利用圖解法求得線性規劃問題的最優解一、課前準備1、課時目標：（1）知識與技能：掌握線性規劃問題的圖解法，并能應用它解決一些簡單的實際問題；（2）過程與方法：經歷從實際情境中抽象出簡單的線性規劃問題的過程，提高數學建模能力；（3）情態與價值：引發學生學習和使用數學知識的興趣，發展創新精神，培養實事求是、理論與實際相結合的科學態度和科學道德.2、基礎預探：（1）在求可行域的過程中，對于線性約束條件，用的系數的符號比用點的坐標代入來的更快捷.當時，不等式表示的區域是直線的_______________；不等式表示的區域是直線的__________，當時，不等式表示的區域是直線的________；不等式表示的區域是直線的____________.（2）求線性目標函數的最大值或最小值，首先做出直線，再將該直線_________移動，使直線和可行域有公共點，再觀察在可行域中使或最大或最小時所經過的點，該點的坐標就是__________解.二、基本知識習題化1、點和在直線的兩側，則的取值范圍是（）A．或B．或C．D．2、不等式組表示的平面區域面積是（）A．28B．16C．D．1213、已知實數滿足則的最大值為______________4、已知滿足條件則的最大值為_________三、學習引領最優整數解問題，就是在有些線性規劃問題中，變量要求取整數，因此其最優解也必須為整點，解答這類問題可以先解決一般的線性規劃問題（不考慮整數），再在可行域內適當調整，從而確定最優整數解即可.四、典例導析：例1、某工廠制造甲、乙兩種產品，已知制造甲產品1kg要用煤9噸，電力4kw，勞力（按工作日計算）3個；制造乙產品1kg要用煤4噸，電力5kw，勞力10個.又知制成甲產品1kg可獲利7萬元，制成乙產品1kg可獲利12萬元.現在此工廠只有煤360噸，電力200kw，勞力300個，在這種條件下應生產甲、乙兩種產品各多少千克，才能獲得最大經濟效益？思路導析：設未知量，建立目標函數，根據平面區域求最值.解：設此工廠應生產甲、乙產品kg,kg，利潤萬元，則依題意可得約束條件：利潤目標函數為作出不等式組所表示的平面區域，即可行域（如圖），作直線，把直線向右上方平移至位置時，直線經過可行域上的點時，此時取得最大值.解方程組得點的坐標為所以應生產甲20千克、乙產品24千克，才能獲得最大經濟效益變式練習1、某糕點廠生產高檔蛋糕和普通面包，生產高檔蛋糕1千克分別需要面粉100克、糖200克、雞蛋300克，生產普通面包分別需要面粉300克、糖200克、雞蛋100克.現已在庫存量面粉為15千克，糖12千克，雞蛋15千克，若在此基礎上進行生產，請列出滿足生產條件的數學關系式，并畫出相應的平面區域.例2、某人有樓房一幢，室內面積共計180，擬分割成兩類房間作為旅游客房.大房間每間面積為18，可住游客5名，每名游客每天住宿費40元；小房間每間面積為13，可住游客3名，每名游客每天住宿費50元；裝修大房間每間需要1000元，裝修小房間每間需要600元.如果他只能籌款8000元用于裝修，且游客能住滿客房，他應隔出大房間和小房間各多少間才能獲得最大收益？思路導析：按線性規劃問題的步驟.解：設隔出大房間間，小房間間，收益為元，則滿足且作出可行域如圖作出直線即，平行移動，當到達點時（記為），的縱截距最大，解得，但，所以不是最優解，于是將從向左下方平移，平移過程中，最早經過可行域的整點可能為，,它們對應的值一次為36,34,35,36,34,35,33,31,32分別與50的乘積.所以當經過和時，取得最大值，所以應隔出小房間12間，或大房間3間，小房間8間，可以獲得最大利潤.規律總結：最優解不一定都在邊界上，如果要求的最優解是可行域中的整數解，且直觀上不易確定最優解，那么在求得非整數解后，可以在其附近按可行域中的最優解應滿足的必要條件對的取值一一列舉.由邊界直線方程分別求得對應的最大（或最新）整數值，再代入目標函數分別計算并比較大小，如能適當推理估計，則過程更簡.變式練習2、經調查，某高校兩個專業擬招收新生.已知專業招收100名新生需配備教師：教授1人，副教授4人；專業招收100名新生需配備教師：教授1人，副教授2人.專業新生每年的學費為6000元；專業新生每年的學費為5000元.這所高校為兩個專業配備的教師確定為：教授不超過5人，副教授不超過16人.問兩個專業每年從這兩個專業的新生中招收多少名新生收繳的學費最多？例3、已知，,求的最大值和最小值.思路導析：要求的最值，可令，則為斜率為-1的平行直線系在軸上的截距，將已知條件轉化為不等式組，作出平面區域（可行域）解：設，題設條件可轉化為作出它們在平面直角坐標系內圍成的區域如圖所示，則為斜率為-1的平行直線系在軸上的截距.當直線往右平移時，隨之增大，經過不等式組所表示的平面區域的點時，取最小值，即；當直線經過點時，取最大值，即.所以的最大值和最小值分別是18和4.規律總結：這類問題的解題思路是在直角坐標平面內，根據條件確定平面區域，并將最值問題轉化為直線在坐標軸上的截距問題來解決.變式練習3、已知實數滿足則的取值范圍是_______________五、隨堂練習：1、設變量滿足約束條件則目標函數的最小值為（）Ａ．6Ｂ．-6Ｃ．10Ｄ．-102、設變量滿足約束條件則目標函數的最小值為（）3、設變量滿足約束條件則目標函數的最小值為（）A．2B．3C．4D．94、設變量滿足約束條件則目標函數取得最大值的最優解為5、設變量滿足約束條件則目標函數的最小值為6、設變量滿足約束條件則目標函數的最大值和最小值為？ 六、課后作業：1、設變量滿足約束條件則的最大值為（）A-1B1C2D-22、設點，其中，滿足的點的個數是（）A．10B．9C．3D．無數個3、若變量滿足約束條件則的取值范圍為4、設變量滿足約束條件則目標函數取得最大值的點的坐標是___________5、變量滿足約束條件則的最小值為？6、寫出滿足不等式組的解集.答案：一．2.（1）上方，下方，下方，上方（2）平行，最優二．1C解析：由題意知，即，2．B解析：依題意作出可行域如圖，因為直線與直線垂直，所以為直角三角形，易得，，，解析：作出可行域如圖，令=0，則，當移動直線過圖中的點時，取得最大值，解方程組，得，代入，得4．5解析：依題意作圖，，即，交點，，所以過點時取最大值為5.四．變式訓練1：解析：設設高檔蛋糕和普通面包應各生產千克和千克，則所滿足的數學關系式為即分別畫出不等式組中各不等式所表示的區域，然后取交集.如圖所示的平面區域（陰影部分）就是不等組所表示的 區域.變式訓練2：設專業招收新生人，專業招收新生人，每年收繳的學費為元，則，作出可行域如圖，做直線，即，把直線向右上方平移至的位置時，直線經過可行域上的點，這時取得最大值，解方程組得點的坐標為（3,2）把代入得元。變式訓練3解析：依題意作出可行域如圖，直接求出各直線交點，再求五．解析：只需畫出線性規劃區域如圖，可知，的最小值為-6.2.C解析：依題意作出可行域如圖，由，得，要求的最大值，可求的最大值，即斜率為的直線在可行域內在軸上截距的最大值，如圖，顯然直線過點時，在軸上的截距最大，聯立得，所以的最大值為3.B解析：依題意作出可行域如圖，直接求出各直線交點，則目標函數的最小值為3.4.（4,3）解析：作出可行域如圖，直線，過時，最大5.4解析：作出可行域如圖，當直線過可行域上點時，直線在軸上的截距最小，最小，又點，所以6.依題意作出可行域，由得，由得，由得，表示可行域內的點到點的距離的平方，以為圓心，為半徑畫圓，當圓經過點時，最大，當圓經過點時，最小，所以，六．1．B解析：依題意找到可行域，對于直線，越大，越小。2.A解析：選擇單位長度，找整數點。3.解析：作出可行域如圖，理解為區域上的點與點