考向案

考題解構視角拓展

高頻考點一:復數的概念與運算1.(2012年江西卷)若復數z=1+i(i為虛數單位),

是z的共軛復數,則z2+

的虛部為

(

)(A)0.

(B)-1.

(C)1.

(D)-2.【解析】由z=1+i知

=1-i,∴z2+

=(z+

)2-2z

=4-4=0.故應選A.【答案】A2.(2011年江西卷)若(x-i)i=y+2i,x,y∈R,則復數x+yi=

(

)(A)-2+i.

(B)2+i.(C)1-2i.

(D)1+2i.【解析】由題設得xi+1=y+2i,故x=2,y=1,即x+yi=2+i.故選B.【答案】B

真題索引情境構造角度切入2012年江西卷文1復數的運算及復數

的概念.由復數運算求出z2+

的值.2011年江西卷文1復數相等.由復數相等可求得

x,y的值.必考內容,試題難度不大,主要是對復數的概念、復數的四則

運算、共軛復數及復數的模進行考查,因此在復習過程中對

這些考查熱點要著重訓練.從這兩年江西課標卷的高考命題情況看,復數是高考的切入角度說明復數方程及復數運算.由復數運算對復數進行化簡.復數與復平面內點的關系.先對復數進行化簡,然后根據復數與復平面內的點的關系進行解答.復數的模.先對復數進行化簡,再求復數的模.

角度探究:1.若復數z滿足z(2-i)=11+7i(i為虛數單位),則z為

(

)(A)3+5i.

(B)3-5i.

(C)-3+5i.

(D)-3-5i.【解析】z=

=

=

=3+5i.【答案】A案例落實:2.復數z=

(i為虛數單位)在復平面內對應的點所在象限為

(

)(A)第一象限.

(B)第二象限.(C)第三象限.(D)第四象限.【解析】z=

=

=

,所對應的點為(

,-

),故位于第四象限.【答案】D3.已知復數z=

,則|z|等于

(

)(A)

.

(B)

.

(C)1.

(D)2.【解析】∵z=

=

=

=

,∴|z|=

=

.【答案】B

高頻考點二:程序框圖1.(2012年江西卷)下圖是某算法的程序框圖,則程序運行后

輸出的結果是

.【解析】此框圖依次執行如下循環:第一次:T=0,k=1,sin

>sin0成立,a=1,T=T+a=1,k=2,2<6,繼續循環;第二次:sinπ>sin

不成立,a=0,T=T+a=1,k=3,3<6,繼續循環;第三次:sin

>sinπ不成立,a=0,T=T+a=1,k=4,4<6,繼續循環;第四次:sin2π>sin

成立,a=1,T=T+a=2,k=5,5<6,繼續循環;第五次:sin

>sin2π成立,a=1,T=T+a=3,k=6,6<6不成立,跳出循環,輸出T的值(T=3).【答案】32.(2011年江西卷)下圖是某算法的程序框圖,則程序運行后

所輸出的結果是

.【解析】第一次:s1=(0+1)×1=1,n=1+1=2;第二次:s2=(1+2)×2=

6,n=3;第三次:s3=(6+3)×3=27,n=4,而n=4>3,故填27.【答案】27

真題索引情境構造角度切入2012年江西卷文15循環結構程序框圖

的運行.逐步執行,一步步將

執行結果寫出.2011年江西卷文13循環結構程序框圖

的運行.逐步執行,一步步將

執行結果寫出.點試題常與函數、數列、三角函數等方面的知識綜合命題,

考查學生分析、識別圖形的能力以及對數據的處理能力.通過對近年高考程序框圖試題的研究可以發現:運行和完善

程序框圖是高考的熱點;高考程序框圖考查的核心是算法的

三種基本邏輯結構,特別是帶有循環結構的程序框圖.從這兩年江西課標卷的高考命題情況來看,程序框圖考切入角度說明考查循環結構的程序框圖的

運行功能.要明白循環結構中的內容,其

解法是逐步執行,一步步將執

行結果寫出,此外要清楚循環

何時終止.

角度探究:切入角度說明考查程序框圖的運行.讀懂程序框圖,清楚程序框圖

所要解決的問題是解決此類

問題的關鍵.分析識別框圖功能及數據處

理能力.本題是以算法為背景考查裂

項相消求和,綜合性較強.1.閱讀如圖所示的程序框圖,運行相應的程序,輸出的s值等

于

(

)案例落實:(A)-3.

(B)-10.

(C)0.

(D)-2.【解析】進入循環體,第一次,s=1,k=2;第二次,s=0,k=3;第三次,s=-3,k=4;然后,退出循環,輸出s=-3.【答案】A2.執行如圖的程序框圖,如果輸入的N是6,那么輸出的p是

(

)(A)120.(B)720.(C)1440.(D)5040.【解析】執行該程序后,可知是計算P=1×1×2×3×4×5×6=720.故選B.【答案】B3.執行如圖所示的框圖,輸入N=5,那么輸出的數等于

(

)(A)

.

(B)

.

(C)

.

(D)

.【解析】初始值s=0,k=1,循環下去:s=

;k=2,s=

+

;k=3,s=

+

+

;k=4,s=

+

+

+

;k=5時,輸出s=

+

+

+

+

=1-

+

-

+

-

+

-

+

-

=

.【答案】D基礎·角度·思路一、選擇題(本大題共10小題,每小題5分)1.(基礎再現)已知復數z1=-1+ai,z2=b-

i,a,b∈R,且z1+z2與z1z2均為實數,則

等于

(

)(A)-

.

(B)

.

(C)

.

(D)-

.【解析】∵z1+z2=(b-1)+(a-

)i,z1z2=(

a-b)+(

+ab)i,又∵z1+z2與z1z2均為實數,∴a-

=0,

+ab=0.∴a=

,b=-1,即

=-

.故選D.【答案】D2.(基礎再現)在復平面內,復數z=

對應的點位于

(

)(A)第一象限.

(B)第二象限.(C)第三象限.

(D)第四象限.【解析】z=

=

=

=

=

.復數z在復平面內對應點的坐標為(-

,-

),易知該點在第三象限,故選C.【答案】C3.(基礎再現)若復數z=

,則復數z的模|z|等于

(

)(A)

.

(B)

.

(C)

.

(D)5.【解析】因為z=

=

=

=-

+

i,所以|z|=

=

.【答案】B4.(基礎再現)下面幾種推理是合情推理的是

(

)①由圓的性質類比出球的有關性質;②由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形內角和是180°,

歸納出所有三角形的內角和都是180°;③某次考試張軍成績是100分,由此推出全班同學成績都是100分;是540°,由此得出凸多邊形內角和是(n-2)·180°.(A)①②.

(B)①③④.

(C)①②④.

(D)②④.【解析】由合情推理概念,知①②④符合題意.【答案】C④三角形內角和是180°,四邊形內角和是360°,五邊形內角和5.(視角拓展)如果要證明a,b,c中至少有一個不大于2,那么反

設應設為

()(A)a,b,c都大于2.(B)a,b,c中至多有一個不大于2.(C)a,b,c都不大于2.(D)a,b,c中至多有一個大于2.2;(2)a,b,c中有一個大于2;(3)a,b,c中有兩個大于2;(4)a,b,c都

大于2.由于所證的問題包含了上述前三種形式.【答案】A【解析】對于a,b,c與2的大小關系可分為:(1)a,b,c都不大于6.(視角拓展)類比等差數列可以定義等和數列:若數列

從第二項起,以后每一項與前一項的和都是同一常數,則此數列

叫做等和數列,這個常數叫做等和數列的公和.如果數列

是等和數列,且a1=1,a2=2,則數列

的一個通項公式為

(

)(A)an=n.(B)an=

+(-1)n·

.(C)an=2n-1.(D)an=

.【解析】由定義知公和為3,且an+an-1=3,那么an-

=-(an-1-

),于是an-

=(-1)n-1(a1-

),由a1=1,得an=

+(-1)n·

.【答案】B7.(視角拓展)執行如圖所示的程序框圖,若輸出結果為15,則

M處的條件為

(

)(A)k≥16.

(B)k<8.

(C)k<16.

(D)k≥8.【解析】執行程序框圖依次可得,S=1,k=2;S=3,k=4;S=7,k=8;S

=15,k=16.故判斷框內應填的條件是k≥16.【答案】A8.(高度提升)按如圖所示的程序框圖運算,若輸出k=2,則輸入

x的取值范圍是

(

)(A)(28,57].

(B)(28,57).(C)[28,57).

(D)[28,57].【解析】第一次運行x=2x+1,k=1,第二次運行x=2(2x+1)+1,k=

2,此時要輸出x的值要同時滿足2x+1≤115且2(2x+1)+1>115,

解得28<x≤57.【答案】A9.(高度提升)下面語句的執行結果是

(

)S=0Fori=1To5S=S+1/iNext輸出S(A)3.

(B)

.

(C)

.

(D)

.【解析】1+

+

+

+

=

.【答案】D10.(能力綜合)對于一個作直線運動的質點的運動過程觀測

了8次,第i次觀測得到的數據為ai,具體如下表所示:在對上述統計數據的分析中,一部分計算見如圖所示的程序

框圖(其中

是這個數據的平均數),則輸出的S的值是

(

)i12345678ai4041434344464748(A)7.

(B)8.

(C)9.

(D)10.【解析】根據程序框圖可知,S=

(ai-

)2,易知

=44,代入數據計算可得S=7.【答案】A11.(基礎再現)若

是純虛數,則實數a的值為

.【解析】由題知,

=

=

=-

+

,顯然當a=0時,

是純虛數.【答案】0二、填空題(本大題共5小題,每小題5分)12.(視角拓展)執行如圖所示的程序框圖,則輸出的結果為

.【解析】按照程序框圖依次執行得S=7,i=3,T=3;S=13,i=6,T=

3+6=9;S=19,i=9,T=9+9=18;S=25,i=12,T=18+12=30,此時T>S,

輸出T,故最后輸出的結果為30.【答案】3013.(視角拓展)設x>0,y>0,a=x+y,b=

·

,則a與b的大小關系為

.【解析】∵x>0,y>0.∴x<x+y,y<x+y,∴

<(x+y

,

<(x+y

.∴b=

·

<(x+y

·(x+y

=(x+y

=x+y=a.【答案】a>b

14.(高度提升)如圖的程序框圖的輸出結果是

.【解析】該程序第n次運行所得的a值記作an+1,則第1次運行

所得a2=

,第2次運行所得a3=

,…,第n次運行后an+1=

,可得

=

+1,故數列{

}是首項為1,公差為1的等差數列,故

=n,即an=

,故輸出結果是

.【答案】

15.(能力綜合)在平面幾何里,“若△ABC的三邊長分別為a,b,

c,內切圓半徑為r,則三角形面積為S△ABC=

(a+b+c)r”,拓展到空間,類比上述結論,若四面體A-BCD的四個面的面積分別為

S1,S2,S3,S4,內切球的半徑為r,則四面體的體積為

.半徑,二維圖形中的

類比為三維圖形中的

,從而可得V四面體A-BCD=

(S1+S2+S3+S4)r.【答案】V四面體A-BCD=

(S1+S2+S3+S4)r【解析】三角形的面積類比為四面體的體積,三角形的邊長

類比為四面體的四個面的面積,內切圓半徑類比為內切球的16.(基礎再現)已知復數z=1+i,求實數a,b使az+2b

=

.【解析】∵z=1+i,∴az+2b

=

+

i,

=(a+2)2-4+4

i=

+4

i.∵a,b都是實數,∴由az+2b

=

得

解得

或

∴所求實數為a1=-2,b1=-1或a2=-4,b2=2.三、解答題(本大題共6小題,共75分)17.(視角拓展)已知p,q,r都是正數,試證:關于x的三個方程8x2-

8

x+q=0,8x2-8

x+r=0,8x2-8

x+p=0至少有一個方程有兩個不相等的實根.【解析】假設三個方程均無不相等的實根,則

?

?p+q+r≤0,與p,q,r都是正數矛盾.故三個方程中至少有一個方程有兩個不相等的實根.18.(視角拓展)已知函數y=

,設計一個程序,輸入任意一個x的值,輸出對應的函數值,寫出算法,并畫出程序框圖.【解析】算法如下第一步輸入x第二步判斷x<0成立,則y=|x|;否則執行第三步第三步

y=x2

第四步輸出y程序框圖如圖.19.(視角拓展)已知x,y∈(-1,1),且xy=-

,求證:

+

≥4.【解析】(法一)由

+

≥2

=2

≥2

=4,故

+

≥4.(法二)由

+

=

=1+

≥1+

=4,故

+

≥4.20.(高度提升)在△ABC中,若∠A∶∠B∶∠C=4∶2∶1,a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對邊,求證:

+

=

.【解析】設∠C=α,則∠B=2α,∠A=4α,且α+2α+4α=7α=π,欲證

+

=

,可證bc+ac=ab,即ab-bc=ac,因此只需證a-c=