一、靜定靜不定概念

1、靜定問題——僅用靜力平衡方程就能求出全部未知力，這類問題稱為靜定問題.

實質：未知力的數目等于靜力平衡方程的數目。2、靜不定問題——僅用靜力平衡方程不能求出全部未知力，又稱超靜定問題。實質：未知力的數目多于靜力平衡方程的數目。第六章簡單超靜定問題§6.1～§6.2概述及拉壓靜不定問題材料力學1中南大學土木工程學院3、靜不定次數：未知力數目與平衡方程數目之差，也是需要補充的方程數目。未知力：4個平衡方程：2個靜不定次數=4－2=2需要補充2個方程此結構可稱為2次靜不定結構材料力學2中南大學土木工程學院5、多余約束力：多余約束提供的約束力。

靜不定次數=多余約束力數目4、多余約束：結構保持靜定所需約束之外的約束，若沒有這些約束結構也能保持一定的幾何形狀。(靜定)材料力學3中南大學土木工程學院二、拉壓靜不定問題的解法

1、判斷靜不定次數；2、列靜力平衡方程；3、列幾何方程：反映各桿變形之間的幾何關系(變形協調方

程)，具體問題具體分析，一般通過“變形幾何圖”列方程。

特別注意：力與變形相對應！！

（即桿件的伸長或縮短必須與受力圖的桿件的拉壓對應）

4、列物理方程：變形與力的關系；5、列補充方程：物理方程代入幾何方程即得補充方程。

材料力學4中南大學土木工程學院2Dl2=Dl1+Dl32(Dl2+Dl1)=Dl3+Dl12(Dl2+Dl3)=Dl1+Dl3幾何方程圖示靜不定結構，可列如右變形圖。F剛體aa123（a）?l1?l2?l3（b）?l1?l2?l3（c）?l1?l2?l3材料力學5中南大學土木工程學院還可列出其它變形圖，但必須保證變形圖與受力圖一致。對應受力圖FFN1FN2FN3（b）FFN1FN2FN3（c）FFN1FN2FN3（a）（a）?l1?l2?l3（b）?l1?l2?l3（c）?l1?l2?l3材料力學6中南大學土木工程學院Dl3Dl2FABCD300300①②③l圖示支架承受力F作用，①桿的抗拉剛度為EA，②桿的抗拉剛度為1.5EA，③桿的抗拉剛度為2EA。求各桿的軸力。解：平衡方程為AFFN1FN2FN3變形協調方程ADl1300300300300300化簡得材料力學7中南大學土木工程學院物理關系為代入變形協調方程得補充方程聯立平衡方程求得求拉壓靜不定結構注意事項內力假設與變形假設應一致。內力假設受拉，變形只能假設伸長。內力假設受壓，變形只能假設縮短。材料力學8中南大學土木工程學院OAB為剛性梁，寫幾何方程。llF450①②OABlllFa①②OABlbCOAB為剛性梁，①、②兩桿材料相同，抗彎剛度相等，求兩桿軸力之比。Dl1Dl2Dl1材料力學9中南大學土木工程學院aaF450①②OABOAB為剛性梁，①、②兩桿材料相同，EA2=2EA1。求②桿與①桿的應力之比。Dl1Dl2解：變形協調關系即由物理關系建立補充方程，考慮對O取矩得平衡方程，聯立求出兩桿軸力，再求應力后得結果。小技巧材料力學10中南大學土木工程學院內力按剛度比分配。思考：靜定結構是否也是這樣？剛度較大內力較大靜不定結構的特點（1）FABCDFABC剛度增加內力不變材料力學11中南大學土木工程學院靜不定結構的特點（2）

——裝配應力ABCABCD靜定結構——無裝配應力靜不定結構？——產生裝配應力材料力學12中南大學土木工程學院解：因制造誤差，裝配時各桿必須變形，因此產生裝配內力。一次靜不定問題。幾何方程：Dl1＋Dl2

/cosq=d平衡方程：FN2=FN3FN1－2FN2cosq=0

已知三根桿EA相同，1桿有制造誤差d，求裝配后各桿的應力。dq123lABCDqDl1Dl2FN1AFN3FN2qq物理方程代入幾何方程得變形協調方程，結合平衡方程求得物理方程：注意1桿變形計算時用l材料力學13中南大學土木工程學院裝配應力是不容忽視的，如：d/l=0.001，E=200GPa，q=30°

s1=113MPa，s2=s3=－65.2MPa

正確注意：1桿伸長，只能是拉力，2、3桿縮短,應為壓力。FN1AFN3FN2qqFN1AFN3FN2qq不正確材料力學14中南大學土木工程學院圖示懸吊結構AB梁剛性，各桿EA相同，桿3短，求各桿裝配應力。l剛體123aadAB解：1、平衡方程FN1－FN2+FN3=0FN1=FN32、幾何方程Dl1Dl2Dl3即3、物理方程剛體aABFN3aFN1FN23桿用理論長度計算變形材料力學15中南大學土木工程學院4、補充方程補充方程與平衡方程聯立解得:變形協調關系平衡方程兩桿均為拉力，計算①桿伸長必須用理論長度，不用實際長度。AB為剛性梁，寫出所需方程。a2a450①②AdBCDl1Dl2材料力學16中南大學土木工程學院靜不定結構的特點（3）

——溫度應力ABC升溫ToC結構不因溫度變化產生內力ABCD升溫ToC結構會因溫度變化產生內力當溫度變化為

Dt=t2-t1時，桿件因溫度變化而產生的變形為：

式中：a——材料的線膨脹系數。

材料力學17中南大學土木工程學院解：受力圖如圖示（設二桿均受壓）圖示結構，EA及線膨脹系數a相同的兩桿①和②與剛體相連，當桿①溫度升高Dt度時，兩桿的內力和應力分別為多少？

①②l2lllAAFN1FN2FAxFAy列平衡方程SMA=0①桿在溫度影響下伸長，在軸力作用下縮短，②桿在軸力作用下縮短。剛體繞A轉動，變形幾何關系圖如圖示。qqDl1Dl2由圖可列出變形幾何關系方程

2Dl1=Dl2得結合平衡方程，求得材料力學18中南大學土木工程學院剛性梁AB懸掛于三根平行桿上。l=2m，a=1.5m，b=1m，c=0.25m，d=0.2m。1桿由黃銅制成，E1=100GPa，A1=2cm2，a1=16.5×10-6/0C。2和3桿由碳鋼制成，E2=E3=200GPa，A2=1cm2，A3=3cm2，a2=a3=12.5×10-6/0C，F=40kN。設溫度升高200C，求各桿的應力。l剛體123abdABcFFN2abdABcFFN1FN3解：平衡方程為FN1+FN2+FN3－F=0FN1a+Fc－FN3b=0變形協調方程為Dl1Dl2Dl3材料力學19中南大學土木工程學院物理方程為物理方程代入變形協調方程得補充方程，再聯立平衡方程求得：FN1=7.92kN，FN2=10.2kN，FN3=21.9kN由此求得應力為s1=39.6MPa，s2=102MPa，s3=73MPaFN2abdABcFFN1FN3Dl1Dl2Dl3材料力學20中南大學土木工程學院解:受力分析,建立平衡方程未知力偶矩－2個，平衡方程－1個，一次超靜定變形分析,列變形協調方程聯立求解方程(a)與(b)建立補充方程代入上式試求圖示軸兩端的約束力偶矩。§6.3扭轉超靜定問題材料力學21中南大學土木工程學院AB設有A、B兩個凸緣的圓軸，在力偶M的作用下發生了變形。這時把一個薄壁圓筒與軸的凸緣焊接在一起，然后解除M。設軸和圓筒的抗扭剛度分別是G1Ip1和G2Ip2，試求軸內和筒內的扭矩。MM解：由于筒與軸的凸緣焊接在一起，外加力偶M解除后，圓軸必然力圖恢復其扭轉變形，而圓筒則阻抗其恢復。這就使得在軸內和筒內分別出現扭矩T1和T2。設想用橫截面把軸與筒切開，因這時已無外力偶矩作用，平衡方程為T1T2T1-T2=0材料力學22中南大學土木工程學院焊接前軸在M作用下的扭轉角為MMjj2j1變形協調條件T1－T2=0材料力學23中南大學土木工程學院一、相當系統的建立

1、相當系統的特點：

靜定結構；含有多余約束力；主動力與原結構相同。

2、建立相當系統的步驟：

判斷靜不定次數；解除多余約束，代之以多余約束力；其余照原問題畫。

§6.4彎曲簡單超靜定問題材料力學24中南大學土木工程學院解：建立相當系統=處理方法：變形協調方程、物理方程與平衡方程相結合，求全部未知力。確定靜不定次數，用多余約束力代替多余約束所得到的靜定結構——原結構的相當系統。B畫出圖示靜不定結構的彎矩圖。qlAEIMAqlAEIB或FBqlAEIB幾何方程——變形協調方程物理方程——變形與力的關系材料力學25中南大學土木工程學院補充方程求解其它問題（應力、變形等）FBqlAEIB+=FBlAEIBqlAEIBM○BqlAEI彎矩圖材料力學26中南大學土木工程學院ABClldllABCd超靜定梁的裝配應力圖示三支座等截面梁，由于制造不精確，軸承有高低。已知梁的抗彎剛度EI及d和l，求兩種情況下的最大彎矩。BBdAClldFBllACFB解：各梁的相當系統如圖材料力學27中南大學土木工程學院懸臂梁AB，用短梁DG加固，試分析加固效果。P209，6-17解：1、靜不定分析2、加固效果分析最大彎矩減少62.5%與相比，減少39.1%Fl加固前加固后材料力學28中南大學土木工程學院懸臂梁同時受拉桿約束，試求桿BC的軸力。解：梁彎曲時的軸向變形一般忽略不計如考慮梁的軸向變形，如何求解?解除約束代約束力并考慮變形幾何關系。BB′DlCBDlABwB材料力學29中南大學土木工程學院梁AB和BC在B處鉸接，A、C兩端固定，梁的抗彎剛度均為EI，F=40kN，q=20kN/m。畫梁的剪力圖和彎矩圖。FB

FBwB1wB2解：解除B處約束代之以約束力，使超靜定結構變成兩個懸臂梁。變形協調方程為：物理關系物理關系代入變形協調方程得補充方程：材料力學30中南大學土木工程學院由此可以確定A端和C端的約束力。FAFCMCMAFS（kN）⊕71.258.7548.754.4375mM（kNm）12511517.51.91材料力學31中南大學土木工程學院長為l，剛度為EI的梁兩端固定，承受均布荷載作用，畫出梁的彎矩圖并求跨中的撓度。P208，6-15lqABC解：此結構為對稱結構承受對稱外力作用，所以在對稱軸處對稱內力(彎矩)不等于零，反對稱內力(剪力)等于零。對稱軸處對稱位移(撓度)不等于零，反對稱位移(轉角)等于零。于是相當系統如圖所示。l/2qACMCwC補充方程為跨中撓度為⊕○○M圖求得材料力學32中南大學土木工程學院解：相當系統如圖所示，其變形幾何關系為M圖P209，6-19高度為h的等截面梁兩端固定,支座B下沉D，求smax=?求得材料力學33中南大學土木工程學院lABqFAMA解：解除A端約束，并代之以約束力得到相當系統。變形協調方程為wA=0，qA=q。即聯立解得（）（）由