空氣動力學基礎沈陽航空航天大學航空航天工程學院飛機設計教研室2014年3月第2章（補）粘性流體動力學簡介粘性流體動力學基礎流體的粘性及其對流動的影響雷諾實驗、層流與湍流粘性流體的應力狀態廣義牛頓內摩擦定理（本構關系）粘性流體運動方程---Navier-Stokes方程工程中遇到的問題大多是粘性流體運動問題，實際的粘性流體運動現象遠比理想流復雜，從而控制粘性流體運動的基本方程及其求解也相對復雜本章（補）的任務是：介紹粘性流體運動的基本概念、流動現象和流動特征建立控制粘性流體運動的基本方程得到解決粘性流體運動問題的基本思路、方法和途徑（一）流體的粘性及其對流動的影響

流體的粘滯性是指，流體在運動狀態下抵抗剪切變形能力。流體的剪切變形是指流體質點之間出現相對運動。因此流體的粘滯性是指抵抗流體質點之間的相對運動能力。在靜止狀態下，流體不能承受剪力。但是在運動狀態下，流體可以承受剪力，而且對于不同種流體所承受剪力大小是不同的。自然界中流體都具有粘性，因此粘性對流體運動的影響是普遍存在的。對于具體的流動問題，粘性所起的作用并不一定相同。特別是象水和空氣這樣的小粘性流體，對于某些問題忽略粘性的作用可得到滿意的結果。因此為了簡化起見，提出了理想流體的概念和理論。然而對于實際的流動，粘性對流動的影響是如何體現的？粘性流動的特點是什么？（一）流體的粘性及其對流動的影響我們首先回顧一下在緒論中曾經提到過的幾個與粘性流體運動有關的基本現象和問題：為什么麻面的高爾夫球比光球打得更遠？（一）流體的粘性及其對流動的影響為什么自行車運動員要戴一個圓頭尖尾的帽子？能否反過來戴成尖頭圓尾，或做成尖頭尖尾？為什么汽車的阻力主要取決于汽車后部而不是前部？為什么汽車和飛機作高速運行時，我們在功率（燃料消耗）上必須付出與速度增加不成比例的超乎想象的高代價？為什么空氣阻力是速度的最終限制？（一）流體的粘性及其對流動的影響

以下用若干流動事例說明粘性流動與無粘流動的差別。（1）繞過平板的均直流動理想流流過無厚度平板時的流動特點：

不允許流體穿透平板（不穿透條件）允許流體質點滑過平板平板對流動不產生任何影響，平板對流動無阻滯作用，平板阻力為零粘性流體流過無厚度平板時的流動特點：不允許流體穿透平板（滿足不穿透條件）不允許流體在平板上滑移（滿足不滑移條件，由于粘性，緊貼板面的流體質點粘附在平板上與板面無相對運動）（一）流體的粘性及其對流動的影響與物面的粘附條件（無滑移條件）是粘性流體運動有別與理想流體運動的主要標志。隨著離開板面的距離加大，與物面的強粘性作用逐步向外層傳遞，直至流層間不存在速度差別。平板附近速度梯度很大，流層之間的粘性切應力不能忽略，這個區稱為邊界層區。平板對流動起阻滯作用，平板阻力不為零。（一）流體的粘性及其對流動的影響（2）圓柱繞流理想流體繞流圓柱時的流動特點：在流體質點繞過圓柱的過程中，只有動能、壓能的相互轉換，而無機械能的損失。在圓柱面上壓強分布對稱，無阻力存在。（達朗貝爾疑題）（一）流體的粘性及其對流動的影響粘性流體繞圓柱時的繞流特點：邊界層分離機械能損失:物面近區由于粘性將產生邊界層，由A點到B點的流程中將消耗部分動能用于克服摩擦阻力做功喪失部分機械能的邊界層流動無法滿足由B點到D點壓力升高的要求，在BD流程內流經一段距離就會將全部動能消耗殆盡（一部分轉化為壓能，一部分克服摩擦阻力做功），于是在壁面某點速度變為零（S點）。流體將從這里離開物面進入主流場中，這種現象稱為邊界層分離，S點稱為分離點。分離點下游流體發生倒流，形成了旋渦區。（一）流體的粘性及其對流動的影響旋渦區的出現，使得圓柱壁面壓強分布發生了變化，前后不對稱（如前駐點的壓強要明顯大于后駐點的壓強），因此出現了壓差阻力。對繞圓球的粘性流動不僅存在摩擦阻力，還存在壓差阻力，壓差阻力是由于邊界層分離后壓強不平衡造成的，但本質上仍然是由于粘性造成的。（一）流體的粘性及其對流動的影響粘性對流動的影響小結：（1）粘性摩擦切應力及其與物面的粘附條件（無滑移條件）是粘性流體運動有別與理想流體運動的主要標志。（2）粘性是產生摩擦阻力的根本原因，粘性邊界層在一定條件（逆壓梯度）下產生分離是形成壓差阻力的根本原因。（3）對于研究阻力、邊界層及其分離、旋渦的擴散等問題時，粘性起主導作用不能忽略。（一）流體的粘性及其對流動的影響（一）流體的粘性及其對流動的影響粘性流體抵抗剪切變形的能力，可通過流層間的剪切力表現出來（這個剪切力稱為內摩擦力）。粘性流體在流動過程中必然要克服內摩擦力做功，因此流體粘滯性是流體發生機械能損失的根源。牛頓的內摩擦定律（Newton，1686年）

F=μAU/h

FhU（一）流體的粘性及其對流動的影響流層之間的內摩擦力與接觸面上的壓力無關。設表示單位面積上的內摩擦力（粘性切應力），則μ-----流體的動力粘性系數（單位：Ns/m2=Pa.s）=μ/---流體的運動粘性系數（單位：m2/s

）水=

1.13910-6(m2/s)空氣=1.46110-5(m2/s)（一）、流體的粘性及其對流動的影響一般流層速度分布不是直線，如圖所示。

y

u0

du/dy----表示單位高度流層的速度增量，稱為

速度梯度

速度梯度du/dy物理上也表示流體質點剪切變形速度或角變形率。如圖所示：u+du

dy

du

dudt

（一）、流體的粘性及其對流動的影響

流體切應力與速度梯度的一般關系為：1.=0+μdu/dy，binghan流體，泥漿、血漿、牙膏等2.

=μ（du/dy）0.5，偽塑性流體，尼龍、橡膠、油漆等3.

=μdu/dy

，牛頓流體，水、空氣、汽油、酒精等4.

=μ(du/dy)2，脹塑性流體，生面團、濃淀粉糊等5.＝0，μ＝0，理想流體，無粘流體。1234（一）、流體的粘性及其對流動的影響雷諾（OsborneReynolds，1842~1921，英國工程師兼物理學家，維多利亞大學（曼徹斯特）教授）最早詳細研究了管道中粘性流體的流動狀態及其影響因素。（二）雷諾實驗、層流與湍流層流湍流加大流速或減小粘性時H＝C甘油和水的混合液，可變混合比例流態從層流到湍流的過渡稱為轉捩。實驗表明流態的轉捩不是單單取決于某一個流動參數V,μ等，而是取決于無量綱的相似組合參數雷諾數，記為Re：在非管道流動中也存在層流與湍流這兩種不同的流態，從層流到湍流的轉捩也與雷諾數大小有關（二）雷諾實驗、層流與湍流雷諾數之所以對粘性流體運動的流態及其他相關特性起著重要作用，在于雷諾數具有很明顯的物理意義。實驗發現，隨著雷諾數增加而呈現的不同流態(層流或湍流)對于流動的摩擦阻力、流動損失、速度分布等影響很大。雷諾數的物理意義：雷諾數代表作用在流體微團上的慣性力與粘性力之比。（二）雷諾實驗、層流與湍流雷諾數正比于慣性力與粘性力之比的說明：

慣性力正比于質量乘加速度：

～ρV2L2粘性力正比于剪應力乘面積：

～μVL因此慣性力與粘性力之比正比于：～（二）雷諾實驗、層流與湍流大型民航客機的飛行雷諾數可達上百萬至幾千萬（106～107）了解雷諾數的物理意義可幫助我們判斷一個流動中何種因素占主導作用，但要注意不要將雷諾數的絕對數值等同于慣性力與粘性力的絕對比值（二）雷諾實驗、層流與湍流日本設計的機械蜻蜓俄羅斯設計的機械蜻蜓美國設計的機械蒼蠅

微型飛行器的飛行雷諾數只有幾百到幾萬的量級（102～104）（二）雷諾實驗、層流與湍流空氣中的懸浮塵埃其運動雷諾數則更低甚至可以小于1需要再次強調：雷諾數代表慣性力與粘性力之比只是宏觀量級上的比例關系，根據雷諾數的大小可以判斷流動中何種因素占主導作用，但絕不能認為Re=1表示流動的慣性力與粘性力剛好相等。（二）雷諾實驗、層流與湍流

管中層流與湍流的對比拋物線分布

對數分布層流Re<2100湍流Re>4000（二）、雷諾實驗、層流與湍流>10000(2300,10000)(100,2300)（二）、雷諾實驗、層流與湍流SmokePatternBasicAerodynamics管道中層流與湍流的區別層流

湍流1.Re2.外觀3.質量與動量交換4.速度分布5.損失6.剪應力較大流動紊亂、不規則，外表粗糙在縱向和橫向存在較大的微團宏觀質量、動量交換平均速度是較飽滿的對數分布，壁面附近速度和梯度相對較大隨Re增加轉捩時損失增加牛頓應力及雷諾應力較小色線規則，流動分層，外表光滑流層間只限于分子間的較小的擴散較尖瘦的拋物線分布，壁面附近速度和梯度都相對較小隨Re增加而降低牛頓應力雷諾數對流動影響的進一步舉例雷諾數不同使得射流流態及其混合狀況根本不同：雷諾數不同使得機翼的邊界層流態、速度分布、壓力分布、升力特性和阻力特性根本不同斯托克斯阻力定律：高雷諾數時物體受到的流動阻力正比于:ρV2L2

低雷諾數時物體受到的流動阻力正比于:μVL

甘油甘油與水的混合液水Re=0.051020030001、理想流體和粘性流體作用面受力差別靜止或理想流體內部任意面上只有法向力，無切向力粘性流體內部任意面上力既有正向力，也有切向力（三）粘性流體的應力狀態在粘性流體運動中，過任意一點任意方向單位面積上的表面力不一定垂直于作用面，可分解為法向應力和切向應力如果作用面的法線方向與坐標軸重合，則合應力可分解為三個分量，分別為法應力分量和切應力分量2、粘性流體中的應力狀態（三）粘性流體的應力狀態從而三個面的合應力可表示為

x面

:y面:z面:由此可見，用兩個下標可把各個應力分量的作用面方位和投影方向表示清楚。其中第一個下標表示作用面的法線方向，第二個下標表示應力分量的投影方向。如果在同一點上給定三個相互垂直坐標面上的應力，那么過該點任意方向作用面上的應力可通過坐標變換唯一確定。（三）粘性流體的應力狀態上述九個應力分量可寫為：這九個應力分量并不全部獨力，其中的六個切向應力是兩兩相等的，所以獨立的一共是三個法向的，三個切向的。這個結論可利用對微元六面體的動量矩定理得到證明，思路是：一對剪應力對微元產生的力矩將與徹體力力矩和微元質量的動量矩平衡，而后二者都正比于微元的體積乘以微距離，是一個高階小量可略去，從而得到這一對剪應力相等。注：有的教材將法向應力記為:（三）粘性流體的應力狀態關于應力的幾個要點：（1）在理想流體及靜止流體中不存在切應力，三個法向應力相等（各向同性），等于該點壓強的負值。即：（2）在粘性運動流體中，任意一點的任何三個相互垂直面上的法向應力之和為一個不變量，并定義此不變量的平均值為該點的平均壓強的負值。即：（3）在粘性運動流體中，任意面上的切應力一般不為零。（三）粘性流體的應力狀態Stokes（1845年）根據牛頓內摩擦定理的啟發（粘性流體作直線層狀流動時，層間切應力與速度梯度成正比），在一些合理的假設下將牛頓內摩擦定律進行推廣，提出廣義牛頓內摩擦定理----應力應變率關系（本構關系）：這個關系將六個應力與微團的變形率直接聯系（線性關系）。滿足上述關系的流體稱為牛頓流體。（四）廣義牛頓內摩擦定理（本構關系）對于不可壓縮流體，上述應力應變率關系可化簡為：（四）廣義牛頓內摩擦定理（本構關系）本構關系滿足：1、流體運動的基本方程

利用牛頓第二定律推導以應力形式表示的流體運動微分方程。像推導歐拉方程一樣，在流場中取一個微元六面體進行分析，以x方向為例，建立運動方程。現在由于是粘性流體，作用在中心P點處不僅有法向應力，而且還有切向應力，控制面上的應力可用中心點處應力泰勒召開表示。作用在ABCD和A’B’C’D’兩個側面的法向力差是：作用在ABB’A’和CDC’D’兩個側面的切向力差是：（五）粘性流體運動方程---Navier-Stokes方程作用在ADA’D’和BCB’C’兩個側面的切向力差是：仍然設單位質量徹體力分量為：fx,fy,fz,按照牛頓第二定律：是歐拉法表示的加速度或速度的物質導數。（五）粘性流體運動方程---Navier-Stokes方程或：同理：將反映粘性應力與應變率關系的廣義牛頓內摩擦定理代入上式右端，即得到粘性流動的運動方程N-S方程：（五）粘性流體運動方程---Navier-Stokes方程其中是拉普拉斯算子：可見，對于理想流右端的粘性項為零，方程化為歐拉方程。（五）粘性流體運動方程---Navier-Stokes方程當不可壓時，根據連續方程：則不可壓粘流的N-S方程寫為：（五）粘性流體運動方程---Navier-Stokes方程用三個方向的單位向量i、j、k分別乘上三式并相加，可得不可壓粘流N-S方程比較簡捷的向量形式：其中為速度分量

為哈密頓算子

為拉普拉斯算子（五）粘性流體運動方程---Navier-Stokes方程

與之前一樣，這個方程中速度的隨體導數可以加以分解，把渦量分離出來，寫成格羅米柯形式的方程也稱為蘭姆型方程。這樣有利于研究流體的有旋性：（五）粘性流體運動方程---Navier-Stokes方程事實上速度隨體導數中遷移加速度項也可以直接應用向量導數運算公式得到：定常、不可壓、徹體力有勢時格羅米柯方程可化為：N-S方程的重要性2、伯努利(Bernoulli)積分

伯努利家族（瑞士）前后四代，數十人，形成歷史上罕見的數學大家族。其中，Bernoulli,Nocholas(尼古拉斯.伯努利，1623-1708），瑞士伯努利數學家族第一代。Bernoulli,Johann（約翰.伯努利，1667-1748

），伯努利數學家族第二代，提出著名的虛位移原理。Bernoulli,Daniel（丹尼爾.伯努利，1700-1782），伯努利數學家族第三代，Johann.伯努利的兒子，著有《流體動力學》（1738），將微積分方法運用到流體動力學中，提出著名的伯努利方程。（五）粘性流體運動方程將定常、不可壓、徹體力為重力（Ω=gy）條件下的格羅米柯方程沿流線投影得：（五）粘性流體運動方程上式與第二章中得到的有粘性損失一維能量方程形式相同。其中為單位質量流體所具有的機械能，是從1－2流動過程中粘性力做功使每單位質量流體損失的能量。寫為高度量綱：如果令:方程變為:沿著同一條流線積分，得到：（五）粘性流體運動方程

上式說明，在粘性流體中，沿同一條流線上無論勢能、壓能和動能如何轉化，總機械能是沿程減小的，總是從機械能高的地方流向機械能低的地方，不能保持守恒，減小的部分代表流體質點克服粘性應力做功所消耗的能量。粘性流體運動一般性質：（1）運動的有旋性；（2）能量的耗損性；（3）渦旋的擴散性由于N-S方程為二階非線性偏微分方程組，準確解為數甚少，只有在一些簡單的問題中才能實現：如兩無限大平行平板間的定常流動（庫特流）；圓管內的的定常流動；兩同心旋轉圓柱間的定常流動等等。（五）粘性流體運動方程下圖是理想流和粘流沿流線（管）的能量關系幾何意義對比。

（五）粘性流體運動方程應該指出，由于粘性流體必然存在剪切層是有旋的，上述對N-S方程的積分只能沿流線成立。y1y2H1H2靜力水頭線總水頭線12yxhw12y1y2H1H2靜力水頭線總水頭線12yx理想流粘性流1122例：進出口面積相等高度相同的管道,體積流量Q=30m3/s,測得兩端壓降為p1-p2=5kpa,求流動的粘性損失功率N損

解：設流動定常、一維，由N-S方程的伯努利積分：得從1-2每單位質量流體損失的能量為：則1-2的損失功率為：(注：上述管道圍起來可看成風洞的一段，因此1-2壓差可看成由風扇提供用于克服管道損失，故所求即風扇功率，可由風扇兩端的有機械功輸入的能量方程驗證。)N－S方程為非線性偏微分方程，它的求解一般需要借助計算機用數值方法求解。而在一些簡單的粘流問題上，N－S方程也有解析解。例：求解二維平行壁之間的不可壓粘性流動，二壁固定。2bxy解:設流動定常，徹體力可略。二維不可壓N–S方程寫為：3.N-S方程的解析解舉例*（五）粘性流體運動方程---N-S方程的解析解舉例*由于，第二個方程化為：即在流動橫截面壓強不變。又第一個方程化為：對y積分，注意到不是y的函數，對y積分時當常數看（五）粘性流體運動方程---N-S方程的解析解舉例*由邊界條件定常數C1

和C2：y=±b處，u=0，定得C1＝0，C2＝－b2/2，于是：即u

在y向作拋物線分布。中心點流速為：表明沿x軸是個負值，即壓強是逐步