第8章假設檢驗§8.1假設檢驗的基本概念§8.3兩個正態總體的參數假設檢驗§8.2單個正態總體的參數假設檢驗§8.1

假設檢驗的基本概念一、假設檢驗的概念二、假設檢驗的基本原理三、假設檢驗可能犯的兩類錯誤四、假設檢驗的一般步驟若對總體參數有所了解但有懷疑需要證實之時用假設檢驗方法來處理若對總體參數一無所知用參數估計的方法處理一、假設檢驗的概念參數假設檢驗非參數假設檢驗參數檢驗假設是針對總體分布函數中的未知參數而提出的假設進行檢驗；分布函數形式或類型的假設進行檢驗.非參數檢驗假設是針對總體假設檢驗的內容例1

某產品出廠檢驗規定:次品率p不超過4%才能出廠.現從一萬件產品中任意抽查12件發現3件次品,問該批產品能否出廠？若抽查結果發現1件次品,問能否廠？為此提出如下假設:例2

某廠生產的螺釘,按標準強度為68/mm2,而實際生產的強度X

服.若,則認為這批螺釘符合要求,否則認為不符合要求.現從整批螺釘中取容量為36的樣本,其樣本均值為68.5,問原假設是否正確?為此提出如下假設:在例1中在例2中均稱為參數假設參數假設一般是一對互逆的假設,比較參數的相等或大小稱其中的一個為原假設,也稱零假設或基本假設稱另一個為備擇假設,也稱備選假設或對立假設一般將含有等號的假設稱為原假設必須在原假設與備擇假設之間作一選擇假設檢驗的任務在例1中在例2中均稱為參數假設參數假設一般是一對互逆的假設,比較參數的相等或大小稱其中的一個為原假設,也稱零假設或基本假設稱另一個為備擇假設,也稱備選假設或對立假設一般將含有等號的假設稱為原假設必須在原假設與備擇假設之間作一選擇假設檢驗的任務例1某車間用一臺包裝機包裝葡萄糖,袋裝糖的凈重是一個隨機變量,它服從正態分布.0.4970.5060.5180.5240.4980.511當機器正常時,其均值為0.5kg,標準差為0.015kg.某日開工后為檢驗包裝機是否正常,隨機地抽取它所包裝的糖9袋,稱得凈重為(kg):問機器是否正常?0.5200.5150.512,由長期實踐表明標準差比較穩定,我們提出兩個相互對立的假設為此，和然后，我們給出一個合理的法則，根據這一法問題分析則，工作是正常的,即認為機器否則,認為是不正常的.反之，由標準正態分布分位點的定義得：于是拒絕假設H0,

假設檢驗過程如下:認為包裝機工作不正常.以上所采取的檢驗法是符合實際推斷原理的.二、假設檢驗的基本原理假設檢驗的理論依據是“小概率原理”小概率原理:如果一個事件發生的概率很小,那么在一次實驗中,這個事件幾乎不會發生.事件“擲100枚均勻硬幣全出現正面”事件“某人隨機買一注彩票中一等獎”事件“在一副撲克中隨機抽取4張全為A”以上幾個事件都可稱為“小概率事件”如:

無論原假設中是否含不等號，在實際檢驗時，均可按原假設僅含等號的檢驗進行檢驗.例1

某產品出廠檢驗規定:次品率p不超過4%才能出廠.現從一萬件產品中任意抽查12件發現3件次品,問該批產品能否出廠？若抽查結果發現1件次品,問能否廠？解假設一萬件產品中任意抽查12件發現3件次品是小概率事件,那么在一次實驗中,這個事件幾乎是不會發生的,現在竟然發生了,故認為原假設不成立,即該批產品次品率,則該批產品不能出廠.例1

某產品出廠檢驗規定:次品率p不超過4%才能出廠.現從一萬件產品中任意抽查12件發現3件次品,問該批產品能否出廠？若抽查結果發現1件次品,問能否廠？解假設一萬件產品中任意抽查12件發現3件次品是小概率事件,那么在一次實驗中,這個事件幾乎是不會發生的,現在竟然發生了,故認為原假設不成立,即該批產品次品率,則該批產品不能出廠.

這不是小概率事件,沒理由拒絕原假設,從而接受原假設,即該批產品可以出廠.若從一萬件產品中任意抽查12件發現1件次品假設檢驗方法是概率意義下的反證法.要注意的是小概率事件畢竟不是不可能事件,只是小概率事件發生的概率很小,在一次實驗中“幾乎”不會發生.因此上述方法就可能出現錯誤,即真的假設被拒絕了,而錯誤的假設卻可能被接受了.1.第一類錯誤:棄真錯誤此時我們便犯了“棄真”錯誤,也稱為第一類錯誤三、假設檢驗可能犯的兩類錯誤則犯棄真錯誤的概率為小概率事件發生的概率就是犯棄真錯誤的概率越大,犯第一類錯誤的概率越大,即越顯著.2.第二類錯誤:納偽錯誤此時我們便犯了“納偽”錯誤,也稱為第二類錯誤犯納偽錯誤的概率為

我們希望這兩類錯誤都很小.但可以證明，在樣本容量n固定時,同時減小和是辦不到的.當減小時必導致增大,反之亦然.要想使和同時減小，只有增大樣本容量n.在實際應用中，一般原則是：在給定犯第一類錯誤的概率之后,使得犯納偽錯誤的概率盡可能的小.（一）寫明原假設H0和備擇假設H1的具體內容.四、假設檢驗的一般步驟（三）對給定顯著性水平，由統計量的分布查表確定出臨界值，進而得到H0的拒絕域和接受域.（二）根據H0的內容，給出檢驗統計量并確定其分布.（四）由樣本觀察值計算出統計量的值.（五）做出推斷：當統計量的值滿足“接受H0的條件”時就接受H0，否則就拒絕H0接受H1.（六）完整準確地寫出檢驗的結論.§8.2

單個正態總體的參數假設檢驗一、方差已知的正態總體均值的檢驗二、方差未知的正態總體均值的檢驗三、大樣本場合下,非正態總體均值的檢驗四、單個正態總體方差的檢驗一、方差已知的正態總體均值的檢驗構造小概率事件H0拒絕域雙側檢驗H0拒絕域例1

某百貨商場的日營業額近似服從正態分布,去年的日平均營業額為53.6萬元,均方差為6萬元,今年隨機抽查了10天的營業額,分是:58.2,57.8,58.4,59.3,60.7,71.3,56.4,58.9,48.5,49.5.根據經驗認為方差沒有變化.問今年的日平均營業額與去年相比是否有顯著變化?

解構造統計量原假設的拒絕域為原假設的拒絕域為由樣本觀測值得統計量觀測值查表得臨界值即認為今年的日平均營業額與去年有顯著變化統計量構造小概率事件H0拒絕域單側(邊)檢驗右側(邊)檢驗上述方法稱為例2

某車間生產某種規格的鋼絲,根據經驗,其折斷力

,現改革了生產工藝,生產了一批鋼絲,從中隨機抽取一個n=10的樣本,測得千克,問新工藝是否值得推廣?解構造統計量原假設的拒絕域為統計量觀測值即可以認為平均折斷力有顯著提高,故新工藝值得推廣查表得臨界值原假設的拒絕域為統計量構造小概率事件H0拒絕域左側(邊)檢驗二、方差未知的正態總體均值的檢驗構造統計量構造小概率事件H0拒絕域H0拒絕域若統計量觀測值雙側檢驗構造統計量H0拒絕域單側檢驗右側檢驗構造統計量單側檢驗左側檢驗H0拒絕域例3

用傳統方法養雞,經若干天后,雞的平均重量為4斤,今改善飼養方法,經相同天數后,隨機抽測10只,得數據如下:3.7,3.8,4.1,3.9,4.6,4.7,5.0,4.5,4.3,3.8斤,經驗表明同一批雞的重量近似服從正態分布,問改進飼養方法后的這批雞的平均重量是否顯著提高了?解構造統計量原假設的拒絕域為統計量觀測值即可以認為這批雞的重量沒有顯著提高由查表得臨界值原假設的拒絕域為三、大樣本場合下,非正態總體均值的檢驗構造統計量構造統計量四、單個正態總體方差的檢驗由抽樣分布定理,構造統計量若小概率事件發生H0拒絕域則例4正常生產知某維尼綸廠所產維尼綸的纖度近似服從正態分布,標準差為0.048,某日任意抽取20根測量其纖度的樣本標準差為0.067,試判斷該日產品的纖度波動是否有顯著變化?解則構造統計量由查表得臨界值統計量的觀測值即認為該日產品的纖度波動與以前有顯著變化構造統計量H0拒絕域構造統計量H0拒絕域應構造統計量8.3

兩個正態總體的參數假設檢驗參照單個正態總體的假設檢驗對兩個正態總體的參數的假設進行檢驗相互獨立由抽樣分布定理構造統計量的觀測值的絕對值應很小H0拒絕域因此原假設的拒絕域為構造統計量例1

甲、乙兩廠生產的某種元件的壽命都近似服從正態分布,,且相互獨立,從兩廠生產的元件中分別抽取了100只和75只,測得樣本均值分別為1180小時和1220小時,問乙廠生產的元件平均壽命是否比甲廠高?解構造統計量原假設的拒絕域為由查表得臨界值統計量觀測值即可以認為乙廠生產的元件壽命要比甲廠的高由抽樣分布定理構造統計量因此原假設的拒絕域為構造統計量例2

甲、乙兩零件彼此可以替代,且它們的抗壓強度都近似服從正態分布,但甲零件的成本較低,為評估質量,各抽取了5只,測得抗壓強度數據如下:(kg/cm2)

甲零件:89,89,90,84,88

乙零件:88,87,92,90,91假定它們抗壓強度的方差相等,問能否認為甲零件的抗壓強度不比乙零件低?解統計量由由樣本觀測值,得查表得臨界值即可以認為甲零件的抗壓強度不比乙零件低由抽樣分布定理構造統計量因此H0拒絕域為H0拒絕域構造統計量因此H0拒絕域為H0拒絕域為構造統計量例3

有兩臺機床生產同一型號的滾珠,測得直徑近似服從正態分布,從這兩臺機床加工的產品中分別抽取了9個和7個,測得滾珠直徑如下:(單位mm)甲機床:15,15.2,14.8,15.2,15,14.9,15.1,14.8,15.3乙機床:15.2,14.5,15.5,14.8,15.1,15.6,14.7問甲機床生產的產品是否更穩定(方差更小)?解構造統計量由由樣本觀測值,得查表得臨界值統計量觀測值為即甲機床生產的產品比乙機床更穩定例4

某燈泡廠在使用一項新工藝