第二章點、直線、平面之間的位置關系章末歸納提升點、線、面的位置關系空間中直線與直線的位置關系包括相交、平行和異面三種位置關系，其中異面直線的判斷是學習的重難點之一；空間中直線與平面的位置關系包括直線在平面內、直線與平面平行及直線與平面相交三種位置關系，其中直線與平面相交及直線與平面平行統稱為直線在平面外，這是本章學習的易錯點之一；空間中平面與平面具有相交、平行兩種位置關系．另外學習中應體會公理1、2、3、4在處理點、線、面位置關系中的作用，掌握好“點共線”、“線共點”等問題的求解策略．如圖所示，空間四邊形ABCD中，E，F分別為AB，AD的中點，G，H分別在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.求證：(1)E、F、G、H四點共面；(2)EG與HF的交點在直線AC上．【思路點撥】(1)利用三角形的中位線性質及公理4證明EF∥GH便可．(2)先證明EG與HF相交，再說明交點落在平面ABC與平面ACD的交線上．【規范解答】(1)∵BG∶GC＝DH∶HC，∴GH∥BD.∵E，F分別為AB，AD的中點，∴EF∥BD，∴EF∥GH，∴E，F，G，H四點共面．(2)∵G，H不是BC，CD的中點，∴EF∥GH，且EF≠GH，故EFHG為梯形．∴EG與FH必相交，設交點為M，而EG?平面ABC，FH?平面ACD，∴M∈平面ABC，且M∈平面ACD.又∵平面ABC∩平面ACD＝AC，∴M∈AC，即GE與HF的交點在直線AC上．正方體ABCD－A1B1C1D1中，對角線A1C與平面BDC1交于點O，AC、BD交于點M.求證：點C1、O、【證明】如圖，因為A1A∥C1C，所以直線A1A，C1C確定平面因為O∈A1C，A1C?平面A1C，所以O∈平面因為平面BC1D∩直線A1C＝O，所以O∈平面BC1D所以O在平面A1C與平面BC1D因為AC∩BD＝M，所以M∈平面BC1D，且M∈平面A1C所以平面BC1D∩平面A1C＝C1M.所以O∈C1M.即O、C1、空間中的平行關系在本章中，空間中的平行關系主要是指空間中線與線、線與面及面與面的平行，其中三種關系相互滲透．在解決線面、面面平行問題時，一般遵循從“低維”到“高維”的轉化，即從“線線平行”到“線面平行”，再到“面面平行”；而利用性質定理時，其順序相反，且“高維”的性質定理就是“低維”的判定定理．特別注意，轉化的方法總是由具體題目的條件決定，不能過于呆板僵化，要遵循規律而不局限于規律．如下圖所示是平行關系相互轉化的示意圖．如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA.在線段PB上是否存在一點F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，請確定點F的位置；若不存在，請說明理由．【思路點撥】假設存在滿足條件的點F，由于平面AFC∥平面PMD，且平面AFPM與平面AFC、平面PMD分別交于直線AF、PM，則必有AF∥PM，又PB＝2MA，則點F是PB的中點．【規范解答】當點F是PB的中點時，平面AFC∥平面PMD，證明如下：如圖連接AC和BD交于點O，連接FO，那么PF＝eq\f(1,2)PB.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴O是BD的中點．∴OF∥PD.又OF?平面PMD，PD?平面PMD，∴OF∥平面PMD.又MA綊eq\f(1,2)PB，∴PF綊MA.∴四邊形AFPM是平行四邊形．∴AF∥PM.又AF?平面PMD，PM?平面PMD.∴AF∥平面PMD.又AF∩OF＝F，AF?平面AFC，OF?平面AFC.∴平面AFC∥平面PMD.已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F分別是AA1，CC1的中點．求證：平面EB1D1∥平面FBD.【證明】如圖，取BB1的中點G，連接EG，GC1.∵AC1是正方體，∴四邊形EGC1D1是平行四邊形，∴C1G∥ED1又∵四邊形GBFC1是平行四邊形，∴C1G∥BF，所以ED1∥BF∵ED1?平面FBD，BF?平面FBD，∴ED1∥平面FBD.又∵B1D1∥BD，∴B1D1∥平面FDB，且ED1∩B1D1＝D1，∴平面EB1D1∥平面FBD.空間中的垂直關系在本章中，空間中的垂直關系包括線與線的垂直、線與面的垂直及面與面的垂直，三種垂直關系是本章內容的核心，學習時要突出三者間的互化意識．如在證明兩平面垂直時一般從現有直線中尋找平面的垂線，若這樣的垂線不存在，則可通過作輔助線來解決．如有面面垂直時，一般要用性質定理，在一個平面內作交線的垂線，使之轉化為線面垂直，進一步轉化為線線垂直．如圖所示，在斜三棱柱A1B1C1-ABC中，底面是等腰三角形，AB＝AC，側面BB1C1C(1)若D是BC的中點，求證：AD⊥CC1；(2)過側面BB1C1C的對角線BC1的平面交側棱于點M，若AM＝求證：截面MBC1⊥側面BB1C【思路點撥】(1)由面面垂直的性質可證．(2)先證明C1N⊥側面BB1C1C，再證截面MBC1⊥側面【規范解答】(1)∵AB＝AC，D是BC的中點，∴AD⊥BC.∵底面ABC⊥平面BB1C1C，∴AD⊥側面BB1C1C.∴(2)延長B1A1與BM交于點N，連接C1N.∵AM＝MA1，∴NA1＝A1B1∵A1C1＝A1N＝A1B1，∴C1N⊥B1C1，∴C1N⊥側面BB∴截面MBC1⊥側面BB1C如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且邊長為a的菱形，側面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，若G為AD邊的中點．(1)求證：BG⊥平面PAD；(2)求證：AD⊥PB；(3)若E為BC邊的中點，能否在棱PC上找到一點F，使平面DEF⊥平面ABCD，并證明你的結論．【解】(1)證明：在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G為AD的中點，所以BG⊥AD.又因為平面PAD⊥平面ABCD.平面PAD∩平面ABCD＝AD.所以BG⊥平面PAD.(2)證明：連接PG，因為△PAD為正三角形，G為AD的中點，得PG⊥AD，由(1)知BG⊥AD，PG∩BG＝?平面PGB，BG?平面PGB.所以AD⊥平面PGB.因為PB?平面PGB，所以AD⊥PB.(3)解當F為PC的中點時，滿足平面DEF⊥平面ABCD.取PC的中點F，連接DE、EF、DF，在△PBC中，FE∥PB.在菱形ABCD中，GB∥DE，而FE?平面DEF，DE?平面DEF，EF∩DE＝E，所以平面DEF∥平面PGB，由(1)得PG⊥平面ABCD，而PG?平面PGB，所以平面PGB⊥平面ABCD.所以平面DEF⊥平面ABCD.空間角的求法1.空間中的角包括：異面直線所成的角、直線與平面所成的角以及二面角．空間角的題目一般都是各種知識的交匯點，因此，它是高考重點考查的內容之一，應引起足夠重視．2．求異面直線所成的角常用平移轉化法(轉化為相交直線的夾角)．3．求直線與平面所成的角常用射影轉化法(即作垂線、找射影)．4．二面角的平面角的作法常有三種：(1)定義法；(2)垂線法；(3)垂面法．如圖，正方體的棱長為1，B′C∩BC′＝O，求：(1)AO與A′C′所成角的度數；(2)AO與平面ABCD所成角的正切值；(3)平面AOB與平面AOC所成角的度數．【思路點撥】先找出(或作出)空間角的平面角，再用解三角形的辦法求其大?。疽幏督獯稹?1)∵A′C′∥AC，∴AO與A′C′所成的角就是∠OAC.∵OC⊥OB，AB⊥平面BCC′B′，∴OC⊥AB且AB∩BO＝B.∴OC⊥平面ABO.又OA?平面ABO，∴OC⊥OA.在Rt△AOC中，OC＝eq\f(\r(2),2)，AC＝eq\r(2)，sin∠OAC＝eq\f(OC,AC)＝eq\f(1,2)，∴∠OAC＝30°，即AO與A′C′所成角的度數為30°.(2)如圖，作OE⊥BC于E，連接AE，∵平面BCC′B′⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD，∴∠OAE為OA與平面ABCD所成的角．在Rt△OAE中，OE＝eq\f(1,2)，AE＝eq\r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(5),2)，∴tan∠OAE＝eq\f(OE,AE)＝eq\f(\r(5),5).(3)∵OC⊥OA，OC⊥OB，OA∩OB＝O，∴OC⊥平面AOB.又∵OC?平面AOC，∴平面AOB⊥平面AOC，即平面AOB與平面AOC所成角的度數為90°.AB⊥平面BCD，CD⊥CB，AD與平面BCD所成的角為30°，且AB＝BC.(1)求AD與平面ABC所成角的大??；(2)求二面角C—AD—B的余弦值．【解】(1)如圖所示，∵AB⊥平面BCD，∴∠ADB＝30°.∵DC⊥CB，AB⊥CD，∴DC⊥平面ABC，設AB＝BC＝a，則AC＝eq\r(2)a，BD＝eq\r(3)a，AD＝2a，在Rt△ACD中，cos∠CAD＝eq\f(AC,AD)＝eq\f(\r(2)a,2a)＝eq\f(\r(2),2).∴∠CAD＝45°.即AD與平面ABC所成的角為45°.(2)取AD的中點E，連接CE.∵△ACD為等腰直角三角形，AD為斜邊，∴CE⊥AD.又AB⊥平面BCD，AB?平面ABD.∴平面BCD⊥平面ABD，過點C作CF⊥BD于F，∴CF⊥平面ABD.連接EF，則EF⊥AD，則∠CEF為二面角C—AD—B的平面角，在Rt△CEF中，CE＝eq\f(1,2)AD＝a，EF＝a·tan30°＝eq\f(\r(3),3)a.∴cos∠CEF＝eq\f(EF,CE)＝eq\f(\r(3),3).即二面角C－AD－B的余弦值為eq\f(\r(3),3).等價轉化思想通過添加輔助線或面，將空間幾何問題轉化為平面幾何問題，這是一種降維轉化思想．線線、線面、面面的位置關系可以相互轉化，使它們建立聯系，揭示本質．點面距、線面距、面面距、點線距之間也可相互轉化．例如求點面距時，可沿平行線平移，找到一個合適的點求點面距離，這就體現了“點面距→線面距→點面距”的轉化思想．如圖所示，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝2eq\r(3)，沿對角線BD將△ABD折起，使點A移至點P，P在平面BCD內的射影為O，且O在DC上．(1)求證：PD⊥PC；(2)求二面角P－DB－C的平面角的余弦值．【思路點撥】(1)證明PD⊥PC，可以轉化為證線面垂直．(2)求二面角時，一般是在棱上找一特殊點，在兩個半平面內分別作棱的垂線，兩垂線的夾角即為二面角．但這里我們可轉化為求兩個面積的比，即求eq\f(S△BOD,S△PBD)，求得的值即為所求二面角的余弦值．【規范解答】(1)P在平面BCD內的射影為O，則PO⊥平面BCD，∵BC?平面BCD，∴PO⊥BC.∵BC⊥CD，CD∩PO＝O，∴BC⊥平面PCD.∵DP?平面PCD，∴BC⊥DP.又∵DP⊥PB，PB∩BC＝B，∴DP⊥平面PBC.而PC?平面PBC，∴PD⊥PC.(2)△PBD在平面BCD內的射影為△OBD，且S△PBD＝eq\f(1,2)×6×2eq\r(3)＝6eq\r(3)，S△OBD＝S△CBD－S△BOC＝6eq\r(3)－eq\f(1,2)×2eq\r(3)×OC.在Rt△DPC中，PC2＝DC2－DP2＝24.設OC＝x，則OD＝6－x，∴PC2－OC2＝DP2－DO2，即24－x2＝12－(6－x)2.解得x＝4.∴S△BOD＝6eq\r(3)－4eq\r(3)＝2eq\r(3).過點P作PQ⊥DB，連接OQ，則DB⊥平面OPQ，∴∠OQP即為二面角P－DB－C的平面角，∴cos∠OQP＝eq\f(S△BOD,S△PBD)＝eq\f(2\r(3),6\r(3))＝eq\f(1,3).如圖所示，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面邊長為2eq\r(2)，側棱長為4，E，F分別為棱AB，BC的中點，EF∩BD＝G.(1)求證：平面B1EF⊥平面BDD1B1；(2)求點D1到平面B1EF的距離．【解】(1)證明：連接AC.∵正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是正方形，∴AC⊥BD.又AC⊥DD1，且BD∩DD1＝D，故AC⊥平面BDD1B1，∵E，F分別為棱AB，BC的中點，故EF∥AC，∴EF⊥平