐標系可自由建立。26例11-2-1

用能量法求C點的撓度和轉角。梁為等截面直梁。3、求變形解：1、加單位載荷如圖2、求內力x能量法274、求轉角，重建坐標系（如圖）能量法28例11-2-2

拐桿如圖，A處為一軸承，允許桿在軸承內自由轉動，但不能上下移動，已知：E=210GPa，G=0.4E，求B點的垂直位移。解：1、單位載荷如圖2、求內力能量法293、求變形能量法30能量法例11-2-3

外伸梁受力如圖，用單位力法求A截面轉角。解：1、在A點加一單位力矩，如圖2、求內力3、求變形31能量法例11-2-4

懸臂梁如圖示，用單位力法求C點的撓度。解：1)在C點加一單位力，如圖32能量法例11-2-5

用單位力法，求折桿D處水平方向的線位移。(各段EI相同)解:1)在D處加水平單位力,如圖2)寫出各段的彎矩方程3)求位移33能量法例11-2-6

用單位力法求曲桿A點的水平位移。解:1)在A點加水平單位力,如圖2)寫出彎矩方程3)求位移34能量法例11-2-7

用單位力法求剛架B處的轉角。解:1)在B處加單位力偶,如圖2)求反力,列出各段的彎矩方程35能量法例11-2-8

園截面折桿ABC(∠ABC=900),位于水平面內，已知材料的E，G。用單位力法求

C

截面的線位移和角位移。36能量法37能量法38能量法例11-2-9

各桿EA相同,桿長均為a,用單位力法求AB間相對位移。解:1)在A、B處加一對方向相反的單位力2）計算各桿的軸力3）求AB間相對位移39能量法例11-2-10

用單位力法求結構C點的y方向位移。解：1）在C處沿y方向加單位力2）求內力原結構中：BE、CDE不受力，支反力為零。圖（a）的反力如圖，各段受力如圖（b），只考慮AC及AB的內力40能量法3）寫出各段的彎矩4）求變形41§11.6計算莫爾積分的圖乘法能量法等截面直桿，EI為常數，只須計算積分即可。MxcxdxCMxxxl長l的桿的M(x)圖是曲線，設其面積為AΩ，

圖是直線，設

，則：直桿在單位載荷作用下，

圖一定是直線或折線。42能量法常見圖形的面積和形心為置式中：AΩ

為M圖的面積；為M圖形心對應下的

圖的值。43應用圖乘法的注意事項：能量法應用圖乘法求變形的解題步驟：①畫M圖；②加單位力，畫

圖；③代入圖乘公式求解。①M、

圖一律畫在受拉側，當M、

圖同側受拉時，AΩ

乘積為正，反之AΩ

乘積為負；②若

圖為折線，應分段圖乘；③若M、

圖都是直線，則面積可取自任一個圖形；④對于組合圖形，將其分解為幾個簡單圖形，分別計算再進行疊加。44例11-3-1

用圖乘法求外伸梁D點的豎直位移，EI為常數。能量法aaa2qaqABDqa2C1C2C3qa2/21a解：1)用疊加法畫M圖計算M圖面積：3)代入圖乘公式求解2)加單位力，畫

圖45例11-3-2

用圖乘法求剛架C截面的轉角和鉛垂位移，EI為常數。能量法解：1)畫M圖3)代入圖乘公式求解aaqABCMqa2/22)加單位載荷畫

圖111146能量法解：1)畫M圖3)代入圖乘公式求解例11-3-3

用圖乘法求剛架AB間的鉛垂方向相對位移。2)加單位載荷畫

圖471、下圖所示階梯狀變截面桿受軸向壓力P作用，其變形能U應為

:（Ａ）（Ｂ）

（Ｃ）（D）本章習題能量法一、選擇題482、下圖所示同一桿梁的三種載荷情況，試指出下列關系式中哪個是正確的

：（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（D）能量法493、下圖所示梁的載荷圖