不對稱中的對稱

——導體周圍電場的模擬以及多極矩疊加應用

化學物理系鄒思睿PB03206041指導老師：郝志東想必大家對《電場線之美》中那些點電荷系統優美的電場線圖還記憶猶新吧，那導體周圍的電場又是什么樣的呢？其中又有什么內在的規律呢？本文將對其進行一番探索······引言一、導體周圍電場的模擬（精確法）

（一）介紹精確法畫電場線的方法

電勢

電場強度將電場強度所在的直角坐標系（x，y）變換到相空間（

，

）列出微分方程利用MATHEMATICA?5.1軟件畫出相圖（即電場線圖）

SHOW

（二）導體周圍電場線的圖

1．帶電導體橢球面周圍的電場線圖圖12．接地導體球和點電荷相互作用時的電場線圖其中k=d/r，k=2d表示點電荷到球心的距離r

表示球的半徑

（后同）圖2

3、帶電導體球和點電荷相互作用時的電場線圖（s=Q/q;k=d/r取s=1;k=2）

Q表示導體所帶電荷q表示點電荷的電量

（后同）圖34、帶電直導線和帶電導體球作用的電場線圖（s=Q/q;k=d/r，取s=1;k=2）圖45、形如“A”字的均勻線帶電體周圍的電場線和等勢線圖（在“A”所在平面上的投影）圖5

6、圓環周圍的電場線和等勢線圖（在經過軸線的平面上的投影）圖6二、多極矩疊加應用（一）理論背景

電勢的展開：

其中各項物理意義：

第一項是一個點電荷的電勢，相當于V內電荷都集中在O點時在P點所產生的勢；

第二項是偶極子的電勢，相當于V內電荷都集中在O點處偶極子時在P點所產生的勢；

第三項是體系的四極距的電勢，相當于V內電荷都集中在O點處四極距時在P點所產生的勢；

…………

第n項是體系的2n

極距的電勢，相當于V內電荷都集中在O點處2n

極距時在P點所產生的勢；

（表示前后張量完全縮并）（二）具體方法

點電荷電場線圖C×電偶極子電場線圖+D×四極距電場線圖+C，D表示不同電勢展開時的系數（常數）=

導體周圍電場線圖

...（三）應用舉例

1、模擬橢球面導體周圍的電場線圖

（疊加圖）

（精確圖）

從兩圖對比可以發現它們之間存在驚人的相似之處。疊加圖在等勢面上的正交性如此之好，令人驚嘆！2、模擬帶電導體球和點電荷作用時的電場線圖

類似橢球面中的疊加法，只是偶極子中p與x軸的交角取=（橢球面中取）

（疊加圖）（精確圖）此圖也有很好的相似性，但可看出疊加法在模擬（2，0）處點電荷時，沒有收斂到（2，0）點，原因在于此處只疊加到了四極距；但是很明顯它已經有了收斂回正x

軸上某個點的趨勢。我們可以樂觀的估計疊加上八極距后模擬的精確度會大大提高。三、精確法和疊加法求導體周圍的電場的比較優勢精確法1、較精確地計算出每一點的電勢、電場2、模擬出來的電場線較光滑一般情況下無法通過計算積分得到電勢的解析表達式，從而限制了它的使用疊加法1、當導體電荷分布的對稱性不理想（無法得到電勢解析表達式——精確法的局限性）時，它可以發揮巨大作用2、能大致表示出電場變化的趨勢，把一些原本較復雜的導體周圍電場問題簡化表示電場線較粗略，存在一定誤差局限性四、深刻意義—— 不對稱之中常蘊含著對稱之美

1、鏡像法

接地導體球A和點電荷Q相互作用時，導體球上的感應電荷是不均勻分布的，但它的電荷可以通過一個與Q關于A對稱的點電荷來等效AQ

2、傅立葉分析變換

一般情況下，很多信號都是非周期、沒有明顯規則的，但是可以通過Fourier分析用一些周期函數疊加得到。作Fourier展開（取前300項近似）完美再現！五、構想和展望

1.如能加上八極距、十六極距等近似效果會更好2.平面圖在很大程度上限制了電場線的完整表達，如能用三維立體圖來展現電場線會更好3.還可以繪制電介質在電場中極化時的電場線圖，或磁場的磁力線圖等

4.EquationTrekker是Wolfram公司2004年11月推出的新版本

MATHEMATICA?

5.1

中新功能，故對其使用和功能不是很熟悉，做出的圖不是很美觀、很對稱1．《經典電動力學》蔡圣善科大天文與應用物理系2．《電動力學》虞福春北京大學出版社3．《符號計算系統mathematica教程》張韻華科學出版社4．《電磁學》張玉民中國科技大學出版社科學出版社5．《電磁學千題解》張之翔科學出版社六、參考資料七、感謝

謝謝沈激，陳子瑜老師熱情地為我提供場所，是你們使我有了寫下去的動力！謝謝郝軼聃，沈明民師兄為我出謀劃策，耐心地給我講解一些高深的理論，是你們讓我對物理和數學有了更濃厚的興趣！

謝謝郝志東，葉邦角，程福臻老師指點論文，是你們使我的論文更上一層樓！謝謝廖瞻迪，虞堂清，周磊，劉妍的幫助和鼓勵，是你們讓我感到科大的溫暖和人情味！

八、結語

潮隨暗浪雪山傾，遠浦漁舟釣月明。

橋對寺門松徑小，

巷當泉眼石波清。

迢迢遠樹江天曉，

藹藹紅霞晚日晴。