..沖激信號δ<t>的三種定義與相關(guān)性質(zhì)的簡單討論信息科學(xué)與工程學(xué)院1132班樊列龍__0909113224有一些物理現(xiàn)象,如理學(xué)中的爆炸、沖擊、碰撞······,電學(xué)中的放電、閃電雷擊等,它們都有共同特點(diǎn)：持續(xù)時間短.取值極大.沖擊函數(shù)〔或沖擊信號就是對這些物理現(xiàn)象的科學(xué)抽象與描述。通常用δ<t>表示沖激信號,它是一個具有有限面積的窄而高的尖峰信號,它也可以被稱作δ函數(shù)或狄拉克〔Dirac函數(shù),在信號領(lǐng)域中占有非常重要的地位.由于沖激函數(shù)的特殊性,現(xiàn)給出其兩種不嚴(yán)格的定義如下：定義一：用脈沖函數(shù)極限定義沖激信號.如圖1-1<a>的矩形脈沖,寬為τ,高為,其面積為A.當(dāng)A=1稱之為單位沖激信號.現(xiàn)保持脈沖面積不變,逐漸減小τ,則脈沖的幅度逐漸增大,當(dāng)時,矩形脈沖的極限成為單位沖激函數(shù),即：〔1-1沖擊信號的波形就如1-1<b>所示.δ<t>只表示在t=0點(diǎn)有"沖激",在t=0點(diǎn)以外的各處函數(shù)值均為0,其沖激強(qiáng)度〔沖激面積為1,若為A則表示一個沖擊強(qiáng)度為E倍單位值得函數(shù)δ,描述為A=Eδ<t>,圖形表示時,在箭頭旁邊注上E。<a><a>逐漸減小的脈沖函數(shù)<b>沖激信號圖1-1也可以用抽樣函數(shù)的極限來定義δ<t>。有〔1-2對式〔1-2作如下說明：Sa<t>是抽樣信號,表達(dá)式為〔1-3圖1-2其波形如圖1-2所示,Sa<t>∝1/t,圖1-21/t隨t的增大而減小,sint是周期振蕩的,因而Sa<t>呈衰減振蕩；并且是一個偶函數(shù),當(dāng)t=±,±2,···,sint=0,從而Sa<t>=0,是其把原點(diǎn)兩側(cè)兩個第一個零點(diǎn)之間的曲線部分稱為"主瓣",其余的衰減部分稱為"旁瓣"。時,,并且有：因其是偶函數(shù)有〔1-4由式〔1-4知〔1-5圖1-3式〔1-5表明,曲線下的面積為1,且k越大,函數(shù)的振幅越大,振蕩頻率越高,離開原點(diǎn)時,振幅衰減越快,當(dāng)k時,即得到?jīng)_激函數(shù),波形表示如圖1-3.圖1-3實(shí)際上,脈沖函數(shù)的選取并不限于矩形脈沖與抽樣函數(shù),其他如三角形脈沖、雙邊指數(shù)脈沖等地極限,也可以變?yōu)闆_激函數(shù),作為沖激函數(shù)的定義。相應(yīng)可以表示為：三角形脈沖：〔1-6雙邊指數(shù)脈沖：〔1-7鐘形脈沖：〔1-8這些脈沖波變?yōu)橄鄳?yīng)的沖激函數(shù),如圖1-4<a>、<b>、<c>.〔a三角脈沖〔a三角脈沖〔b指數(shù)脈沖〔c鐘形脈沖圖1-4定義二：狄拉克<Dirac>定義.狄拉克給出沖激函數(shù)的定義式為〔2-1這一定義與上述的脈沖極限的定義式一致的,因此把δ函數(shù)稱為狄拉克函數(shù)。現(xiàn)給出δ函數(shù)三個有用的特性：性質(zhì)一：展縮特性.沖擊函數(shù)是一個高而窄的峰,時間縮放會改變其面積。由于δ<t>的面積為1,時間壓縮的沖激信號δ<at>的面積為,由于沖激信號δ<at>仍在t=0處發(fā)生,所以它可以被看做一個未壓縮的沖激,即有。由于時間位移不會影響面積的大小,所以有〔2-2式〔2-2可以用定積分中的變量代換法加以證明。特別的當(dāng)時,式〔2-2變?yōu)?lt;2-3>從式〔2-3可以看出,δ<t>是一個偶信號。性質(zhì)二：抽樣特性〔篩選性.用沖激函數(shù)乘以任意連續(xù)信號,就可以得到一個沖激函數(shù),它的強(qiáng)度等于在處的值。即篩選出了。從而有

〔2-4類似有〔2-5式〔2-4和式〔2-5表明：當(dāng)連續(xù)時間函數(shù)與單位沖激信號或相乘,并在時間內(nèi)積分,可以得到在處的函數(shù)值。性質(zhì)三：位移特性.性質(zhì)一和性質(zhì)二表明乘積的面積等于,也就是說移除了在處的值。〔2-6值得指出的是,沖激信號與階躍信號的關(guān)系：〔2-7〔2-8的狄拉克定義也可以表示為〔2-6上式與式〔2-1一樣都表示,處,是一個間斷點(diǎn),但作為數(shù)學(xué)抽象式,式〔2-1中采用的約束條件,已經(jīng)概括了間斷點(diǎn)得鄰域內(nèi)的積分,反映出時的趨勢,因此采用〔2-1的描述更合適。另一方面,狄拉克-函數(shù)的定義在數(shù)學(xué)上也是不嚴(yán)格的。如函數(shù)也滿足式〔2-1其中:為沖激偶信號,但并不是單位沖激信號。為了給出奇異函數(shù)的嚴(yán)格定義,我們先引入分配函數(shù)的概念。概念引出〔1950年,L.Schwartz電壓v<t>表示方法：分析說明：①讀數(shù)并不是直接待測物理量本身,而是待測函數(shù)v<t>與測試儀表特性h<t>二者綜合結(jié)果②電壓v<t>的存在和性質(zhì)借助h<t>來體現(xiàn)〔測量系統(tǒng)是檢測電壓v<t>特性的手段,故稱h<t>為檢試函數(shù)。下面給出分配函數(shù)定義：定義三：用分配函數(shù)定義.指定給的值為.通過上面所給出的幾種定義和性質(zhì),我們可以總結(jié)推導(dǎo)關(guān)于的一些基本運(yùn)算特性。相加:<3-1>相乘:<3-2>〔3反褶:〔3-3證明參見性質(zhì)一.〔4尺度:〔3-4〔5時移:〔3-5證明參見性質(zhì)二.〔6卷積:〔3-6〔3-6僅對i>進(jìn)行如下證明：〔7復(fù)合函數(shù)：〔3-7證明：用泰勒級數(shù)展開,,忽略高次項(xiàng)。復(fù)合函數(shù)形式的可化簡