第五章系統的穩定性本章主要教學內容5.1系統穩定性的初步概念5.2Routh(勞斯)穩定判據5.5系統的相對穩定性5.4Bode穩定判據5.3Nyquist穩定判據5.3節為本章難點，5.2、5.4、5.5節為本章重點5.1

穩定性的基本概念

本節教學內容5.1.1穩定性的定義

5.1.2穩定的充要條件

5.1.3穩定的必要條件本節教學要求1.了解系統穩定性的物理概念3.掌握用穩定的必要條件判斷系統穩定性的方法2.熟悉系統穩定性的數學定義及充要條件5.系統的穩定性

不穩定的現象5.1.1穩定性的定義5.1穩定性的基本概念

穩定的擺不穩定的擺穩定臨界穩定不穩定穩定性的定義——

一個系統稱之為穩定的，是指控制系統在外部擾動作用下偏離其原來的平衡狀態，當擾動作用消失后，系統仍能自動恢復到原來的平衡狀態。5.1.1穩定性的定義穩定不穩定線性系統的穩定性是控制系統自身的固有特性，取決于系統本身的結構和參數，與輸入無關。以上定義只適用于線性定常系統。5.1.1穩定性的定義穩定性的其他說法——大范圍漸近穩定：不論擾動引起的初始偏差有多大，當擾動取消后，系統都能夠恢復到原有的平衡狀態，否則就稱為小范圍(小偏差)穩定。注意：對于線性系統，小范圍穩定大范圍穩定。臨界穩定：若系統在擾動消失后，輸出與原始的平衡狀態間存在恒定的偏差或輸出維持等幅振蕩，則系統處于臨界穩定狀態。說明：經典控制論中,臨界穩定也視為不穩定。因為分析時依賴的模型通常是簡化或線性化的；實際系統參數的時變特性；系統必須具備一定的穩定裕量。穩定性條件的分析方法——脈沖響應法：假設系統在初始條件為零時，受到單位脈沖信號δ(t)的作用，此時系統的輸出為單位脈沖響應，這相當于系統在擾動作用下，輸出信號偏離平衡點的問題，顯然，當t→∞時，若：則系統（漸近）穩定。5.1.2系統穩定的充要條件5.1穩定性的基本概念

脈沖響應法分析5.1.2系統穩定的充要條件如果pi和i均為負值,當t時,x0(t)0。穩定性與零點無關.線性系統的脈沖響應線性系統穩定的充要條件自動控制系統穩定的充分必要條件是：系統特征方程的根全部具有負實部，或閉環系統的極點全部在S平面左半部。由已知條件知系統具有負實根或具有負實部的共軛復根，因此系統穩定。5.1.2系統穩定的充要條件舉例——某單位反饋系統，其開環傳遞函數為其閉環傳遞函數為：系統特征方程和特征根為：系統穩定的必要條件是

——系統特征方程各項系數具有相同的符號，且無零系數。5.1.3系統穩定的必要條件5.1穩定性的基本概念

設系統特征根為s1、s2、…、sn-1、sn，則5.1.3系統穩定的必要條件各根之和每次取兩根乘積之和每次取三根乘積之和各根之積系統特征方程的全部根具有負實部則特征方程的系數必然同號（不妨設為均大于零）。用待定系數法分析特征方程根與系數的關系例

某水位控制系統如圖，討論該系統的穩定性。：被控對象水箱的傳遞函數：執行電動機的傳遞函數K1：進水閥門的傳遞系數Kp

：杠桿比H0：希望水位H：實際水位5.1.3系統穩定的必要條件5.1.3系統穩定的必要條件系統閉環傳遞函數和特征方程K=KpkmK1K0為系統的開環放大系數該系統為三階系統，但缺少s項，即對應的特征多項式的中有系數為0，不滿足系統穩定的必要條件，所以該系統不穩定。這種系統屬于結構不穩定系統，無論怎樣調整該系統的參數，如(K、Tm)，都不能使系統穩定，要使系統穩定，必須對系統進行校正。系統穩定性分析5.2

Routh

（勞斯）穩定判據5.系統的穩定性本節教學內容5.2.1Routh行列式

5.2.2Routh判據

5.2.3Routh判據的特殊情況本節教學要求1.掌握利用Routh判據判斷系統穩定性的方法2.了解特殊情況下Routh判據的運用牢斯(Routh

)判據無需求解特征根，直接通過特征方程的系數判別系統的穩定性，屬于穩定性判斷中的一種代數方法。5.2.1Routh行列式列寫Routh行列式，是利用Routh判據進行系統穩定性分析的主要工作，其步驟如下:列寫系統特征方程由系統特征方程的各項系數排成Routh行列表的前兩行其中，第一行為sn、sn-2、sn-4的各項系數依次排成；第二行為sn-1、sn-3、sn-5的各項系數依次排成。計算Routh行列式的每一行都要用到該行前面兩行的數據。計算行列式的其余各行5.2.1Routh行列式例如6階特征方程

其牢斯行列式為

5.2.1Routh行列式如果符號相同，說明系統具有正實部的特征根的個數等于零，系統穩定；如果符號不同，則符號改變的次數等于系統具有正實部的特征根的個數，系統不穩定。控制系統穩定的充分必要條件

——

牢斯行列式的第一列元素不改變符號！Routh判據——

牢斯判據的實質是對Routh行列表中的“第一列”各數的符號進行判斷：5.2.2

Routh判據注：通常a0>0，因此，勞斯穩定判據可以簡述為——勞斯陣列表中第一列的各數均大于零。

例1牢斯判據判定穩定性符號改變二次,系統有兩個不穩定的特征根.5.2.2

Routh判據5.2.2

Routh判據例2牢斯判據判定穩定性系統特征方程牢斯判據002-(9/7)Ks100Ks00K7/3s2023s3K31s45.2.2

Routh判據例3牢斯判據判定系統相對穩定性已知系統特征方程：s3+7s2+14s+8=0試判斷該系統有幾個特征方程根位于與虛軸平行的直線s=-1的右側。將s平面虛軸左移一個單位距離，即構造一個z平面，則直線s=-1右側的極點即為z平面右側的極點。勞斯行列表系統有兩個特征根位于平行于虛軸的直線s=-1的右側。5.2.2

Routh判據例3牢斯判據判定系統相對穩定性已知系統特征方程：s3+7s2+14s+8=0試判斷該系統有幾個特征方程根位于與虛軸平行的直線s=-1的右側。將s平面虛軸左移一個單位距離，即構造一個z平面，則直線s=-1右側的極點即為z平面右側的極點。勞斯行列表系統有一個特征根位于（-1，j0）點。5.2.3Routh

判據的特殊情況特殊情況1：第一列出現0第一列出現0(各項系數均為正數)解決方法：用任意小正數代之。（因第一列符號改變兩次，該系統不穩定。）特殊情況2：某一行元素均為0(各項系數均為正數)解決方法：用全0行的上一行元素構成輔助方程,用對該方程求導后的方程系數替代全0行.求導得:例如：出現全0行5.2.3Routh

判據的特殊情況還可由輔助方程求出相應的極點

勞斯陣列出現全零行表明——系統在s平面有對稱分布的根共軛虛根對稱于虛軸的兩對共軛復根對稱于虛軸的一對實根5.2.3Routh

判據的特殊情況5.2Routh(勞斯)穩定判據【習題5.5】圖示系統,確定K、a取何值時,系統維持以=2s-1的持續振蕩。＋－Xi(s)Xo(s)系統產生持續振蕩，說明系統為臨界穩定系統，則勞斯行列式的第一列會出現0元素。5.2Routh(勞斯)穩定判據課后作業教材185~186頁：5.3，5.4

5.7(選做題)5.3

Nyquist穩定判據5.系統的穩定性本節教學內容

5.3.1幅角原理

5.3.2Nyquist穩定判據

5.3.3開環含有積分環節情況本節教學要求1.了解Nyquist判據的依據——幅角原理2.掌握Nyquist判據的使用方法3.熟悉開環含有積分環節時奈氏軌跡的繪制判斷Nyquist穩定性判據是利用系統開環頻率特性G(j)H(j)來判斷系統特征方程1+G(s)H(s)=0

的根是否全部具有負實部，是一種幾何判據，并且還能夠判斷系統的相對穩定性。奈氏判據的依據是幅角原理。開環傳遞函數閉環傳遞函數5.3.1幅角原理系統開環特征多項式與閉環特征多項式關系設新變量F(s)Db(s):閉環特征多項式Dk(s):開環特征多項式F(s)建立了系統的閉環特征多項式、開環特征多項式和開環傳遞函數G(s)H(s)之間的關系.5.3.1幅角原理

幅角原理——設Ls為[s]平面上一條封閉曲線，F(s)在Ls上解析，Z、P分別為F(s)在Ls內零、極點個數。當s按順時針方向沿Ls變化一周時，向量F(s)在[F]平面所形成的曲線LF將包圍原點N次，且N=Z-P。Ls[s]joF(s)[F]ReImoN=-2N>0：F(s)繞[F]平面原點順時針轉N圈；

N<0：F(s)繞[F]平面原點逆時針轉N

圈。幅角原理基本思想利用F(s)沿封閉曲線Ls一圈的相位變化，確定F(s)繞[F]平面原點的圈數和方向,進而判斷其在Ls內的零、極點個數之差：

Nyquist判據基本思想為判斷F(s)在[s]右半平面有無零點，作封閉曲線Ls包圍整個[s]右半平面。(該曲線由整個虛軸和無窮大右半圓組成。)R=Ls[S]F(s)在

[s

]

右半平面零、極點個數之差，可由[F(s)]平面上的封閉軌跡繞該平面原點的圈數和方向來確定。[F]o由F(s)=1+G(s)H(s),

得G(s)H(s)=F(s)-1,即繞[F]

平面原點的封閉軌跡，等價于繞[GH]平面上(-1，j0)的封閉軌跡。[GH](-1,j0)根據G(s)H(s)繞[GH]平面(-1，j0)點的N及G(s)H(s)的極點數P，可判斷F(s)在[s]右半平面的零點數:Z=N+P。5.3.2Nyquist穩定判據

Gk(s)的形狀即:[GK]平面上的Nyquist軌跡為當由-∞到+∞變化時，GK(j)所形成的軌跡。記P為GK(s)在[s]右半平面的極點數，則當由-∞到+∞變化時，[GK]平面的軌跡GK(j)逆時針包圍點(-1,j0)P圈(N=-P)，則閉環系統穩定。

Nyquist

穩定判據5.3.2Nyquist穩定判據注：由于Gk(-j)關于Gk(j)共軛，因此只需作出從0~+的Gk(j)即可。Nyquist判據可簡單地用下式表示：若則系統閉環穩定。開環穩定系統(P=0)的Nyquist判據系統在開環狀態穩定的條件下，閉環穩定的充要條件是：當

由-∞到+∞變化時，開環G(j)H(j)

軌跡不包圍[GH]（或[GK]）平面的(-1,j0)點。5.3.2Nyquist穩定判據系統(a)因為開環Nyquist軌跡不包圍(-1,j0)點，且P=0則系統閉環穩定。系統(b)因為開環Nyquist軌跡順時針包圍(-1,j0)點2圈，且P=0則系統閉環不穩定，且不穩定的極點數:Z=N=2.例1

圖(a)、(b)為P=0的系統的開環Nyquist圖，判斷相應閉環系統的穩定性。5.3.2Nyquist穩定判據=+=-=-=+[GH][GH]P=0P=0例2已知系統開環傳遞函數應用Nyquist判據判別閉環系統的穩定性。因為P=1，所以當N=-1時有Z=N+P=0，系統閉環穩定:當K>1時，Nyquist軌跡逆時針包圍（-1，j0）點一圈，系統閉環穩定（N=-1）；當0<K<1時，系統閉環不穩定（N=0）；當K=1時，系統臨界穩定（Nyquist軌跡穿過(-1，j0)點對應F(s)穿過[F]平面的原點）。5.3.2Nyquist穩定判據例3已知系統開環傳遞函數系統開環有一個不穩定極點(P=1),而由-∞到+∞變化時，[GH]平面的軌跡GK(j)

逆時針包圍點(-1,j0)一圈(N=-1)，因此Z=N+P=0,系統閉環穩定。-KG(j)ImRe0n(-1,j0)5.3.2Nyquist穩定判據的Nyquist軌跡如圖，試分析系統的穩定性。雖然開環不穩定的系統，閉環可以穩定，但這種系統的動、靜態品質通常不好，應當盡量避免。5.3.3開環含有積分環節情況

問題的提出

當系統開環傳遞函數含有積分環節（原點處存在極點）或者在虛軸上存在極點時，由于GK(s)在

Ls上不再是解析函數，因此不可直接應用Nyquist判據判斷閉環系統的穩定性。解決這一問題的基本思路是：用半徑→0的半圓在虛軸上極點的右側繞過這些極點，即將這些極點劃到s左半平面，從而使得GK(s)在Ls上仍然是解析函數。原點處右半圓弧的數學方程r0時系統開環傳遞函數[s]平面原點處極點所對應的Nyquist軌跡s=rej(r0)系統開環傳遞函數從00+：其Nyquist軌跡為[GH]上幅值為無窮大，弧度為-v/2的圓弧。5.3.3開環含有積分環節情況

rjO0+0-s從0/2：（[s]平面）（[Gk]平面）原點處有極點的系統開環Nyquist軌跡：（1）一般情況=0+=0+5.3.3開環含有積分環節情況

作出由0+→∞變化時的Nyquist曲線;從G(j0+)開始，以∞的半徑逆時針補畫v900的圓弧(輔助線)。

rjO0+其輔助線的起始點始終在無窮遠的正實軸上。（如果是非最小相位系統，且v=2，應如何作輔助線？）對于最小相位系統，應當以半徑為無窮大的圓弧順時針方向連接正實軸端和G(j)H(j)軌跡的起始端。5.3.3開環含有積分環節情況

原點處有極點的系統開環Nyquist軌跡：（2）最小相位系統例1

已知系統開環傳遞函數，和開環Nyquist圖，應用Nyquist判據判斷閉環系統的穩定性。

由于開環Nyquist軌跡順時針包圍(-1，j0)兩圈，且P=0，則閉環系統不穩定，且不穩定極點數Z=2。5.3.3開環含有積分環節情況

=+=-例2

系統的開環傳遞函數為

其開環Nyquist圖如下，判斷系統穩定性。曲線(2)為T4較大時，由于導前環節的正相位使Gk(j)過負實軸的頻率增加，系統開環Nyquist軌跡不包圍(-1,j0)點，系統穩定；5.3.3開環含有積分環節情況

曲線(1)為T4較小時，由于導前環節的正相位起作用的頻率較高，Gk(j)在較低頻率時即穿越負實軸，系統開環Nyquist軌跡順時針包圍(-1,j0)點兩圈，系統不穩定。|Gk(j)|隨頻率的增加而單調衰減。例3

單位反饋系統的開環傳遞函數為應用Nyquist判據判別閉環系統的穩定性。

系統閉環穩定。作系統開環Nyquist曲線，如圖。判斷開環穩定P=0；開環Nyquist曲線不包圍(-1,j0)點；5.3.3開環含有積分環節情況

＝0+：A(0+)＝∞,(0+)＝－180°＝：A()＝0,()＝－180°例4

系統的開環傳遞函數，繪制其Nyquist軌跡，并判別閉環系統的穩定性。T1<T2，Nyquist軌跡不包圍(-1,j0)點，系統穩定T1>T2，Nyquist軌跡順時針包圍（-1,j0）點2次（N=2），而P＝0，即Z=N+P=2系統閉環不穩定。5.3.3開環含有積分環節情況

課后作業教材186頁：5.9（1）、（2）

5.9（3）(選做題)（要求作出從-+Nyquist軌跡）5.3Nyquist穩定判據本節教學內容5.4.1Nyquist圖與Bode

圖的對應關系

5.4.2相位穿越的概念

5.4.3Bode穩定判據本節教學要求1.掌握Nyquist圖與Bode圖的對應關系2.熟悉Nyquist圖與Bode

圖的相位穿越的概念3.掌握用Bode判據分析系統穩定性的方法5.4

Bode穩定判據5.系統的穩定性5.4.1Nyquist圖與Bode圖的對應關系相連(v

為開環積分環節的數目)起始點

(0+)

Nyquist曲線的輔助線:(0+)+v90°線Nyquist圖Bode圖單位圓0分貝線單位圓以外

L()>0的部分單位圓內部

L()<0的部分負實軸-180°線5.4.1Nyquist圖與Bode圖的對應關系穿越頻率幅值穿越頻率cNyquist圖：Nyquist軌跡與單位圓的交點頻率。Bode圖：對數幅頻特性與0dB線的交點頻率。相位穿越頻率g

Nyquist圖：

Nyquist軌跡與負實軸交點的頻率。Bode圖：對數相頻特性與-線的交點頻率。

GHImRe0(－1,j0)cg3g2g1=0-+→∞20lg|GH|/dB0-180°∠GHωg1ωcωg2ωg300Nyquist軌跡相位穿越——

開環奈氏軌跡在(-1,j0)點以左穿過負實軸，有正穿越:沿頻率增加的方向，開環奈氏軌跡自上而下穿過負實軸；負穿越:沿頻率增加的方向，開環奈氏軌跡自下而上穿過負實軸；半次穿越:沿頻率增加的方向，開環奈氏軌跡自負實軸向下(向上)稱為半次正(負)穿越（即G(j)H(j)軌跡起始或終止于(-1,j0)點以左的負實軸）。5.4.2相位穿越的概念正1次負1次正1/2次正2次負1次負1/2次Nyquist判據的穿越法——

當由0變化到+∞時，Nyquist軌跡在（-1,j0）點左邊實軸上的正負穿越次數之差等于P/2時（P為系統開環右極點數），閉環系統穩定；否則閉環系統不穩定。5.4.2相位穿越的概念開環不穩定，閉環穩定P=0P=2開環穩定，閉環穩定正穿越：對應于對數相頻特性曲線當增大時，從下向上穿越-180°線(相角滯后減小)。負穿越：對應于對數相頻特性曲線當增大時，從上向下穿越-180°線(相角滯后增大)。

Bode圖的相位穿越5.4.2相位穿越的概念5.4.3Bode穩定判據

Bode判據——若系統開環傳遞函數有P個位于右半s平面的特征根，則當在L()>0的所有頻率范圍內，對數相頻特性曲線()(含輔助線)與-180°線的正負穿越次數之差等于P/2時，系統閉環穩定；否則，閉環不穩定。()自上而下()自下而上負穿越()自下而上()

自上而下正穿越對數值L()>0范圍內相頻(j)穿越-線G(j)H(j)穿過負實軸(-1~-)段Bode判據與Nyquist判據的對應關系例15.4.3Bode穩定判據開環特征方程有兩個右根P=2,正負穿越數之差-1——閉環不穩定.P=2開環特征方程無右根P=0,正負穿越數之差0——閉環穩定。P=0開環特征方程有兩個右根P=2,正負穿越數之差為+1，所以

閉環穩定.P=2開環特征方程無右根P=0，L()>0范圍內()和-線不相交即正負穿越數之差為0——閉環穩定。例2

已知系統開環傳遞函數和Bode圖如下，分析系統的閉環穩定性。5.4.3Bode穩定判據0.20.850200開環穩定系統的Bode判據——

特別地，當P=0(開環系統穩定)時，Bode判據可簡述如下：c<g

閉環系統穩定;c=g

閉環系統臨界穩定;c>g

閉環系統不穩定。5.4.3Bode穩定判據GHImReoGK(j)cgGHImReoGK(j)cgGHImReoGK(j)cg開環穩定系統Bode判據與Nyquist判據的對應關系十分明顯，該判據的正確運用是本節必須要掌握的內容.說明：若有多個c，則取最大的c

進行判斷。5.4.3Bode穩定判據上圖中，對c3而言，因為c3<g，則系統閉環穩定.

-1020lg|GH|dB010

c3

-180°∠GH0°

c1

c2

g5.5

系統的相對穩定性5.系統的穩定性本節教學內容5.5.1系統的相對穩定性

5.5.2系統的穩定裕量本節教學要求1.了解系統相對穩定性的概念2.掌握判斷系統相對穩定性的方法5.5.1系統的相對穩定性系統的相對穩定性

——

指系統穩定、不穩定的程度，或系統穩定性的好壞。可以用系統閉環極點至虛軸的距離來描述，也可用系統開環Nyquist軌跡與（-1,j0）點的靠近程度來反映。特征方程最近虛軸的根至虛軸的距離越大，系統穩定性越好。（虛軸是系統穩定與不穩定的邊界.）(-1,j0)在[GH]平面上，G(j)H(j)軌跡不包圍(-1，j0)點，且離(-1，j0)點越遠，系統的穩定性越好。相位裕度

——

在幅值穿越頻率c上系統達到穩定邊界所需要的附加相位滯后量：5.5.2系統的穩定性裕量穩定系統不穩定系統正相位裕度