第3章二自由度系統(tǒng)的振動(dòng)3.2二自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)3.1二自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)第3章二自由度系統(tǒng)的振動(dòng)3.1二自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)

3.1二自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)如圖3-1a所示的具有粘性阻尼的二自由度系統(tǒng)。

多自由度系統(tǒng)的基本概念都可以通過二自由度系統(tǒng)的問題說明，本章專門討論二自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)與強(qiáng)迫振動(dòng)。圖3-1二自由度系統(tǒng)模型

對(duì)質(zhì)量m1、m2繪分離體圖（如圖3-1b），用牛頓第二定律列分離體在水平方向方程得(3-1)

整理得(3-2)3.1二自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)(3-2)

由兩個(gè)聯(lián)立二階常微分方程所描述的系統(tǒng)稱為二自由度系統(tǒng)。方程(3-2)可以方便地表示成矩陣形式，引入(3-3)常數(shù)矩陣[m]，[c]和[k]分別稱為質(zhì)量、阻尼、剛度矩陣。3.1二自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)(3-4)

和分別稱為二維位移向量和力向量。（3-5）

由(3-3)可見質(zhì)量，阻尼，剛度矩陣的非對(duì)角線元素滿足(3-6)所以，方程(3-2)可以寫成矩陣形式3.1二自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)表明質(zhì)量、阻尼、剛度矩陣是對(duì)稱陣，可描述為(3-7)

此處T表示矩陣轉(zhuǎn)置，只有當(dāng)[m]，[c]，[k]

均為對(duì)角陣時(shí)，方程(3-5)才描述一組相互獨(dú)立的方程。

本章首先討論當(dāng)為零時(shí)自由振動(dòng)情況，然后討論為簡(jiǎn)諧激振力的情況。3.1二自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)時(shí)，方程(3-2)變?yōu)?3-8)上式為一組二階常微分方程。由(3-3)可見(3-9)(3-8)式可重寫為(3-10)若和為方程的一組解，那么和也是系統(tǒng)的一組解，這里α為任意常數(shù)。3.1二自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)

當(dāng)系統(tǒng)沒有阻尼和外部激振力時(shí)，也即和

下面我們?cè)噲D尋求(3-10)式的一種特殊類型的解的存在性，這種解為與隨時(shí)間有相同的規(guī)律性。如果這一類型的解存在，那么必然為一不隨時(shí)間變化的常數(shù)。設(shè)與隨時(shí)間的變化規(guī)律為，所要尋求的解可表示為(3-11)這里u1，u2

為幅值常數(shù)，將(3-11)代入方程(3-10)可得(3-12)3.1二自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)要使(3-12)有解，則必須(3-13)由于為實(shí)常數(shù)，所以這里λ也是實(shí)常數(shù)。因此只要(3-14)并且(3-15)有解。3.1二自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)設(shè)方程(3-14)有指數(shù)形式的解(3-16)代入(3-14)，得s必須滿足下面的方程(3-17)s有兩個(gè)解

這樣解(3-16)變?yōu)?3-18)(3-19)3.1二自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)

不難證明λ

是正實(shí)數(shù)值。如果λ

取負(fù)值，那么當(dāng)t→∞

，(3-19)式中的f(t)第一項(xiàng)以指數(shù)規(guī)律趨于無窮，第二項(xiàng)趨于零，這與所討論的系統(tǒng)為保守系統(tǒng)的概念相矛盾。

因此，λ應(yīng)取正值，設(shè)λ=ω2

，ω為實(shí)數(shù)。方(3-18)變?yōu)?/p>

(3-19)式的解相應(yīng)地變?yōu)?3-21)這里A1

和A2

一般為復(fù)常數(shù)。(3-20)3.1二自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)利用和與和的關(guān)系另外引入下面的表達(dá)式(3-22)可得(3-23)(3-24)解(3-23)變?yōu)?3-25)

這里C為一任意常數(shù)，為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的頻率，為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的相角。3.1二自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)討論的取值。在方程(3-15)中令，得(3-26)

上式的未知數(shù)為和，為參數(shù)，(3-26)有解的條件是(3-27)

其中稱為特征行列式。展開得(3-28)上式稱為特征方程或頻率方程。3.1二自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)方程的兩個(gè)根為(3-29)

上式表明只有兩種模式（對(duì)應(yīng)頻率和）的同步運(yùn)動(dòng)可能發(fā)生。和稱為系統(tǒng)的自然頻率。3.1二自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)

最后確定常數(shù)和的值，和的值與自然頻率和有關(guān)。將對(duì)應(yīng)于的值表示成和，對(duì)應(yīng)于的值表示成和，將和代入方程(3-26)可得

(3-30a)(3-30b)3.1二自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)

和可表示為(3-31a)(3-31b)

和稱為模態(tài)向量，由自然頻率和模態(tài)向量構(gòu)成系統(tǒng)的一階振動(dòng)模態(tài)，而和構(gòu)成系統(tǒng)的二階振動(dòng)模態(tài)。3.1二自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)

回到方程(3-11)和(3-25)，系統(tǒng)隨時(shí)間的運(yùn)動(dòng)寫成矩陣形式有(3-32)(3-33)C1與C2分別含有常數(shù)和。與表示(3-25)的一階、二階模態(tài)解。其中常數(shù)C1、C2和相角、由系統(tǒng)的初始條件決定。系統(tǒng)任意時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)即3.1二自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)之間的耦合項(xiàng)

例3-1考慮圖3-1所示的系統(tǒng)，設(shè)，求系統(tǒng)的自然模態(tài)。3.1二自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)圖3-1二自由度系統(tǒng)模型由方程(3-28)，系統(tǒng)的頻率方程為（a）

解：由式(3-9)可得剛度矩陣的元素為3.1二自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)其根為(b)系統(tǒng)的自然頻率為(c)

將和代入方程(3-30)式，得(d)則自然模態(tài)向量為(e)

3.1二自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)

將模態(tài)形狀繪圖如圖3-2所示,注意到第二階模態(tài)有一個(gè)位移為零的點(diǎn)，此點(diǎn)稱為節(jié)點(diǎn)。圖3-2模態(tài)振型圖3.1二自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)Important：自然頻率：也稱為系統(tǒng)的固有頻率；坐標(biāo)之比稱為固有振型，簡(jiǎn)稱振型（模態(tài)）振型與固有頻率是一一對(duì)應(yīng)的。二自由度系統(tǒng)存在兩種頻率的固有振動(dòng)，因此有兩個(gè)固有頻率，兩個(gè)固有振型。二自由度系統(tǒng)在任意初始條件下的無阻尼自由振動(dòng)是這兩個(gè)固有振動(dòng)的線性組合。Naturalfrequencies&Modeshapes1、振型圖的物理意義：橫坐標(biāo)表示系統(tǒng)各點(diǎn)的靜平衡位置，縱坐標(biāo)表示各點(diǎn)的振幅比；2、第二振型在彈簧k1上有一個(gè)始終保持不動(dòng)的點(diǎn)，稱為節(jié)點(diǎn)）2m情況1情況2情況3，4響應(yīng)：初始條件：響應(yīng)：由上例可以看到，二自由度無阻尼系統(tǒng)在某些特定的初始條件下的自由振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。此時(shí)振動(dòng)的特點(diǎn)是：系統(tǒng)的兩個(gè)自由度以相同的頻率振動(dòng)，同時(shí)達(dá)到極值，同時(shí)為零，它們之間的相位差為零或，它們的坐標(biāo)之比是與系統(tǒng)的物理參數(shù)有關(guān)而與時(shí)間無關(guān)的常數(shù)。

兩質(zhì)量均為m的質(zhì)點(diǎn)系于具有張力F的弦上，如下圖所示。忽略振動(dòng)過程中弦張力的變化，建立頻率方程。求系統(tǒng)的固有頻率和模態(tài)，并計(jì)算主質(zhì)量、主剛度、簡(jiǎn)正模態(tài)，確定主坐標(biāo)和簡(jiǎn)正坐標(biāo)。

多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)

（包括2自由度系統(tǒng)）系統(tǒng)方程M、K的求解

1、影響系數(shù)法考慮通過影響系數(shù)方法得到上式？影響系數(shù)法能量法能量法：

例3-3如圖3-3所示，為一理想化的汽車簡(jiǎn)化模型，將車體視為剛體，總質(zhì)量為m，質(zhì)心C距彈簧k1

、k2

的距離分別為a,b。k1

、k2為懸架系統(tǒng)的剛度。車體對(duì)質(zhì)心C的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為IC

，圖3-3b為系統(tǒng)的分離體圖，運(yùn)動(dòng)位移為車體質(zhì)心C點(diǎn)的垂直運(yùn)動(dòng)x（t）和繞C點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)θ（t）。由系統(tǒng)的靜平衡位置計(jì)起。3.1二自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)圖3-3汽車簡(jiǎn)化模型之一

解：有兩個(gè)運(yùn)動(dòng)方程，一個(gè)相應(yīng)于橫向位移x（t），一個(gè)相應(yīng)于轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)θ（t），由圖3-3b，在垂直方向的力平衡方程為(3-34a)對(duì)C點(diǎn)力矩平衡方程為(3-34b)整理可得(3-35)寫成矩陣形式為(3-36)3.1二自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)

下面用一組新的坐標(biāo)系來導(dǎo)出系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程，為此，設(shè)車體上存在一點(diǎn)O

，若在O點(diǎn)作用一垂直方向的力，此時(shí)，車體在垂直方向的唯一占主導(dǎo)地位，因而假設(shè)只有垂直方向的位移，無偏轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。

設(shè)O距彈簧k1，k2的距離分別為a1，b1，設(shè)x1表示O點(diǎn)的橫向位移，則有對(duì)點(diǎn)的力矩平衡方程k1x1a1=k2x1b1或k1a1=k2b1

。以x1和θ（t）為坐標(biāo)，分離體圖如圖3-4b。3.1二自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)圖3-4汽車簡(jiǎn)化模型之二3.1二自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程如下(3-37)(3-38)其中IO

為車體對(duì)O點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。設(shè)a1－

a=e

，注意到上式可簡(jiǎn)化為圖3-4汽車簡(jiǎn)化模型之二寫成矩陣形式有(3-39)3.1二自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)圖3-4汽車簡(jiǎn)化模型之二對(duì)比(3-36)和(3-39)發(fā)現(xiàn)，用不同的坐標(biāo)系，系統(tǒng)的耦合是不同的:在方程(3-36)中，用質(zhì)心坐標(biāo)x和繞質(zhì)心轉(zhuǎn)角θ時(shí)，系統(tǒng)通過剛度項(xiàng)耦合，這種耦合稱為靜力耦合或彈性耦合。而在方程(3-39)中系統(tǒng)通過慣性項(xiàng)耦合，這種耦合稱為動(dòng)力耦合或慣性耦合。很明顯系統(tǒng)耦合的性質(zhì)取決于所選的坐標(biāo)系，而并非系統(tǒng)的基本性質(zhì)。3.1二自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)(3-39)(3-36)

現(xiàn)在的問題是，是否存在一種系統(tǒng)坐標(biāo)q1（t）和q2（t），當(dāng)使用此坐標(biāo)系時(shí)，系統(tǒng)方程既無靜力耦合，又無慣性耦合。下面將會(huì)看到，這類坐標(biāo)系的確存在，并將其稱為自然坐標(biāo)或主坐標(biāo)。

對(duì)(3-10)式表示的二自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程，將其解表示成以下形式其中r1

，r2為由(3-30)式表示的,。(3-40)這里用(3-40)的形式似乎是一種人為的設(shè)計(jì)，但到下一章將會(huì)看到它的邏輯性和合理性。(3-10)3.1二自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)將(3-40)代入(3-10)，得(3-41a)(3-41b)將(3-41a)乘以m2r2

，(3-41b)乘以m1

，兩式相減得(3-42a)再給(3-41a)乘以

m2r1，(3-41b)乘以

m1，由第二式減去第一式得(3-42b)將(3-30)式代入(3-42)，可簡(jiǎn)化為3.1二自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)(3-43)

這里為系統(tǒng)的自然頻率。

與(3-10)式比較，發(fā)現(xiàn)以q1(t)和q2(t)為坐標(biāo)的方程

(3-43)無耦合項(xiàng)，是完全相互獨(dú)立的。

像

q1(t)和q2(t)這樣的能使系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程相互獨(dú)立的坐標(biāo)系稱為自然坐標(biāo)或主坐標(biāo)。方程(3-43)的解為(3-44)將(3-44)代入(3-40)得

(3-45)3.1二自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)

其中和為模態(tài)向量，振幅C1和C2以及相角φ1和φ2由初始條件決定，方程(3-46)與(3-33)完全相同。說明系統(tǒng)在任意時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)是自然振型與相應(yīng)模態(tài)響應(yīng)乘積的疊加。(3-46)

寫成矩陣形式3.1二自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)例3-3

對(duì)于例3-2討論的簡(jiǎn)化汽車模型，設(shè)系統(tǒng)參數(shù)的取值為：

m＝1200kg，IC=2500kgm2，k1=28000N/m，k2=32000N/m，a=1.5m，b=2.0m，試確定系統(tǒng)的主坐標(biāo)。

要確定系統(tǒng)的主坐標(biāo)，必須首先確定系統(tǒng)的自然模態(tài)，將上述參數(shù)代入方程(3-36)得(a)解：相應(yīng)的特征值問題為(b)3.1二自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)分別為和

其中

和

的幅值，由此可得到系統(tǒng)的特征方程(c)其解為(d)系統(tǒng)的自然頻率為ω1＝6.70rad/s

和ω2＝9.03rad/s。

將ω12代入方程(b)的第一行，得得到(e)3.1二自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)再將代入方程(b)的第一行，得到由此得到(f)系統(tǒng)的自然模態(tài)為(g)將方程(e)和(f)代入(3-40)，其中，得到

(h)將上式代入運(yùn)動(dòng)方程(a)，并經(jīng)過(3-41)和(3-42)的步驟后，可簡(jiǎn)化得到如下的以自然坐標(biāo)表示的相互獨(dú)立的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程3.1二自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)(i)因此，方程可以分別求解，其解為(j)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)可表示為(k)前面已經(jīng)提到，二自由度系統(tǒng)自由響應(yīng)解的幅值C1和C2以及相角φ1和φ2

取決于系統(tǒng)的初始條件。3.1二自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)(3-47)設(shè)系統(tǒng)的初始條件為

，，，將初始條件代入方程(3-45)得(3-45)3.1二自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)(3-47)是關(guān)于4個(gè)未知，，，的代數(shù)方程，其解為

(3-48)3.1二自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)由(3-48)可解出(3-49)方程(3-45)和(3-49)完全確定了系統(tǒng)對(duì)于初始條件的響應(yīng)。3.1二自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)

例3-4

對(duì)于例3-1所示的系統(tǒng)，當(dāng)初始條件為時(shí)，求系統(tǒng)的自由響應(yīng)。3.1二自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)由(e)式可知，，將這些參數(shù)連同初始條件一并代入(3-49)式，得

(a)解：由例3-1的(c)式可知3.1二自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)將(a)代入(3-45)得系統(tǒng)對(duì)初始條件的響應(yīng)為

(b)3.1二自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)

分析如圖3-5（a）所示的系統(tǒng)，兩個(gè)完全相同的單擺通過彈簧k相連。相應(yīng)的分離體如圖3-5b所示。設(shè)θ1,θ2很小。系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程由繞O與O'的力矩平衡方程得到。拍振現(xiàn)象3.1二自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)圖3-5拍振現(xiàn)象模型(3-50)寫成矩陣形式有(3-51)

由上式可見系統(tǒng)為靜力耦合，當(dāng)彈簧k減小到零時(shí)，系統(tǒng)的耦合消失，成為兩個(gè)獨(dú)立的單擺，其自然頻率為，當(dāng)時(shí)，方程(3-51)的特征值問題為(3-52)3.1二自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)其特征方程為即(3-53)(3-54)系統(tǒng)的兩個(gè)自然頻率為(3-55)3.1二自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)系統(tǒng)的自然模態(tài)由下式得到(3-56)將(3-55)式的值代入上式，求解得(3-57)3.1二自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)

在第一階模態(tài)，彈簧k不變形，兩個(gè)擺同步運(yùn)動(dòng)，系統(tǒng)就像一個(gè)單擺一樣。事實(shí)上，系統(tǒng)的第一階自然頻率與單擺的自然頻率是相同的。第二階模態(tài)時(shí)，兩擺的運(yùn)動(dòng)有180°的相位差，即反向運(yùn)動(dòng)。兩階模態(tài)如圖(3-6)所示3.1二自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)圖3-6耦合的雙擺的振型

由前面所述可知，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)可表示為兩個(gè)自然模態(tài)與相應(yīng)的自然坐標(biāo)的疊加。(3-58)將(3-57)代入(3-58)得(3-59)設(shè)初始條件為則(3-60)3.1二自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)

當(dāng)與相比很小時(shí)，相當(dāng)于系統(tǒng)的耦合很弱。此時(shí)(3-60)式可寫為(3-61)這里和近似為(3-62)3.1二自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)

可見和為角頻率為的簡(jiǎn)諧函數(shù)，其幅值分別以和慢慢變化。和隨時(shí)間的變化如圖3-7所示。圖中其慢變的幅值用虛包絡(luò)線表示。3.1二自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)圖3-7

拍振響應(yīng)示意圖這一現(xiàn)象表明，如果兩相同幅值和相近頻率的簡(jiǎn)諧函數(shù)相加，結(jié)果為頻率為兩頻率均值的調(diào)幅簡(jiǎn)諧函數(shù)，當(dāng)兩簡(jiǎn)諧量互相加強(qiáng)時(shí)，合成函數(shù)的幅值為單個(gè)簡(jiǎn)諧量的兩倍，隨后當(dāng)兩簡(jiǎn)諧量相互抵消時(shí)，合成量的幅值