巖土數值分析章第一頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日第一節巖土工程問題的基本特點工程類型的多樣性材料性質的復雜性荷載條件的復雜性初始條件與邊界條件的復雜性相互作用問題第二頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日幾種工程類型（例）

加筋擋墻第三頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日第四頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日防滲墻與覆蓋層混凝土面板壩擋土墻第五頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日第二節巖土工程數值分析發展的必然性

為盡可能求得問題的可靠解答，人們的追求與選擇大致有三個梯次，退而擇之。建立嚴格的控制物理方程－嚴格精確解基于假定建立較為精確的控制物理方程－近似理論解必要簡化假設的基礎上得到的控制物理方程（微分方程或微分方程組）－尋求數值解第六頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日第三節本課程介紹幾種

常用數值方法

滑移線理論與特征線方法（CharacteristicsLineMethod，CLM）。極限分析法（LimitAnalysisMethod，LAM）有限單元法（FiniteElementMethod，

FEM），包括土體應力變形、固結有限元及滲流有限元；離散單元法(Discrete/DistinctElementMethod，DEM)；非連續變形分析法(DiscontinuousDeformationAnalysis，DDA)；巖土參數反分析法（BackAnalysisMethod,BAM）；三個常用軟件應用（顯式有限差分方法差分的拉格朗日法FLAC3D，基于非線性有限元的通用分析軟件的ABAQUS，基于離散元方法的PFC）第七頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日

人們的認識在不斷發展深化，同時伴隨其它學科的發展，例如計算方法的多樣化與計算技術的發展，能夠求解的巖土工程問題的范圍和難度在不斷擴大。

從求解穩定性問題到求解變形和穩定問題，從土體到巖體，

從連續介質到不連續介質，

從簡單到復雜，

從單一問題到綜合和耦合問題等。

數值分析發展前景廣闊，是學者和工程師們的新舞臺。

第八頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日第四節學習中應注意的問題

（1）掌握每種方法的數學力學原理，基本假定和適用范圍；（2）弄清每種方法對巖土體材料模型及其參數的要求；第九頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日學習中應注意的問題（3）弄清每種方法對巖土體材料與結構的相互作用模型及其參數的要求，包括巖石塊體之間的關聯和相互作用；（4）分析巖土體是否存在滲流和與水的相互作用或其它耦合問題。第十頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日學習中應注意的問題（5）分析初始條件、邊界條件和荷載特征等，確定模擬思路，正確建模；（6）對于反演分析，要研究和分析已知數據，明確待求未知量，選擇恰當方法。第十一頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日應用時注意幾個主要環節（1）研究分析對象，明確計算目的，選擇數值分析方法，確定建模方案；（2）確定運用的模型及其參數；（3）確定邊界條件與初始條件；第十二頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日應用時注意幾個主要環節（4）模擬荷載及荷載的動態變化；（5）確定計算的收斂評判依據；（6）考察各環節簡化的合理性，考題，否則應調整建模及有關計算模型與參數；（7）確定后處理方法及成果的整理與分析方案。（8）應用商業軟件之前，要先弄清原理第十三頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日

教材：盧廷浩等，巖土工程數值分析與應用

河海大學出版社，2012.12參考文獻[1]劉漢東、張勇、賈金祿編著，巖土工程數值計算方法（M），黃河水利出版社，1995.12。[2](美)C.S.德賽、J.T.克里斯琴主編，盧世深、潘善德、王鐘琦等譯，巖土工程數值方法（M），中國建筑工業出版社，1981.8。[3]中國力學學會計算力學委員會主辦，第一屆全國計算巖土力學研討會論文集（M），西南交通大學出版社，1987.11。[4]龔曉南主編，土工計算機分析，中國建筑工業出版社（M），2000.10。[5]廖紅建、王鐵行，巖土工程數值分析，機械工業出版社（M），2006.2。

…………更多第十四頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日

巖土工程數值分析

與應用

第二章滑移線理論與特征線法

河海大學巖土工程研究所盧廷浩第十五頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日概述

對于土體，滑移線理論、極限分析理論與力的極限平衡理論同屬極限狀態理論的范疇，都是求土體達到極限狀態時解答的理論方法。這些理論方法都是假定分析對象服從庫侖材料破壞準則，求解時不考慮材料到達極限狀態的過程，即不考慮材料的具體應力應變關系，從而求得土體達到極限狀態時的解答，但他們各自求解問題的視角和方法不同。第十六頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日關于力的極限平衡理論

力的極限平衡理論假定土體為理想剛體，依據于經典靜力學中剛體平衡理論推求極限狀態解答，簡稱為極限平衡法。該方法最為人們所熟悉，其突出優點是簡單，應用廣泛。例如，經典土壓力計算理論，假定滑動面的土坡穩定安全系數計算，地基極限承載力計算等。第十七頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日關于極限分析理論

極限分析理論假定土體為彈性－理想塑性體或剛塑性體，強度包線為直線且服從正交流動規則的標準庫侖材料。當作用于土體上的荷載達到某一數值并保持不變時，土體會發生“無限”塑性流動，則認為土體處于極限狀態，所對應的荷載稱為極限荷載。極限分析理論就是應用虛功率方程推導彈性－理想塑性體或剛塑性體的普遍定理－上限定理（求極限荷載的上限解）和下限定理（求極限荷載的下限解）求解極限荷載的一種分析方法，稱為極限分析法。第十八頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日關于滑移線理論

土力學中的滑移線理論是從經典塑性力學的基礎上發展起來的。假定土體為理想剛塑性體，強度包線為直線且服從正交流動規則的標準庫侖材料。滑移線理論是基于平面應變狀態的土體內當達到“無限”塑性流動時，塑性區內的應力和應變速度的偏微分方程是雙曲線這一事實，應用特征線理論求解平面應變問題極限解的一種方法，稱為滑移線法。第十九頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日滑移線概念基本假定基本方程

平衡方程為

土體屈服條件為第二十頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日滑移線

在平面應變問題中，都有兩個正交主應力，將各點主應力方向連續地連接起來就是主應力跡線。土體處于屈服狀態時，每一點都存在一對剪破面，即面和面，將平面上各點剪破面連續地連接起來就可以得到兩族曲線，稱為滑移線（或滑動線）。滑移線上一點的切線就是該點的滑動面方向。第二十一頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日滑移線概念應力分量表達（一點應力狀態）

當土體達到塑性極限平衡時（達到塑性屈服），土體單元將一對剪破面，剪破面與大主應力的夾角為。

設大主應力與軸的夾角為，則三個應力分量可分別表達為

式中

稱為平均法向引用應力第二十二頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日應力分量表達（放大圖）第二十三頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日滑移線與滑移線方程

線和線的微分方程為第二十四頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日應力平衡方程的特征線方程特征線方程－推導特征線方程組

極限平衡方程改寫

這是一個以x，z

，,為變量的空間曲面方程是一階擬線形偏微分方程組。直接求解極其困難。數學上的一階擬線形偏微分方程組一般形式為第二十五頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日

該式是關于為變量，由系數構成的代數方程組，其中系數是的函數。

第二十六頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日該方程組的系數行列式為展開行列式，令，有其中第二十七頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日在某區域內，如果則方程有兩個實根，表示一階擬線形偏微分方程組為雙曲線型的，在該區域內有兩族實的特征線。第二十八頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日

如果，則方程有一個實根，表示一階擬線形偏微分方程組為拋物線型的，只有一族特征線；

如果則方程沒有實根，表示一階擬線形偏微分方程組為橢圓型的，不存在實的特征線。第二十九頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日特征線方程推導

上式是關于、的一階擬線形偏微分方程組，直接求解這個偏微分方程組極其困難。由于兩族滑移線自己的夾角是

為此可以將方程改寫：以乘第一個方程；以乘第二個方程，然后相加，得第三十頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日特征線方程推導－空間曲面方程以為變量空間曲面方程，

第三十一頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日特征線方程推導

在xoz平面內一定存在某曲線，該曲線上和正好滿足方程；沿該線、可以表達為第三十二頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日求全微分改寫上式得將其代入式整理后得到第三十三頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日式中第三十四頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日當右端項分子分母同時為0，左端的導數值不定，稱為特征線。特征線的方程組：第三十五頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日

方程組是曲面方程，仍難以求得解析解，只能沿著曲面方程的特征線才能求得解答，因此稱為特征線法。

比較滑移線的定義與此處的特征線方程，可知此處數學上的特征線就是物理概念上的滑移線。

第三十六頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日應力間斷線應力間斷線（l線）推導第三十七頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日應力間斷線應力間斷線推導切向正應力間斷第三十八頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日滑移線的基本性質

應用特征線法求解極限荷載時必須首先根據滑移線性質構造應力場。根據滑移線的定義，可推得具有如下基本特性。滑移線上的剪應力等于巖土體的抗剪強度（極限狀態），滑移線網與屈服準則有關。兩族滑移線的夾角與內摩擦角值有關，粘聚力c不影響滑移線的兩族滑移線的夾角和形狀，而土體自重影響滑移線網的形狀但不影響兩族滑移線的夾角。第三十九頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日滑移線的基本性質沿一條滑移線的積分常數相同，因此：沿一條滑移線上的變化與的變化呈比例，的變化（滑移線的曲率變化）愈大相應的變化也愈大；如若某段滑移線為直線，則該直線段滑移線上的，值和應力分量均為常量。兩條族被兩條族滑移線所切割的兩滑移線段轉角相等，同理兩條族被兩條族滑移線所切割的兩滑移線段轉角也相等（Henky第一定律）。若沿某一滑移線移動，在交叉點處的另一族滑移線的曲率半徑的變化（Henky第二定律）。第四十頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日特征線方程組的差分解法差分方程組第四十一頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日提高差分解精度

依據問題定性作出較密的滑移線網格；逐點進行一次差分計算后，再在前一次差分計算結果的基礎上進行逐次迭代計算，以進行下一次迭代

差分計算看似繁瑣，但應用計算機采取編程計算就極簡單而且快捷

分別代替第四十二頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日邊界已知值換算由換算成，

第四十三頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日土體單元極限平衡狀態

土體單元極限平衡狀態（推導）圖2.9邊界上應力狀態摩爾圓第四十四頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日土體單元極限平衡狀態（推導）由圖可見（引用應力）（引用應力對法線的傾角）（平均法向引用應力）（方向對邊界傾角的2倍）

第四十五頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日邊界已知值換算推導點和點對應著兩種應力狀態，即被動狀態和主動狀態。

在上式分別合成一個式子，有（）處，或按正弦定律

在處，

或按正弦定律

）

圖2.10主動與被動狀態判別因為線段長

第四十六頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日主動與被動狀態判別若邊界順著邊界荷載極限平衡狀態，則單元的側向應力必小于法向應力即，有，從而，這種情況恰與莫爾圓上的點相一致，就相當于取式（2-24）中的K＝－1；的運動方向下壓使土體單元處于按該式計算的值最小，稱主動狀態或最小應力狀態。第四十七頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日主動與被動狀態判別若邊界逆著邊界荷載極限平衡狀態，則單元的側向應力必大于法向應力即，有，從而，這種情況恰與莫爾圓上的點相一致，就相當于取式（2-24）中的K＝+1；的運動方向下壓使土體單元處于按該式計算的值最大，稱被動狀態或最大應力狀態。第四十八頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日邊界已知值換算由換算成或當差分計算到未知邊界后，一般應完成這種換算，以便于設計使用。換算可采用如下兩種方法之一進行。方法1：利用式，反求，方法2：先由莫爾圓上直接求出然后求出再求求出第四十九頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日邊值問題第一種邊值問題（柯西問題）第二種邊值問題（古爾斯問題，黎曼問題）第五十頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日邊值問題第三種邊值問題（混合問題）第四種邊值問題第五十一頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日地基極限承載力邊界條件已知條件有：地基土性參數；邊荷載；以及基底荷載之傾角（由上部結構荷載水平與垂直分量確定）。目的是：求基底面極限承載力及其分布第五十二頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日地基極限承載力滑移線網格與節點第五十三頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日地基極限承載力分析邊界條件初繪滑移線網、節點編號計算表格（步驟），或編程分區解答（或輸入程序計算信息）極限荷載、實際荷載第五十四頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日分析邊界條件和

OB為未知邊界換算OA為已知邊界，OB為未知邊界（基底面）。分析應力邊界的土體單元不難發現，未知邊界基底面OB將順著p下壓，BOD為主動區，根據前面的分析應取K＝－1，將m＝0，代入式（2-24），取軸與基底面一致即，得

第五十五頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日分析邊界條件和

已知的邊界OA換算分析應力邊界的土體單元不難發現，未知邊界OA有外移（隆起）的趨勢，AOC為被動區，因此應取K＝+1，將m＝0，代入式（2-27），得

第五十六頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日網格節點編號第五十七頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日

地基極限承載力計算格式

第五十八頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日AOC區解答第五十九頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日COD區解答COD區為主動區與被動區之間的過渡區，其中O點是該區族滑移線的會交點，也可以將O點看著為族滑移線縮于一點。該點是奇點，發生了理論上的應力間斷。第六十頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日COD區解答第六十一頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日COD區解答第六十二頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日DOB區求解

第六十三頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日求基底OB面上的極限荷載和設計荷載

第六十四頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日飽和軟粘土地基極限承載力第六十五頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日飽和軟粘土地基極限承載力第六十六頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日飽和軟粘土地基極限承載力第六十七頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日飽和軟粘土地基極限承載力第六十八頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日飽和軟粘土地基極限承載力第六十九頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日飽和軟粘土地基極限承載力第七十頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日飽和軟粘土地基極限承載力第七十一頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日土坡穩定坡頂極限承載力第七十二頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日坡頂極限承載力第七十三頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日坡頂極限承載力第七十四頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日坡頂極限承載力第七十五頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日極限邊坡輪廓線

第七十六頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日極限邊坡輪廓線第七十七頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日極限邊坡輪廓線第七十八頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日極限邊坡輪廓線第七十九頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日極限邊坡輪廓線第八十頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日極限邊坡輪廓線第八十一頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日豎直坡的臨界高度

第八十二頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日豎直坡的臨界高度

第八十三頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日極限平衡理論的軸對稱解答

第八十四頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日極限平衡理論的軸對稱解答

第八十五頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日極限平衡理論的軸對稱解答

第八十六頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日極限平衡理論的軸對稱解答

第八十七頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日極限平衡理論的軸對稱解答

第八十八頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日極限平衡理論的軸對稱解答第八十九頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日討論

在滑移線理論中，由于假定土體符合莫爾庫侖準則，是理想彈塑性或剛塑性體，故不涉及具體的應力應變關系，所以滑移線理論與特征線方法是求解極限平衡問題時的解答。同時由于難以求得應力平衡方程的解析解，基于應力平衡方程是雙曲線型方程其幾何上的特征線就是物理上滑移線，從而求得極限平衡解答。因為最終是用數值方法求解，故解答是近似解。

第九十頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日討論

對于非均勻土體（符合本方法的基本假定），滑移線理論與特征線方法可以近似應用，但由于基本方程是假定均質條件下推導的，應用特征線求解時相應區域的參數要隨之變化，界面處特征線將發生偏轉，因而只能說可以近似應用。對于復雜應力條件和復雜邊界條件等問題，用滑移線理論與特征線方法求解目前尚存在困難。

第九十一頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日討論

當前巖土材料的滑移線理論都采用經典塑性理論中的關聯流動法則，由此得出應力特征線與滑移線一致。而試驗得知，巖土材料并不一定服從關聯流動法則，因而應力特征線與滑移線可能不重合。廣義塑性力學的出現，從理論上證明了塑性勢面與莫爾庫侖屈服面之間成一定的角度，因而應研究采用非關聯流動法則來研究滑移線（進行中）。

滑移線理論與特征線方法用于求得某些問題的數值解是其重要的方面，并且尚應繼續深入研究并擴大應用范圍。滑移線理論與特征線方法的另一個重要作用是，可以經常用于對某些問題進行定性分析和判斷，因而其基本概念有著廣泛應用。

第九十二頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日謝謝天命之謂性，率性之謂道，修道之謂教。

-中庸第九十三頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日第三章極限分析法河海大學巖土工程研究所盧廷浩巖土工程數值分析

與應用第九十四頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日第一節概述

極限分析理論假定土體為彈性－理想塑性體或剛塑性體，強度包線為直線且服從正交流動規則的標準庫侖材料。當作用于土體上的荷載達到某一數值并保持不變時，土體會發生“無限”塑性流動，則認為土體處于極限狀態，所對應的荷載稱為極限荷載。

極限分析理論就是應用彈性－理想塑性體或剛塑性體的普遍定理－上限定理（求極限荷載的上限解）和下限定理（求極限荷載的下限解）求解極限荷載的一種分析方法，稱為極限分析法。第九十五頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日第二節上、下限定理1、靜力容許的應力場

設有物體V，其表面A，面力和體力已知。若在此物體上，設定一組應力場，滿足下列條件，則稱為靜力容許應力場。①在體積V內滿足平衡方程，即②在邊界上滿足邊界條件，即③在體積V內不違反屈服條件，即

由定義可知，物體處于極限狀態時，其真實的應力場必定是靜力容許的應力場；但靜力容許應力場不一定是極限狀態時真實的應力場。第九十六頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日上、下限定理2、機動容許的位移速率場

在物體V上，若設定一組位移速率場，滿足以下條件，為機動容許的位移速率場。①在體積V內滿足幾何方程，即

則稱②在邊界Su上滿足位移邊界條件，或速度邊界條件，并使外力做正功。由上述定義可知，物體于極限狀態時，其真實的位移速率場必定是機動容許的位移速率場；但機動容許的位移速率場不一定是極限狀態時真實的位移速率場。第九十七頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日上、下限定理3、速度間斷面

速度間斷面(平面上是間斷線)是兩個速度不同區塊存在的過渡薄層，是速度場中從一個速度區過渡到另一個速度不同的區域的薄層的極限情況，一般是剛性區與剛性區或剛性區與變形區的邊界，如單剪情況速度間斷面的存在將產生能量耗散。設物體內部存在若干個速度間斷面（i=1、2、3…..），將物體分成有限個子塊，每個子塊內部的速度是連續的。第九十八頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日上、下限定理4、虛功方程與虛功率方程

虛功原理表明：對于一個連續的變形體，任意一組靜力容許的應力場和任意一組機動容許位移場，外力的虛功等于內力的虛功。

同理虛功率原理可表示為：對于任意一組靜力容許應力場和任意一組機動容許的位移速率場，外力的功率等于物體內虛變形功率。

如果物體內部存在速度間斷時，其虛功率方程可表示為：

以上幾個定理的證明可參考土力學有關書本，這里從略。根據虛功率方程可以證明極限分析中兩個重要的定理，即上下限定理。式中，S——速度間斷面；

——速度間斷面兩側切向速度的變化。第九十九頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日上、下限定理5、下限定理：在所有與靜力容許的應力場滿足相對應的荷載中，極限荷載最大。（證明）第一百頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日上、下限定理6、上限定理：

在所有的機動容許的塑性變形位移速率場相對應的荷載中，外功功率等于物體內能耗散率所對應的極限荷載為最小。（證明）第一百零一頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日下限定理證明

證：設為真實的應力場，對應的表面力為Ti，為真實的位移速率場，由幾何方程求得真實應變率為，真實速度場中可能存在速度間斷面SL，其上的切向速度躍度為[]；在Su上給定速度為，在ST上給定表面力為，給定的體力為Fi。

第一百零二頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日下限定理證明由虛功率方程得又設另一靜力容許的應力場，對應的表面力為，由虛功率方程得第一百零三頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日下限定理證明上述兩式相減得由Drucker公式得到≥0由于C≥

同時≥0，即剪應力做正功率知≥0。第一百零四頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日剪應力做正功率，因此可得≥0或者上式表明，在所有靜力許可的應力場中，極限荷載的功率為最大。或者說與所有靜力許可的應力場相平衡的荷載是極限荷載的下限。于是下限定理得到證明。第一百零五頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日上限定理證明

上限定理：在所有的機動容許的塑性變形位移速率場相對應的荷載中，極限荷載為最小。證：設為物體達到極限狀態的真實應力場，其對應的表面力為Ti，為真實位移速率場，由幾何方程求得的應變率為，真實速度場中可能有速度間斷面SL，其上的速度切向躍值為[]；體力為Fi。第一百零六頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日上限定理證明

另設一機動容許的位移速率場，對應的應變率為，應變速度場可能有間斷面，其上的切向速度為。虛功率方程得由于≥0第一百零七頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日上限定理證明又≤C，則有后兩式代入第一式，有顯然只有當時，上式等號成立。上限定理得到證明。事實上，不妨設Fi,Ti就是真正的極限荷載，對應的靜力許可應力場滿足左邊是外功功率，右邊是能量耗散率，這就證明滿足外功功率＝能量耗散率塑性變形時的荷載最小。第一百零八頁