學業分層測評(建議用時：45分鐘)[學業達標]一、選擇題1．下列命題為存在性命題的是()A．奇函數的圖象關于原點對稱B．正四棱柱都是平行六面體C．棱錐僅有一個底面D．存在大于等于3的實數x，使x2－2x－3≥0【解析】A，B，C中命題都省略了全稱量詞“所有”，所以A，B，C都是全稱命題；D中命題含有存在量詞“存在”，所以D是存在性命題，故選D.【答案】D2．下列命題為真命題的是()A．?x∈R，cosx<2B．?x∈Z，log2(3x－1)<0C．?x>0,3x>3D．?x∈Q，方程eq\r(2)x－2＝0有解【解析】A中，由于函數y＝cosx的最大值是1，又1<2，所以A是真命題；B中，log2(3x－1)<0?0<3x－1<1?eq\f(1,3)<x<eq\f(2,3)，所以B是假命題；C中，當x＝1時，31＝3，所以C是假命題；D中，eq\r(2)x－2＝0?x＝eq\r(2)?Q，所以D是假命題．故選A.【答案】A3．有四個關于三角函數的命題：p1：?x∈R，sin2eq\f(x,2)＋cos2eq\f(x,2)＝eq\f(1,2)；p2：?x，y∈R，sin(x－y)＝sinx－siny；p3：?x∈[0，π]，eq\r(\f(1－cos2x,2))＝sinx；p4：sinx＝cosy?x＋y＝eq\f(π,2).其中為假命題的是()A．p1，p4 B．p2，p4C．p1，p3 D．p2，p3【解析】sin2eq\f(x,2)＋cos2eq\f(x,2)＝1恒成立，p1錯；當x＝y＝0時，sin(x－y)＝sinx－siny，p2對；當x∈[0，π]時，sinx≥0，∴eq\r(\f(1－cos2x,2))＝eq\r(sin2x)＝sinx，p3對；當x＝eq\f(2,3)π，y＝eq\f(π,6)時，sinx＝cosy成立，但x＋y≠eq\f(π,2)，p4錯．【答案】A4．有下列四個命題：①?x∈R,2x2－3x＋4>0；②?x∈{1，－1,0},2x＋1>0；③?x∈N，x2≤x；④?x∈N＋，x為29的約數．其中真命題的個數為()A．1 B．2C．3 D．4【解析】對于①，這是全稱命題，由于Δ＝(－3)2－4×2×4<0，所以2x2－3x＋4>0恒成立，故①為真命題；對于②，這是全稱命題，由于當x＝－1時，2x＋1>0不成立，故②為假命題；對于③，這是存在性命題，當x＝0或x＝1時，有x2≤x成立，故③為真命題；對于④，這是存在性命題，當x＝1時，x為29的約數成立，所以④為真命題．【答案】C5．已知a>0，函數f(x)＝ax2＋bx＋c，若x0滿足關于x的方程2ax＋b＝0，則下列選項的命題中為假命題的是()A．?x∈R，f(x)≤f(x0)B．?x∈R，f(x)≥f(x0)C．?x∈R，f(x)≤f(x0)D．?x∈R，f(x)≥f(x0)【解析】f(x)＝ax2＋bx＋c＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(b,2a)))2＋eq\f(4ac－b2,4a)(a>0)，∵2ax0＋b＝0，∴x0＝－eq\f(b,2a)，當x＝x0時，函數f(x)取得最小值，∴?x∈R，f(x)≥f(x0)，從而A，B，D為真命題，C為假命題．【答案】C二、填空題6．給出下列四個命題：①a⊥b?a·b＝0；②矩形都不是梯形；③?x，y∈R，x2＋y2≤1；④任意互相垂直的兩條直線的斜率之積等于－1.其中全稱命題是________.【導學號：25650010】【解析】由全稱命題的定義可知①②④為全稱命題，而③為存在性命題．【答案】①②④7．已知命題：“?x0∈[1,2]，使xeq\o\al(2,0)＋2x0＋a≥0”為真命題，則實數a的取值范圍是______________．【解析】當x∈[1,2]時，x2＋2x＝(x＋1)2－1是增函數，所以3≤x2＋2x≤8，由題意有a＋8≥0，∴a≥－8.【答案】[－8，＋∞)8．下列命題：①存在x<0，使|x|>x；②對于一切x<0，都有|x|>x；③已知an＝2n，bn＝3n，對于任意n∈N*，都有an≠bn；④已知A＝{a|a＝2n}，B＝{b|b＝3n}，對于任意n∈N*，都有A∩B＝?.其中，所有正確命題的序號為________．【解析】命題①②顯然為真命題；③由于an－bn＝2n－3n＝－n<0，對于?n∈N*，都有an<bn，即an≠bn，故為真命題；④已知A＝{a|a＝2n}，B＝{b|b＝3n}，如n＝1,2,3時，A∩B＝{6}，故為假命題．【答案】①②③三、解答題9．判斷下列全稱命題或存在性命題的真假．(1)?x∈R，x2＋1≥1；(2)有一個實數x，使得x2＋2x＋3＝0；(3)存在兩個相交平面垂直于同一條直線．【解】(1)?x∈R，總有x2≥0，因而x2＋1≥1，所以全稱命題“?x∈R，x2＋1≥1”是真命題．(2)由于?x∈R，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，因此使得x2＋2x＋3＝0的實數x不存在，所以存在性命題“有一個實數x，使得x2＋2x＋3＝0”(3)由于垂直于同一直線的兩個平面是互相平行的，因此不存在兩個相交平面垂直于同一條直線，所以存在性命題“存在兩個相交平面垂直于同一條直線”是假命題．10．若x∈[－2,2]，關于x的不等式x2＋ax＋3≥a恒成立，求a的取值范圍．【解】設f(x)＝x2＋ax＋3－a，則此問題轉化為當x∈[－2,2]時，f(x)min≥0即可．①當－eq\f(a,2)<－2，即a>4時，f(x)在[－2,2]上單調遞增，f(x)min＝f(－2)＝7－3a≥0，解得a≤eq\f(7,3).又因為a>4，所以a不存在．②當－2≤－eq\f(a,2)≤2，即－4≤a≤4時，f(x)min＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)))＝eq\f(12－4a－a2,4)≥0，解得－6≤a≤2.又因為－4≤a≤4，所以－4≤a≤2.③當－eq\f(a,2)>2，即a<－4時，f(x)在[－2,2]上單調遞減，f(x)min＝f(2)＝7＋a≥0，解得a≥－7.又因為a<－4，所以－7≤a<－4.綜上所述，a的取值范圍是{a|－7≤a≤2}．[能力提升]1．(2023·豫東、豫北十所名校聯考)已知函數f(x)＝|2x－1|，若命題“?x1，x2∈[a，b]且x1<x2，使得f(x1)>f(x2)”為真命題，則下列結論一定正確的是()A．a≥0 B．a<0C．b≤0 D．b>1【解析】函數f(x)＝|2x－1|的圖象如圖所示．由圖可知f(x)在(－∞，0)上為減函數，在(0，＋∞)上為增函數，∴要滿足?x1，x2∈[a，b]且x1<x2，使得f(x1)>f(x2)為真命題，則必有a<0，故選B.【答案】B2．下列命題中，既是真命題又是存在性命題的是()A．存在一個α，使tan(90°－α)＝tanαB．存在實數x，使sinx＝eq\f(π,2)C．對一切α，sin(180°－α)＝sinαD．sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ【解析】B是存在性命題，但為假命題，C是全稱命題，但為假命題，D為全稱命題且為假命題．【答案】A3．已知函數f(x)＝x2＋m，g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，若對任意x1∈[－1,3]，存在x2∈[0,2]，使f(x1)≥g(x2)，則實數m的取值范圍是________．【解析】因為對任意x1∈[－1,3]，f(x1)∈[m,9＋m]，即f(x)min＝m.存在x2∈[0,2]，使f(x1)≥g(x2)成立，只要滿足g(x)min≤m即可，而g(x)是單調遞減函數，故g(x)min＝g(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝eq\f(1,4)，得m≥eq\f(1,4).【答案】eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，＋∞))4．已知a>eq\f(1,2)且a≠1，條件p：函數f(x)＝log(2a－1)x在其定義域上是減函數；條件q：函數g(x)＝eq\r(x＋|x－a|－2)的定義域為R，如果p∨q為真，試求a的取值范圍.【導學號：25650011】【解】若p為真，則0<2a－1<1，得eq\f(1,2)<a<1.若q為真，則x＋|x－a|－2≥0對?x∈R恒成立．記