第一章導數及其應用變化率與導數1.1.1變化率問題A級基礎鞏固一、選擇題1．已知函數y＝x2＋1，則在x＝2，Δx＝時，Δy的值為()A．B．0.41C．D．解析：Δy＝(2＋2＋1－(22＋1)＝.答案：B2．物體的運動規律是s＝s(t)，物體在t至t＋Δt這段時間內的平均速度是()\o(v,\s\up13(－))＝eq\f(s（t）,t) \o(v,\s\up13(－))＝eq\f(s（Δt）,Δt)\o(v,\s\up13(－))＝eq\f(Δs,Δt) \o(v,\s\up13(－))＝eq\f(s（t＋Δt）,Δt)解析：eq\o(v,\s\up13(－))＝eq\f(s（t＋Δt）－s（t）,Δt)＝eq\f(Δs,Δt).答案：C3．一運動物體的運動路程s(t)與時間x的函數關系為s(t)＝－t2＋2t，則s(t)從2到2＋Δt的平均速度為()A．2－Δt B．－2－ΔtC．2＋Δt D．(Δt)2－2Δt解析：因為s(2)＝－22＋2×2＝0，所以s(2＋Δt)＝－(2＋Δt)2＋2(2＋Δt)＝－2Δt－(Δt)2，所以eq\f(s（2＋Δt）－s（2）,2＋Δt－2)＝－2－Δt.答案：B4．將半徑為R的球加熱，若球的半徑增加ΔR，則球的表面積的增加量ΔS等于()A．8πRΔR B．8πRΔR＋4π(ΔR)2C．4πRΔR＋4π(ΔR)2 D．4π(ΔR)2解析：ΔS＝4π(R＋ΔR)2－4πR2＝8πRΔR＋4π(ΔR)2.答案：B5．已知函數f(x)＝2x2－1的圖象上一點(1，1)及鄰近一點(1＋Δx，f(1＋Δx))，則eq\f(Δy,Δx)＝()A．4 B．4＋2(Δx)2C．4＋2Δx D．4x解析：Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－1－2＋1＝2×(Δx)2＋4×Δx，所以eq\f(Δy,Δx)＝2Δx＋4.答案：C二、填空題6．在x＝2附近，Δx＝eq\f(1,4)時，函數y＝eq\f(1,x)的平均變化率為________．解析：eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(\f(1,2＋Δx)－\f(1,2),Δx)＝－eq\f(1,4＋2Δx)＝－eq\f(2,9).答案：－eq\f(2,9)7．已知曲線y＝eq\f(1,x)－1上兩點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(1,2)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋Δx，－\f(1,2)＋Δy))，當Δx＝1時，割線AB的斜率為________．解析：因為Δx＝1，所以2＋Δx＝3，Δy＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－1))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－1))＝－eq\f(1,6).所以kAB＝eq\f(Δy,Δx)＝－eq\f(1,6).答案：－eq\f(1,6)8．函數y＝eq\f(1,x2)在x0到x0＋Δx之間的平均變化率為________．解析：因為Δy＝eq\f(1,（x0＋Δx）2)－eq\f(1,xeq\o\al(2,0))，所以y＝eq\f(1,x2)在x0到x0＋Δx之間的平均變化率0為eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(\f(1,（x0＋Δx）2)－\f(1,xeq\o\al(2,0)),Δx)＝－eq\f(2x0＋Δx,（x0＋Δx）2xeq\o\al(2,0)).答案：－eq\f(2x0＋Δx,（x0＋Δx）2xeq\o\al(2,0))三、解答題9．比較函數f(x)＝2x與g(x)＝3x，當x∈[1，2]時，平均增長率的大小．解：設f(x)＝2x在x∈[1，2]時的平均增長率為k1，則k1＝eq\f(f（2）－f（1）,2－1)＝2.設g(x)＝3x在x∈[1，2]時的平均增長率為k2，則k2＝eq\f(g（2）－g（1）,2－1)＝6.因為k1<k2，故當x∈[1，2]時，g(x)的平均增長率大于f(x)的平均增長率．10．若函數f(x)＝－x2＋x在[2，2＋Δx](Δx＞0)上的平均變化率不大于－1，求Δx的范圍．解：因為函數f(x)在[2，2＋Δx]上的平均變化率為：eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（2＋Δx）－f（2）,Δx)＝eq\f(－（2＋Δx）2＋（2＋Δx）－（－4＋2）,Δx)＝eq\f(－4Δx＋Δx－（Δx）2,Δx)＝－3－Δx，所以由－3－Δx≤－1，得Δx≥－2.又因為Δx＞0，所以Δx的取值范圍是(0，＋∞)．B級能力提升1．在x＝1附近，取Δx＝，在四個函數①y＝x、②y＝x2、③y＝x3、④y＝eq\f(1,x)中，平均變化率最大的是()A．④B．③C．②D．①解析：Δx＝時，①y＝x在x＝1附近的平均變化率k1＝1；②y＝x2在x＝1附近的平均變化率k2＝2＋Δx＝；③y＝x3在x＝1附近的平均變化率k3＝3＋3Δx＋(Δx)2＝；④y＝eq\f(1,x)在x＝1附近的平均變化率k4＝－eq\f(1,1＋Δx)＝－eq\f(10,13).所以k3＞k2＞k1＞k4.答案：B2．設C是成本，q是產量，且C(q)＝3q2＋10，若q＝q0，則產量增加量為10時，成本增加量為________．解析：ΔC＝C(q0＋10)－C(q0)＝3(q0＋10)2＋10－(3qeq\o\al(2,0)＋10)＝3(qeq\o\al(2,0)＋20q0＋100)－3qeq\o\al(2,0)＝60q0＋300.答案：60q0＋3003．路燈距地面8m，一個身高為1.6m的人以84m/min(1)求身影的長度y與人距路燈的距離x之間的關系式；(2)求人離開路燈10s內身影的平均變化率．解：(1)如圖所示，設人從C點運動到B處的路程為xm，AB為身影長度，AB的長度為ym，由于CD(2)84m/min＝1.4m/s，在[0，10]內自變量的增量為x2－x1＝×10－×0＝14，f