1.3二項式定理第二課時二項式系數的性質一、課前準備1．課時目標(1)了解楊輝三角的構成；(2)會用二項式系數的常見性質；(3)能應用賦值法解決二項式系數或系數的和差問題.2．基礎預探1．二項式系數組成的楊輝三角：其規律是：表中每行兩端都是1，而且除1以外的每個數都等于它肩上的兩個數的.事實上，設表中任一不為1的數為，那么它肩上的兩個數分別為和，由組合數的性質可知：+.2．二項式系數的性質（1）對稱性：與首未兩端的兩個二項式系數相等.（2）增減性與最大值：當為偶數時，中間的一項二項式系數取得最大值；當為奇數時，中間的兩項的二項式系數、相等，且同時取得最大值.（3）各二項式系數和：，，二、學習引領1.二項式的系數和的意義二項式系數和可以這樣理解記憶：若集合S含有n個元素，那么它的所有子集的個數為2n個，也即從n個不同元素中每次取出0個、1個、2個……n個元素的所有集合數的總和為2n個.寫成式子即.2.二項式定理中賦值法的應用由于二項式定理表示的是一個恒等式，在二項展開式中，有關系數和或組合數和的問題，可對照二項展開式，對ａ、ｂ賦以特殊值，從而得到不用的組合.一般常見的賦值有三種，將二項式的展開式中的未知數都賦值為1可以得到所有項的系數和，賦值為-1得到奇次項與偶次項的系數差，賦值為0則可得到常數項.根據題目的需要，可以賦一個值或者多個值進行構造.奇次項的系數和為，偶次項的系數和為.三、典例導析題型一二項式系數和問題例1已知展開式中二項式系數之和為128,求展開式中的系數.思路導析：根據二項式系數和的公式求得n的值，再利用二項式展開式求得的系數.解:由展開式中各項二項式系數之和,所以有.所以展開式中項的系數為.規律總結：要記住常見的三個二項式系數和：所有項的二項式系數和為，奇數項二項式系數和、偶數項二項式系數和都為.常利用上述公式直接求得某二項式的二項式系數和或者逆用求得二項式n的值.變式訓練：在展開式中,所有奇數項之和為1024,則中間項系數是___________.題型二賦值法求二項展開式的系數和例2若,則思路導析：只需令x=1可得，再令得，從而可以構造得到.解：令，令得所以方法規律：賦值法是解決二項展開式中系數和差問題的重要手段，許多復雜的與系數有關的問題均可通過簡單的賦值得到解決，注意取值要有利于問題的解決，可以取一個值或幾個值，也可以取幾組值，解決問題時要避免漏項等情況.一般情況下賦值優先考慮0，等幾個特殊值.變式訓練：已知其中是常數,計算題型三：有關系數或二項式系數最大項問題例3求的展開式中二項式系數最大的項和系數最大的項.思路導析：二項式系數的最大項就是中間那項對應的組合數，但系數的最大值還要分析式子的正負.解：由于展開式中共有11項，所以二項式系數最大的項是，且中的二項式系數等于項的系數的相反數，此時的系數最小.而，，且所以系數最大的項是第5項和第7項.方法規律：（1）求二項式系數最大的項，根據二項式系數的性質，n為奇數時中間兩項的二項式系數最大，n為偶數時，中間一項的二項式系數最大.（2）求展開式中系數最大項與求二項式系數最大項是不同的，還需根據各項系數的正、負的變化情況分析.變式訓練：已知展開式中的二項式系數的和比展開式的二項式系數的和大,求展開式中的系數最大的項和系數量小的項四、隨堂練習1．在的二項展開式中，若只有的系數最大，則（）A．8B.9C.10D.112．二項展開式中與第r項系數相等的項是()A.第n-r項B.第n-r-1項C.第n-r+1項D.第n-r+2項.3.若，則的值為（）ABCD4.若展開式的各項系數之和為32，則5.將楊輝三角中的奇數換成1，偶數換成0，得到如圖所示的0-1三角數表．從上往下數，第1次全行的數都為1的是第1行，第2次全行的數都為1的是第3行，…，第次全行的數都為1的是第行；第61行中1的個數是．第1行11第2行101第3行1111第4行10001第5行110011……6.在二項式的展開式中，（1）求二項式系數之和（2）求各項系數之和（3）求奇數項系數之和五、課后作業1對于二項展開式，下列結論中成立的是（）A中間一項的二項式系數最大B中間兩項的二項式系數相等且最大C中間兩項的二項式系數相等且最小D中間兩項的二項式系數互為相反數2．若的展開式中的第4項為常數項，則展開式的各項系數的和為（）．ABCD3．滿足的最小偶數n是（）A8B10C12D144．如圖，在由二項式系數構成的楊輝三角形中，第行中從左到右第14與第15個數的比為2：3.5．設的展開式的各項系數之和為M，二項式系數之和為N，若MN=240，則展開式中的系數為__________6.已知的展開式中偶數項的二項式系數的和比展開式中奇數項的二項式系數的和小120，求第一個展開式的第三項.參考答案1.3二項式定理第二課時二項式系數的性質2．基礎預探1．和2．“等距離”2n2n-12n-1三、典例導析例1變式訓練答案：462解：由已知可得,,所以中間項系數是.例2變式訓練解析：設，令，得.令，得..例3變式訓練解析：由題意可知解之得.的通項.當時，展開式中的系數最大，即為展開式中的系數最大的項；當時，展開式中的系數最小，即為展開式中的系數最小的項四、隨堂練習1．答案：C解析：只有的系數最大，是展開式的第6項，第6項為中間項，展開式共有11項，故n=102．答案：D解析:因第r項的二項式系數為,所以它是第n-r+2項.3.答案：A解析：4.答案：5解析：令得；5.答案：，32解析：由觀察可知，全行都為1的是第行；因為，所以故第63行共有64個1，逆推知第62行共有32個1，第61行共有32個1.6.解：（1）二項式系數之和為：（2）設，令得：，所以二項式的展開式中各項系數之和為：（3）令，則有：，①又，②由①+②，得：所以奇數項系數之和五、課后作業1．答案：B解析：根據二項式系數的性質可知選B.2．解析：，令，解得；再令，得.3．答案：C解析：因為所以，所以所以最小值偶數n為