電路分析基礎

宋家友鄭州大學信息工程學院songjy@電路分析基礎是通信、電子信息工程、計算機科學與技術、自動控制等專業的基礎課程。通過本課程的學習，使同學們掌握電路的基本理論、基本分析方法和進行電路實驗的基本技能，為后續專業課程打下必要的基礎。學習電路分析要求透徹理解其中的重要概念，掌握基本定理、定律和分析電路的方法，并能運用它們分析和解決電路中的實際問題。電路分析是“電路理論”學科的重要分支

電路理論(circuittheory)是物理學中電磁學的一個分支，若從歐姆定律（1827年）和基爾霍夫定律（1845年）的發表算起，至今已有170多年的歷史。隨著電力和通信工程技術的發展，電路理論逐漸形成一門比較系統且應用廣泛的工程學科。自20世紀60年代以來，新的電子器件不斷涌現，集成電路、大規模集成電路、超大規模集成電路的飛躍發展、計算機技術的迅猛發展和廣泛應用等等，都給電路理論提出了新課題，也促進了電路理論的發展。電路理論的內容十分廣泛，它是電工、電子和信息科學技術的重要理論基礎之一。

電路理論(circuittheory)主要包括電路分析和網絡綜合(與設計)兩類問題。

電路分析(circuitanalysis)：根據已知的電路結構和元件參數，求解電路的特性。

網絡綜合(networksynthesis)：根據所提出的對電路性能的要求，確定合適的電路結構和元件參數，實現所需要的電路性能。

課程主要任務(task)：在給定電路結構和元件參數條件下，學習各種電路所共有的基本規律（電路元件的伏安關系、基爾霍夫定律和電路定理等）以及電路的各種基本分析計算方法。課程主要目的(aim)：深入理解電路的基本規律、定律和定理及有關物理概念，系統掌握求解電路的基本分析方法及一些典型電路的特殊分析方法和技巧等。充分了解這些規律、概念、方法的適用范圍和使用條件，能用所學的電路基礎理論知識去解決今后在學習和工作中所遇到的實際電路問題。

課程研究對象(researchobject)：各種電路模型（而不是實際電路）。課程特點(coursecharacter)：1）偏重電路元件的外特性，很少涉及元件內部的物理性質。2）偏重理論分析和計算。

課程分析方法(method)：1）等效法(equivalence)：先將原電路化為最簡形式，達到不需列方程組即可求解。該方法只適合求解某一支路（或局部）的變量，又稱為分解法(partition)。

2）方程法(equation)。方程法：

理想化實際電路電路模型

針對研究目的

選變量u,i,p

依據三類約束關系

列求解方程組

數學方法

求解分析主要參考書(reference)：《電路分析基礎》李翰蓀編(第四版)（上、下冊）《電路》邱關源課程主要內容(contents)第一篇：總論和電阻電路的分析（第1－4章）約20學時。第二篇：動態電路的時域分析（第5－7章）約10學時。第三篇：動態電路的相量分析（第8－11章）約20學時學習本課程的幾點要求：1、課前預習（非常重要）；2、課堂認真聽講，掌握重點、思路和方法；3、課下及時復習，通讀教材（非常重要）；4、獨立完成作業，要認真抄題，要畫電路圖；第一篇：總論和電阻電路的分析第一章集總電路中電壓、電流的約束關系第二章網孔分析和節點分析第三章疊加方法與網絡函數第四章分解方法及單口網絡第一章集總參數電路中電壓、電流的約束關系§1-1電路及集總電路模型§1-2電路變量：電流、電壓及功率§1-3基爾霍夫定律§1-4電阻元件§1-5電壓源§1-6電流源§1-7受控源§1-8分壓公式和分流公式§1-9兩類約束KCL、KVL方程的獨立性§1-10支路分析§1-1電路及集總電路模型一.實際電路(actualcircuit)由電阻器、電容器、電感線圈、電源等元件和半導體器件等相互連接而構成的電路稱為實際電路。此外，現代微電子技術已經可以將若干部、器件不可分離地制作在一起，電氣上互連，電路成為一個整體，這就是集成電路。電阻器電容器線圈電池運算放大器晶體管典型的元器件實物照片低頻信號發生器的內部結構變壓器電容器電阻器簡易手電筒電路實際電路中最簡單最有代表性的就是手電筒電路，它由電池、燈泡、開關和手電筒殼（起導線作用）組成，如下圖所示。手電筒實物

即使最簡單的像手電筒這樣的實際電路，要想畫的既好看又快速，沒有極好的美術功底是不可能的，因此，一般都將各種元、器件用圖形符號表示。下頁表1-1列舉了一些國標中的電氣圖形符號。(a)實際電路(b)電氣圖(c)電路模型(電路圖)(d)拓撲結構圖采用符號繪出實際電路元器件及其相互連接關系的電氣圖將使實際電路一目了然，可讀性強，如圖(b)所示。二.電路模型

實際電氣裝置種類繁多，如電視機，收音機、手機以及通信系統等；實際電路的幾何尺寸相差甚遠，如電力系統或通信系統可能跨越省界、國界甚至是洲際的，而集成電路芯片小的如同指甲。

另外，實際電路器件品種也繁多，電磁特性復雜，把實際元器件直接畫在電路圖中既困難又繁瑣，且不易定量描述。因此，在電路分析中，為了便于對實際電氣裝置進行分析研究，通常是在一定條件下對實際電路采用模型化處理，即用抽象的理想電路元件及其組合近似地代替實際元器件，從而構成了與實際電路相對應的電路模型。

理想電路元件是實際電路元器件的理想化和近似，其電磁特性唯一、精確，可定量分析和計算。理想電路基本元件分有源和無源兩大類RC+

US–電阻元件只具耗能的電特性電容元件只具有儲存電能的電特性理想電壓源輸出電壓恒定，輸出電流由它和負載共同決定理想電流源輸出電流恒定，兩端電壓由它和負載共同決定L無源二端元件有源二端元件電感元件只具有儲存磁能的電特性IS5種基本理想電路元件有三個特征：（a）只有兩個端子；（b）可以用電壓或電流按數學方式描述；（c）不能被分解為其他元件。注意三.集總參數電路(lumpedparameter

circuit)指由集總參數元件連接組成的電路,即用理想元件的組合取代實際電路元器件和設備所得到的理想電路，又稱電路模型，簡稱電路。集總參數元件：實際元件的電能消耗及電、磁能的貯存等現象往往交織在一起并發生在整個部件中。若假定這些現象可以分別研究，并且這些電磁過程都分別集中在各元件內部，這樣的元件就稱為集總參數元件，簡稱集總元件，它是實際器件的抽象模型，是用來模擬某一電磁現象的理想元件。常用的理想元件：電阻(resistor)、電感(inductor)、電容(capacitor)、電壓源(voltagesource)、電流源(currentsource)、受控源(controlledsource)。

集總參數電路是本門課程討論的對象。電路是指用“理想導線”將一些電路元件符號按一定規律連接組成的圖形。電路圖中，元件符號的大小，連線的長短和形狀都是無關緊要的，只要能正確表明各電路元件之間的連接關系即可。

當然，用集總參數電路模型描述實際電路是有條件的，它要求實際電路的尺寸l(長度)要遠遠小于電路工作時電磁波的波長λ,即

這樣，可以認為傳送到實際電路各處的電磁能量是同時到達的。這時，與電磁波的波長相比，電路尺寸可以忽略不計。從電磁場理論的觀點來看，整個實際電路可看作是電磁空間的一個點，這與經典力學中把小物體看作質點是相類似的。實際電路的幾何尺寸相差甚大。對于電力輸電線，工作頻率為50Hz，相應的波長為6000km，因而30km長的輸電線只有波長的1/200，可以看作是集總參數電路，而遠距離輸電就不能看作是集總參數電路。對于電視天線及其傳輸線來說，其工作頻率為108Hz數量級，譬如某頻道，工作頻率約為200MHz，相應的工作波長為1.5m，這時0.2m長的傳輸線也不能看作是集總參數電路。對于不符合集總化假設的實際電路，就需要用分布(distributed)參數電路理論或電磁場理論來研究，這將會在以后見到。本書只討論集中參數電路，而今后所說的“元件”、“電路”均指理想化的集總參數的元件和電路。四.電路的主要功能(function)：進行能量的傳輸、分配與轉換典型的例子是電力系統中的輸電電路。發電廠的發電機組將其他形式的能量(或熱能、或水的勢能、或原子能等)轉換成電能，通過變壓器、輸電線等輸送給各用戶負載，在那里又把電能轉換成機械能(如負載是電動機)、光能(如負載是燈泡)、熱能(如負載是電爐等)，為人們生產、生活所利用。實現信息的傳遞與處理典型的例子有電話、收音機、電視機電路。接收天線把載有語言、音樂、圖像信息的電磁波接收后，通過電路把輸入信號(又稱激勵)變換或處理為人們所需要的輸出信號(又稱響應)，送到揚聲器或顯像管，再還原為語言、音樂或圖像。五.電路分類

集總參數電路：電路尺寸遠小于電路工作時電磁波的波長。非集總參數電路：電路尺寸與電路工作時電磁波的波長可以比擬。線性電路(linear)：電路中所有元件都是線性元件（指元件參數與電流和電壓無關）。非線性電路(nonlinear)：電路中含有非線性元件。{{時變電路(time-varying)：

元件參數隨時間變化。非時變電路(time-invariant)：

元件參數與時間無關。{第一章集總參數電路中電壓、電流的約束關系§1.1電路及集總電路模型§1.2電路變量電流、電壓及功率§1.3基爾霍夫定律§1.4電阻元件§1.5電壓源§1.6電流源§1.7受控源§1.8分壓公式和分流公式§1.9兩類約束KCL、KVL方程的獨立性§1.10支路分析§1.2電路變量電流、電壓及功率電路的基本物理量

電路的特性是由電流、電壓和電功率等物理量來描述的。電路分析的基本任務就是計算電路中的電流、電壓和功率。一、電流(current)1、定義：電荷有規則的定向運動。

通常，自由電子在金屬導體內作無規則的熱運動，如下圖(a)所示，并不形成傳導電流。如果接上電源，帶負電荷的自由電子逆電場方向運動，這樣就有電荷作規則的定向運動形成傳導電流，如圖(b)所示，圖中E為電場強度(electric-fieldintensity)。電流強度(currentintensity)：單位時間內通過導體某一橫截面的電荷量，如圖所示。電流強度用i(t)表示，即式中，q(t)為通過導體橫截面的電荷量。若dq(t)/dt為常數，即是直流電流，常用大寫字母I表示。電流強度的單位是安培(A)，簡稱“安”。電流的單位及換算：安培(A)=庫侖(C)/秒(s)1A=103mA=106μA=109nA2、電流的方向：規定為正電荷運動的方向。在一些很簡單的電路中，電流的方向是顯而易見的，從電源正極流出，到電源負極。但在復雜電路里，實際電流方向并不能一看便知。

如圖所示橋形電路中，R5上的電流實際方向就不是一看便知的。不過，R5上電流的實際方向只有3種可能：(1)從a流向b;(2)從b流向a;(3)既不從a流向b,又不從b流向a(R5上電流為零)。3、電流的參考方向(referencedirection)：假定的正電荷運動的方向。參考方向可任意指定，一般用箭頭標在電路圖上，也可用雙下標表示，如iab表示參考方向由a指向b。今后若無特殊說明，就認為電路圖上所標箭頭是電流的參考方向。iab

參考方向ABi>0i<0實際方向實際方向參考方向與實際方向的關系：i

參考方向ABi

參考方向AB

大小方向(正負）電流(代數量)二、電壓(voltage)

1、定義：兩點之間的電位差。

從電場力做功概念定義，電壓就是將單位正電荷從電路中某點移到電路中另一點電場力做功的大小，用u或u(t)表示。在下圖所示參考方向下，用數學式表示，即為電壓、電位和電動勢區別：電壓的定義為：Uab=Wa－Wbq電位的定義為：Va=Wa－W0q電動勢的定義為：E=W源q三者定義式的形式相同因此它們的單位相同

電壓和電位是衡量電場力作功本領的物理量，電動勢則是衡量電源力作功本領的物理量；電路中兩點間電壓的大小只取決于兩點間電位的差值，是絕對量；電位是相對量，其高低正負取決于參考點；電動勢只存在于電源內部。IERL+_R0Sa電位V是相對于參考點的電壓。參考點的電位:Vb=0；a點電位：Va=E-IR0=IRL電壓U是反映電場力作功本領的物理量，是產生電流的根本原因。電壓的正方向規定由“高”電位指向“低”電位。電動勢E只存在于電源內部，其大小反映了電源力作功的本領。其方向規定由電源“負極”指向電源“正極”。b+

U–2、電壓的實際方向：規定為電位真正降低的方向。若正電荷由a轉移到b獲得能量，則a點為低電位（負極），b點為高電位（正極），常將這種在電路中轉移時電能的獲得稱為電壓升。反之，若正電荷由a轉移到b失去能量，則a點為高電位，b點為低電位，又稱電壓降。3、電壓參考方向：假設的電位降低方向。

電壓的參考方向也是任意指定的，一般用“+”、“-”表示，有時也用箭頭。箭頭由“+”極指向“-”極；也可用雙下標表示，如uab，表示a點為“+”極，b點為“-”極。大小、方向均恒定不變時為直流電壓，常用大寫U表示。4、關聯(associated)參考方向：同一元件中電流的參考方向和電壓的參考極性一致，即電流與電壓降參考方向一致。如圖(a)所示。這樣，在電路圖上就只需標明電流參考方向或電壓參考極性中的任何一種即可。電流、電壓參考方向相反時稱為非關聯參考方向，如圖(b)所示。(a)關聯參考方向i+-u(b)非關聯參考方向+-iu分析電路前必須選定電壓和電流的參考方向參考方向一經選定，必須在圖中相應位置標注(包括方向和符號)，在計算過程中不得任意改變參考方向不同時，其表達式相差一負號，但電壓、電流的實際方向不變。例電壓電流參考方向如圖中所標，問：對A、B兩部分電路電壓電流參考方向關聯否？答：A電壓、電流參考方向非關聯；

B電壓、電流參考方向關聯。注意＋－uBAi2、功率的計算：設t時刻采用關聯電壓、電流參考方向如圖所示，dt時間內由a轉移到b的正電量為：abu(t)i(t)1、定義：單位時間做功大小，或者說做功的速率，用符號p(t)表示。數學定義為：

三、功率(power)在轉移過程中，電荷dq失去的能量（即電路所吸收的能量）為：電路吸收電能的速率（電功率）為：abu(t)i(t)

當u、i為非關聯參考方向時：

無論關聯還是非關聯，都有：

p>0時，表明電路吸收或消耗能量

p<0時，表明電路產生能量或提供能量3、功率的參考方向－假設為能量傳輸的方向

當p、u、i為關聯參考方向時：

設t=t0時元件的能量為w(t0)，時刻t元件的能量為w(t)，對式從t0到t積分，可求得從t0到t時間內元件吸收的能量(u，i為關聯參考方向)為：

四、能量(energy)則稱該元件（或電路）是無源的(passive)，否則就稱其為有源的(active)。對于一個二端元件（或電路），如果對于所有的時刻t，有它是直到時刻t，元件吸收的能量。以上關于功率、能量的論述也適用于任何一段電路。若選t0=-∞，且假設w(-∞)=0，則

用電器銘牌數據上的電壓、電流值稱額定值，所謂額定值是指用電器長期、安全工作條件下的最高限值，一般在出廠時標定。其中額定電功率反映了用電器在額定條件下能量轉換的本領。例如額定值為“220V、1000W”的電動機，是指該電動機運行在220V電壓時、1秒鐘內可將1000焦耳的電能轉換成機械能和熱能；“220V、40W”的電燈，說明在它兩端加220V電壓時，1秒鐘內它可將40焦耳的電能轉換成光能和熱能。注意例1.

已知i=-4A，u=6V，求其功率。解：實際提供24W功率。abu(t)i(t)例2.

已知i=2A，u=-5V，求其產生的功率和0－2秒產生的電能。解：產生的電功率為0－2秒產生的電能為:abu(t)i(t)例3.

如圖所示電路，已知i=1A,u1=3V,u2=7V,u3=10V,求ab、bc、ca三部分電路各吸收的功率p1,p2,p3。解：對ab段、bc段，電壓電流參考方向關聯，所以吸收功率

對ca段電路，電壓電流參考方向非關聯，所以這段電路吸收功率

實際上ca這段電路產生功率為10W。由此例可以看出：p1+p2+p3=0,即對一完整的電路來說，它產生的功率與消耗的功率總是相等的，這稱為功率平衡。驗證電路計算結果是否正確的準則之一能量守恒定律：能量既不會憑空產生，也不會憑空消失，它只能從一種形式轉化為別的形式，或者從一個物體轉移到別的物體，在轉化或轉移的過程中其總量不變。因此，對于任何電路均有：你能確定圖示電路中電壓Uab的實際極性嗎？為什么？答案：隨著10kΩ電位器的變化，Uab的實際電壓方向會發生變化。作業一：P51:1-1,P52:1-3,1-4第一章集總參數電路中電壓、電流的約束關系§1.1電路及集總電路模型§1.2電路變量電流、電壓及功率§1.3基爾霍夫定律§1.4電阻元件§1.5電壓源§1.6電流源§1.7受控源§1.8分壓公式和分流公式§1.9兩類約束KCL、KVL方程的獨立性§1.10支路分析

基爾霍夫定律包括結點電流定律（KCL）和回路電壓（KVL）兩個定律，是集總電路必須遵循的普遍規律。基爾霍夫將物理學中的“液體流動的連續性”和“能量守恒定律”用于電路中，總結出了他的第一定律（KCL）；根據“電位的單值性原理”又創建了他的第二定律（KVL），從而解決了電路結構上整體的規律，具有普遍性。基爾霍夫兩定律和歐姆定律合稱為電路的三大基本定律。§1.3

基爾霍夫定律

1、二端元件(two-terminal)－指有兩個引出端的元件，如下圖（a）所示。具有兩個以上端子的元件稱為多端元件，像晶體管是三端元件，變壓器是四端元件等。在集總參數假設條件下，通常只關心元件端子上的特性（稱為外部特性），而不注意內部的情況。一、電路圖術語(a)二端元件(b)三端元件(c)四端元件IbIcIbIcIf+-

Uab+_R1US1+_US2R2R31123322、支路(branch)：電路圖中的每一個元件，即圖中的每一條線段，甚至某些元件的串聯組合或并聯組合，稱為支路。3、節點(node)：支路的連接點。4、路徑(path)：從某一節點出發，連續經過一些支路和節點（只能各經過一次）而到達另一節點的路線。5、回路(loop)：如果路徑的最后到達點就是出發點，這樣的閉合路徑稱為回路。6、網孔(mesh)：在平面圖中，構成回路的各支路圍成一個區域，并且在區域內部不包含支路和節點的回路稱為網孔。7、平面電路(planarcircuit)：指可畫在一個平面上且不使任何兩條支路交叉的電路。否則，稱立體或非平面(nonplanarcircuit)。（直流電路中電流）I=0i=0（任意波形的電流）任一瞬間，流向某一節點電流的代數和恒等于零。

根據電流連續性原理，電荷在任何一點均不能堆積(包括節點)。故有：數學表達式為：I1I2I3I4a–I1+I2–

I3–I4=0

若以指向結點的電流為正，背向結點的電流為負，則根據KCL，對左圖結點a則有：二、基爾霍夫電流定律(Kirchhoff’sCurrentLaw)

KCL的擴展應用仍有I=0IA+IB+IC=0

可見，在任一瞬間通過任一封閉面的電流代數和也恒等于零。IAIBIABIBCICAICABC

對A、B、C三個結點應用KCL可列出：IA=IAB–ICAIB=IBC–IABIC=ICA–IBC上列三式相加，得KCL的擴展范圍二端網絡的兩個對外引出端子上電流相等，一個流入、一個流出。只有一條支路相連時：

i=0。ABi1i3i2ABiiABi？AB1.i2i1i1

=i2+_1Ω+_1Ω1Ω3V1Ω1Ω1Ω2V2.+_1Ω+_1Ω1Ω3V1Ω1Ω1Ω2VABi4i3i3

=i4右封閉曲面上兩引出端子上電流不等，不能視為廣義結點右封閉曲面可視為廣義節點i3

=0.8Ai4=1AKCL是電荷守恒和電流連續性原理在電路中任意節點的反映；KCL是對節點支路電流所加的約束，與支路上接什么元件無關，與電路是線性還是非線性也無關；KCL方程是按電流參考方向列出的，與電流實際方向無關。當支路電流參考方向選定后，依據參考方向是流入或流出取號(流出者取正號，流入者取負號，或者反之)列寫KCL方程。KCL具有普遍意義，它適用于任意時刻、任何激勵源(直流、交流或其他任意變動激勵源)情況下的一切集總參數電路。注意！

例：如圖電路，已知i1=4A,i2=7A,i4=10A,i5=-2A,求電流i3、i6。

解：選流出節點的電流取正號。對節點b列KCL方程，有則對節點a列KCL方程，有

則

還可應用閉曲面S列KCL方程求出i6,設流出閉曲面的電流取正號，列方程

得對任何集總參數電路，在任意時刻，沿任意閉合路徑繞行，各段電路電壓的代數和恒等于零。其數學表示式為：（沿任一回路）式中，uk(t)代表回路中第k個元件上的電壓，m為回路中包含元件的個數。（代數和是指與回路繞行方向一致的支路電壓取正號，相反的取負號。）三、基爾霍夫電壓定律(Kirchhoff’sVoltageLaw)

KVL反映的是集總參數電路遵從能量守恒定律。依據KVL：

U=0I1+US1R1I4US4R4I3R3R2I2_U3U1U2U4得：-U1-US1+U2+U3+U4+US4=0–R1I1–US1+R2I2–R3I3+R4I4+US4=0–R1I1+R2I2–R3I3+R4I4=US1–US4電阻壓降可得KVL另一形式：∑IR=∑US電源壓升推論：電路中任意兩點間的電壓等于兩點間任一條路徑經過的各元件電壓的代數和。I1+US1R1I4US4R4I3R3R2I2_U3U1U2U4ABUAB沿左和沿右計算結果相同，符合電位的定義。AB··UAB=U2+U3UAB=US1+U1－US4－U4

電路中任意兩點的電壓，與繞行路徑無關。因此，可靈活運用KVL，求任意兩點間的電壓。

KVL不僅適用于電路中的具體回路，對于電路中任何一假想的回路，它也是成立的。例如對圖中假想回路B，可列如下方程：

式中ux(t)為假想元件上的電壓，這樣

例：求圖示電路中U和I。UIKCL：-3-1+2-I=0→I=-2AVAR:U1=3I=3×(-2)=-6VKVL：U+U1+3-2=0→U=5V3A3V2V3WU11A2A解：例：求圖示電路中的未知電流和未知電壓。解：對于節點(1)所以對于節點(2):所以由節點(3)得：

則：

根據KVL得：所以：又則：

電路圖的電位表示法

關于KVL的應用，也應注意兩點：

(1)KVL適用于任意時刻、任意激勵源情況的一切集總參數電路。(2)應用KVL列回路電壓方程時，首先要設回路中各元件(或各段電路)上電壓參考方向，然后選一個繞行方向(順時針或逆時針均可)，自回路中某一點開始，按所選繞行方向沿著回路“走”一圈。“走”的過程中遇各元件取號法則是：“走”向先遇元件上電壓參考方向的“+”端取正號，反之取負號，即屬電壓降時取正號。

1、歐姆定律解決的是元件上電壓、電流的約束關系，這種約束取決于支路元件的性質，與電路結構無關；KCL和KVL解決的是電路結構上電壓、電流的約束關系，取決于電路的連接形式，與支路元件的性質無關。2、應用KCL解題首先約定電流的參考方向，其目的是為了給出方程式中各項取正、負號的依據。若計算結果為負值，說明該電流的實際方向與電路圖上標示的參考方向相反。小結第一章集總參數電路中電壓、電流的約束關系§1.1電路及集總電路模型§1.2電路變量電流、電壓及功率§1.3基爾霍夫定律§1.4電阻元件§1.5電壓源§1.6電流源§1.7受控源§1.8分壓公式和分流公式§1.9兩類約束KCL、KVL方程的獨立性§1.10支路分析§1.4

電阻元件

1、定義：一個二端元件，如果在任意時刻t，不論電壓或電流的波形如何，兩端電壓u與流經它的電流i之間存在代數關系，也即這一關系能用u~i平面（或i~u平面）上的曲線所確定，就稱為二端電阻元件，簡稱電阻元件(resistor)，其數學表達式為：如圖曲線就是某電阻的特性曲線，它表明了電阻兩端電壓與流過它電流間的約束關系(VoltageCurrentRelationship，簡稱為VCR，或稱伏安關系VAR，VoltAmpereRelation)。

常用的各種二端電阻器件電阻器晶體二極管

2、分類：如果電阻元件的電壓電流關系(VCR或伏安關系VAR)不隨時間變化，稱為時不變的，否則稱為時變的；如過伏安特性是通過原點的直線，即電阻值不隨其上電壓或電流數值變化，則稱為線性的，否則稱為非線性的。

a)線性時不變電阻b)線性時變電阻c)非線性時不變電阻d)非線性時變電阻

本課程主要研究線性時不變電阻，即元件阻值不隨時間t變化。3、線性時不變電阻：其伏安特性是u~i平面上一條通過原點的直線，如下圖(b)所示。在電壓、電流參考方向關聯（圖(a)）條件下,其電壓與電流的關系就是熟知的歐姆定律(Ohm‘sLaw,簡記OL)，即：這就是電阻的VCR（VAR）。4、有源電阻和無源電阻：

從電阻元件能否發出功率角度出發，可以把電阻分為無源電阻和有源電阻。線性正電阻是無源電阻；線性負電阻是有源電阻。一般來說，特性曲線落入一、三象限的電阻為無源電阻，否則就是有源電阻。電阻的倒數稱電導(conductance)，以符號G表示，即電導的單位是西門子，簡稱西(S)。應用電導表示電流與電壓之間關系時，歐姆定律可寫為：如果電阻R上的電流電壓參考方向非關聯，則歐姆定律公式中應加負號，即：注！這里的“-”號不是負電阻。

線性電阻的兩種特殊情況——開路和短路。(a)開路的電壓電流關系曲線。(b)短路的電壓電流關系曲線。二極管符號5、非線性電阻元件事例――二極管理想化后二極管uiui6、電阻元件上消耗的功率與能量

電阻R吸收的功率：

或

電導G吸收的功率：

或

電阻吸收的能量與時間區間相關。設從t0~t區間電阻R吸收的能量為w(t),它就等于從t0到t對它吸收功率p(t)的積分，即：

若從-∞直到時刻t，電阻吸收的能量：由以上可見，對于通常所說的電阻（即R≥0，G≥0）恒有：

p(t)≥0，w(t)≥0

這表明，在任何時刻，（正）電阻都不可能發出功率（或能量），它吸收的電磁能量全部轉換為其它形式的能量。所以，（正）電阻不僅是無源元件而且是耗能元件。當R<0(或G<0)時，p≤0，這表明負電阻可以發出功率。

例：某學校有5個大教室，每個教室配有16個額定功率為40W、額定電壓為220V的日光燈管，平均每天用4h(小時)，問每月(按30天計算)該校這5個大教室共用電多少kW·h?

解：kW·h讀作千瓦小時，它是計量電能的一種單位。1000W的用電器加電使用1h，它所消耗的電能為1kW·h，即日常生活中所說的1度電。為保證不因電流過大，溫度過高燒壞設備，制造工廠在電器名牌上標出的電壓、電流或功率的限額稱為額定值。第一章集總參數電路中電壓、電流的約束關系§1.1電路及集總電路模型§1.2電路變量電流、電壓及功率§1.3基爾霍夫定律§1.4電阻元件§1.5電壓源§1.6電流源§1.7受控源§1.8分壓公式和分流公式§1.9兩類約束KCL、KVL方程的獨立性§1.10支路分析§1.5電壓源電路中的耗能器件或裝置有電流流動時，會不斷消耗能量，因此，電路中必須有提供能量的器件或裝置——電源。電源的種類很多，常用的直流電源有干電池、蓄電池、直流發電機、直流穩壓電源和直流穩流電源等。為了得到各種實際電源的電路模型，定義了兩種理想的電路元件——電壓源和電流源。一、電壓源定義：不管外部電路如何，兩端電壓保持定值或一定的時間函數的電源。

二、電壓源模型

三．伏安關系：u(t)=uS(t)

i(t)=任意值注意！電壓源的端電壓與電流常采用非關聯參考方向。說明：1）理想電壓源的端電壓與流經它的電流方向、大小無關，即使流經它的電流為無窮大，其兩端電壓仍為固定值，如圖(b)所示。若理想電壓源us(t)=0,實際相當于短路。如果us(t)隨時間變化，則平行于電流軸的直線也隨之改變位置，如圖(c)所示。2）理想電壓源的端電壓由自身決定，而流經它的電流由它及外電路共同決定，即輸出電流隨外電路變化。電流可以從不同方向流過電源，因此，理想電壓源既可以對電路提供能量(起電源作用)，也可以從外電路接受能量(當作其他電源的負載)，由流經理想電壓源電流的實際方向而定。3）理論上講，極端情況下，理想電壓源可以供出無窮大能量，也可以吸收無窮大能量。開路I=0US+_RL+_U=USI=∞US+_RL短路+_U=0理想電壓源不允許短路！關聯參考方向下+UI+UIP發=－UIP吸=UI非關聯參考方向下P發=UIP吸=－

UI四.電壓源的開路與短路五、電壓源的功率電壓源的兩種工作狀態：零值電壓源：零值電壓源相當于一條短路線。

+-USI1.吸收功率，作為負載工作。+-USI2.產生功率，作為電源工作。+-uSabiabi例:

圖示電路中，A部分電路為電壓源,Us=6V;B部分電路即負載電阻R是電壓源Us的外部電路，它可以改變。電流I、電壓U參考方向如圖中所標。求：(1)R=∞時的電壓U，電流I，Us電壓源產生的功率Ps;(2)R=6Ω時的電壓U，電流I，Us電壓源產生的功率Ps;(3)當R→0時電壓U，電流I，Us電壓源產生的功率Ps。

解(1)R=∞時即外部電路開路，Us為理想電壓源，所以

依據歐姆定律：

(2)R=6Ω時

Us產生的功率

(3)當R→0時，顯然

例：圖示電路中，B部分電路是由電阻R與另一電壓源Us2=12V串聯構成，作為A部分電路Us1=6V電壓源的外部電路，電壓U、電流I參考方向如圖中所標。求：R→0時電流I、Us1吸收功率Ps1。

解：a點電位Va=6V,b點電位Vb=12V，電壓Uab=Va-Vb=6-12=-6V，根據歐姆定律，得電流

此時Us1吸收功率

理想電壓源Us1供出的電流為負值，在R→0極端情況下，Us1電壓源吸收功率為無窮大。

在R→0時第一章集總參數電路中電壓、電流的約束關系§1.1電路及集總電路模型§1.2電路變量電流、電壓及功率§1.3基爾霍夫定律§1.4電阻元件§1.5電壓源§1.6電流源§1.7受控源§1.8分壓公式和分流公式§1.9兩類約束KCL、KVL方程的獨立性§1.10支路分析定義：不管外部電路如何，輸出電流為定值或一定時間函數的電源。模型：伏安特性：

(u為任意值)§1.6電流源(1)電流源發出的電流i(t)=is(t)與其兩端電壓大小、方向無關，即使兩端電壓為無窮大。(2)理想電流源的輸出電流由它本身決定，而它兩端電壓則由本身的輸出電流與外部電路共同決定。(3)理論上講，理想電流源可以供出無窮大能量，也可以吸收無窮大能量。說明：電流源的兩種工作狀態：零值電流源：零值電流源相當于開路。

1.吸收功率，作為負載工作。2.產生功率，作為電源工作。UISUISuiSababu例:

圖示電路中，A部分電路為直流理想電流源Is=2A,B部分電路即負載電阻R為理想電流源Is的外部電路。設U、I參考方向如圖中所標，求：(1)R=0時電流I，電壓U及Is電流源產生的功率Ps;(2)R=3Ω時電流I，電壓U及Is電流源產生的功率Ps;(3)R→∞時電流I，電壓U及Is電流源產生功率Ps。

解(1)R=0時即外部電路短路，Is為理想電流源，所以電路由歐姆定律算得電壓

對Is電流源來說，I、U參考方向非關聯，所以Is電流源產生功率(2)R=3Ω時，電流

電壓

Is電流源產生功率

(3)當R→∞時，根據理想電流源定義

例已知iS=3A，

us=5V，R＝5，求Pus、Pis、PR。

+-uSiSRu1u2解：（吸收）（實際產生）（吸收）作業P54:10,P55:12,P57:21,P59:34第一章集總參數電路中電壓、電流的約束關系§1.1電路及集總電路模型§1.2電路變量電流、電壓及功率§1.3基爾霍夫定律§1.4電阻元件§1.5電壓源§1.6電流源§1.7受控源§1.8分壓公式和分流公式§1.9兩類約束KCL、KVL方程的獨立性§1.10支路分析§1.7受控源1.定義所謂受控源，是指大小、方向受電路中其它地方電壓或電流控制的電源，即電壓源的電壓或電流源的電流不是確定的時間函數，而是受電路中其它支路電壓或電流控制。受控源是有源二端口元件，其中，一個是電源端口(又稱輸出端)，輸出電壓us或電流is，能提供功率；另一個是控制端口(又稱輸入端)，控制電壓為uC或控制電流為iC。+–受控電壓源受控電流源2.符號3.受控源與獨立源比較獨立源電壓(或電流)由電源本身決定，與電路中其它支路電壓、電流無關，而受控源電壓(或電流)由控制量決定。獨立源在電路中起“激勵”作用，在電路中產生電壓、電流，而受控源反映電路中某處的電壓或電流對另一處電壓或電流的控制關系，在電路中不能作為“激勵”。4.實際電路中的受控現象三極管IbIc

根據控制量是電壓還是電流，受控電源是電壓源還是電流源，受控源有四種基本形式：電壓控制電壓源(VCVS)、電流控制電壓源(CCVS)、電壓控制電流源(VCCS)和電流控制電流源(CCCS)

，其電路符號分別如下圖所示，受控源符號用菱形表示。5.受控源模型U1電壓控電壓源+-U電壓控電流源U1I2電流控電流源I2I1I1+-電流控電壓源U

VCVS：uS(t)=μuc(t)CCVS：uS(t)=riC(t)iC(t)=0，－轉移電壓比uc(t)=0，r－轉移電阻VCCS：is(t)=g

uc(t)CCCS：is(t)=αic(t)iC(t)=0，g－轉移電導uc(t)=0，

－轉移電流比

6.受控源的VARU1VCVS+-UVCCSU1I2CCCSI2I1I1+-CCVSU說明：前面各受控源表達式中的μ、r、g、α均是控制系數，其中μ和α無量綱，r和g分別具有電阻和電導的量綱。當這些系數為常數時，被控電源數值與控制量成正比，這種受控源稱為線性時不變受控源。受控源的VAR為代數方程，因此，受控源也稱為雙口有源電阻元件。受控源有兩個端口，但由于控制口的功率恒為零（即當電壓uc控制時，控制口電流iC為零；當電流iC控制時，控制口電壓uC為零），它不是開路就是短路。所以，在電路圖中，不一定要專門畫出控制口，只要在控制支路中標明該控制量即可，如圖(a)(b)，兩者本質是相同的，但圖(a)簡單明了。求受控源的功率例1：7.例題

受控源是有源元件，在電路中它可能放出電能，也可能吸收電能。解：（吸收）例2：對圖示電路，求ab端開路電壓Uoc、電壓源產生的功率及受控源產生的功率。解

設電流I1參考方向如圖中所標，由KCL，得

對回路A應用KVL列方程

將(1)代入(2)式，解得

由歐姆定律得開路電壓

(1)(2)所以

p受＝8I×Uoc＝144Wp源＝I×Us＝20W

例3：下圖是放大器的簡化模型。已知R1=2Ω，R2=15Ω，α=4，輸入電壓ui=2cost(V)，求輸出電壓uo。

解對于節點b，根據KCL，考慮到i2=ai1，有i3=i1+i2=(1+a)i1輸入電壓：ui=R1i3=R1(1+a)i1輸出電壓：uo=-R2

i2=-R2ai1所以即(V)

可見，輸入電壓被放大到6倍，但極性相反。第一章集總參數電路中電壓、電流的約束關系§1.1電路及集總電路模型§1.2電路變量電流、電壓及功率§1.3基爾霍夫定律§1.4電阻元件§1.5電壓源§1.6電流源§1.7受控源§1.8分壓公式和分流公式§1.9兩類約束KCL、KVL方程的獨立性§1.10支路分析1.電路等效的概念

電路等效是指：若B與C具有相同的電壓電流關系，即相同的VAR，則稱B與C互為等效。§1.8分壓公式和分流公式

利用電路的等效可以簡化電路，能更方便地求出如圖所示A(也就是電路未變化的部分)中的電流、電壓、功率。2.電阻的串聯分壓

（1）電阻的串聯等效

圖(a)的VAR為圖(b)的VAR為所以：等效電阻

結論：電阻串聯，其等效電阻等于相串聯各電阻之和。

（2）電阻串聯的分壓若已知串聯電阻兩端的總電壓，求相串聯各電阻上的電壓，稱分壓。

由歐姆定律，得：

由圖(b)的VAR可得：兩個電阻串聯時的分壓公式：

同樣：

結論：1.串聯各電阻分壓大小與其阻值成正比，即電阻值越大所分電壓越大。2.串聯電阻電路消耗的總功率等于相串聯各電阻消耗功率之和，且阻值越大消耗功率越大。

（3）n個電阻串聯分壓

總電阻：分壓公式：例1：對如圖所示微安計與電阻串聯組成的多量程電壓表，已知微安計內阻R1=1kΩ，各檔分壓電阻分別為R2=9kΩ，R3=90kΩ，R4=900kΩ；這個電壓表的最大量程(用端鈕“0”、“4”測量，端鈕“1”、“2”、“3”均斷開)為500V。試計算表頭所允許通過的最大電流及其他量程的電壓值。

解：

當用“0”、“4”端測量時，電壓表的總電阻

假如這時所測的電壓恰為500V(這時表頭也達到滿量程)，則通過表頭的最大電流：

當開關在“1”檔時(“2”、“3”、“4”端鈕斷開)

當開關在“2”檔時(“1”、“3”、“4”端鈕斷開)

當開關在“3”檔時(“1”、“2”、“4”端鈕斷開)

由此可見，直接利用該表頭測量電壓，它只能測量0.5V以下的電壓，而串聯了分壓電阻R2、R3、R4以后，作為電壓表，它就有0.5V、5V、50V、500V四個量程，實現了電壓表的量程擴展。

電阻并聯后總電導和電阻：分流公式：兩電阻并聯，有，3.電阻的并聯分流

電阻并聯后各電阻分流大小與阻值成反比，阻值越大分流越小。

并聯電阻電路消耗的總功率等于相并聯各電阻消耗功率之和，但阻值越大消耗功率越小。

由此可得：，例2：多量程電流表如圖所示，已知表頭內阻RA=2300Ω，量程為50μA，各分流電阻分別為R1=1Ω，R2=9Ω,R3=90Ω。求擴展后各量程。

解：基本表頭偏轉滿刻度為50μA。當用“0”、“1”端鈕測量時，“2”、“3”端鈕開路，這時RA、R2、R3是相串聯的，而R1與它們相并聯.同理，用“0”、“2”端測量時，“1”、“3”端開路，這時流經表頭的電流仍應為50μA，由分流公式得：所以

當用“0”、“3”端測量時，“1”、“2”端開路，這時流經表頭的電流IA(滿刻度)仍是0.05mA則有

由此例可以看出，直接利用該表頭測量電流，它只能測量0.05mA以下的電流，而并聯了分流電阻R1、R2、R3以后，作為電流表，它就有120mA、12mA、1.2mA三個量程，實現了電流表的量程擴展。

定義：既有電阻串聯又有電阻并聯的電路稱為混聯電路。判別混聯電路的串并聯關系應掌握3點：(1)看電路的結構特點。(2)看電壓電流關系。(3)對電路作變形等效。求解步驟：逐步用分流、分壓公式求各元件電流和電壓。4.電阻的混聯例3：求圖(a)電路ab端的等效電阻。

解：將短路線壓縮，c、d、e三個點合為一點，如圖(b)，再將能看出串并聯關系的電阻用其等效電阻代替，如圖(c)，由(c)圖就可方便地求得：

這里，“∥”表示兩元件并聯，其運算規律遵守該類元件并聯公式。

例4：如圖所示電路中，已知：求：I、I1、U2。解：////例5：惠斯頓電橋電路如圖所示。當電流Ig=0時，稱之為電橋平衡。試求電橋平衡的條件。解：由于電橋平衡時Ig＝0，所以I1=I3,I2=I4,則由分壓公式得：又由于電橋平衡時，所以因此：由此可得：這一條件就是要求的電橋平衡條件。當滿足這一條件時：作業P57:23,24,27,P58:28第一章集總參數電路中電壓、電流的約束關系§1.1電路及集總電路模型§1.2電路變量電流、電壓及功率§1.3基爾霍夫定律§1.4電阻元件§1.5電壓源§1.6電流源§1.7受控源§1.8分壓公式和分流公式§1.9兩類約束KCL、KVL方程的獨立性§1.10支路分析拓撲約束和元件約束是解決集總電路問題的基本依據。1.兩類約束（1）拓撲約束：指組成網絡的各個節點間電流以及回路間電壓相互制約的關系，且這些約束關系僅決定于網絡的結構（互連形式），而與網絡中各支路元件的電特性無關。拓撲約束由基爾霍夫定律(KCL和KVL)體現。（2）元件約束：即每種元件自身對電壓和電流所形成的約束，這種約束通過用VAR體現。§1.9兩類約束KCL、KVL方程的獨立性（1）（2）（3）（4）

將以上4個方程相加，結果為零，故它們是非獨立方程組。但不難驗證，其中任意3個方程可組成獨立方程組。

對于如圖所示電路的節點1、2、3、4可列出KCL方程(電流流出節點取“+”號，流入取“-”號)為：2.KCL方程的獨立性結論：若電路中有n個節點，則只能得到（n-1）個獨立的KCL方程。因為任一條支路一定與電路中兩個節點相連，它上面的電流總是從一個節點流出，流向另一個節點。如果對所有n個節點列KCL方程時，規定流出節點的電流取正號，流入節點的電流取負號，每一個支路電流在n個方程中一定出現兩次，一次為正號(+ij),一次為負號(-ij),若把這n個方程相加，它一定是等于零的恒等式，即：

式中：n表示節點數；(∑i)k表示第k個節點電流代數和；表示對n個節點電流和再求和；表示b條支路一次取正號，一次取負號的電流和。

上式說明依KCL列出的n個KCL方程不是相互獨立的。但從這n個方程中任意去掉一個節點電流方程，則與該節點相連的各支路電流在余下的n-1個節點電流方程中只出現一次。如果將剩下的n-1個節點電流方程相加，其結果不可能恒為零，所以這n-1個節點電流方程是相互獨立的。

習慣上，把電路中能列出相互獨立方程的節點稱為獨立節點。

（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）3.KVL方程的獨立性

同樣，將上述各方程相加，結果也為0，說明相互之間不獨立。如何得到獨立KVL回路？方法1.每選一個回路，讓該回路包含新的支路，選滿L個為止。（如上例中1、3、7回路。）

方法2.對平面電路，L個網孔就是一組獨立回路。（如上例中1、2、4回路。）結論：若電路有n個節點，b條支路，則有L＝(b-n+1)個獨立KVL方程。與獨立KVL方程對應的回路稱為獨立回路。第一章集總參數電路中電壓、電流的約束關系§1.1電路及集總電路模型§1.2電路變量電流、電壓及功率§1.3基爾霍夫定律§1.4電阻元件§1.5電壓源§1.6電流源§1.7受控源§1.8分壓公式和分流公式§1.9兩類約束KCL、KVL方程的獨立性§1.10支路分析§1.10支路分析1.電路分析的典型問題給定了電路結構、元件特性以及電路的激勵(各獨立電源的電壓或電流），如何求出各支路的響應(支路電壓或支路電流)。2b分析法

如果電路有b條支路，n個節點，則電路共有2b個支路電壓和電流未知量。根據兩類約束可列出所需的2b個聯立方程從而解出2b個支路電壓、電流。這種方法稱為2b分析法。

當然，如果在b條支路中，獨立電壓源支路及獨立電流源支路總數為bs，則未知電壓、電流數將減少為2b-bs。2b分析法的缺點是求解聯立方程組的工作量太大。1b分析法

其基本思路是先求解支路電流或電壓，再求解支路電壓或電流的分析方法。此時，求解聯立方程數量只有b個，可大大減少工作量。

1b分析法中，以支路電流為變量，建立聯立方程組求解電路的方法稱為支路電流法。同理，以支路電壓為變量，建立聯立方程組求解電路的方法稱為支路電壓法。支路分析法2b分析法和1b分析法由于均立足于支路，故合稱為支路分析法。2.支路電流分析法支路電流分析法是以支路電流作為電路的變量，直接應用基爾霍夫電壓、電流定律，列出與支路電流數目相等的獨立節點電流方程和回路電壓方程，然后聯立解出各支路電流的一種方法。以下圖例說明其方法和步驟：（1）該電路有6個支路，即m=6，則支路電流有i1、i2….I6共六個。（2）節點數n=4，可列出3個獨立的節點方程。(3)根據KVL列回路方程時，獨立方程數l=6-(4-1)=3，其獨立回路就選3個網孔，選定繞行方向后，由KVL列出3個獨立的回路方程。回路1-3：(4)將六個獨立方程聯立求解，得到各支路電流。計算結果，如果支路電流值為正，則表示實際電流方向與參考方向相同；如果某一支路的電流值為負，則表示實際電流方向與參考方向相反。(5)根據電路的要求，可進一步求出其他待求量，如支路或元件上的電壓、功率等。例：用支路電流法求解下圖所示電路中各支路電流及各電阻上吸收的功率。解：（1）求各支路電流。該電路有三條支路、兩個節點。首先指定各支路電流的參考方向，如圖所示。列出節點電流方程如下：節點①

–

?

1+?

2+

?

3=0選取獨立回路，并指定饒行方向，列回路方程如下：回路1

7

?1+11?

2=6–70=–64回路2

-11i2+7i3=-6聯立求解，得到：

?

1=–6A

?

2=–2A

?

3=–4A支路電流?1、?2、?3的值為負，說明?1、?2、?3的實際方向與參考方向相反。

（2）求各電阻吸收的功率。電阻R1吸收的功率：

電阻R2吸收的功率：電阻R3吸收的功率：本章小結一.電路模型與電路中基本變量1.電路模型在集總假設的條件下，定義一些理想電路元件(如R、L、C等)，這些理想電路元件在電路中只起一種電磁性能作用，它有精確的數學解析式描述，也規定有模型表示符號。對實際的元器件，根據它應用的條件及所表現出的主要物理性能，對其作某種近似與理想化(要有實際工程觀點)，用所定義的一種或幾種理想元件模型的組合連接，構成實際元器件的電路模型。若將實際電路中各實際部件都用它們的模型表示，這樣所畫出的圖稱為電路模型圖(又稱電路原理圖)。

2.電路中的基本變量1)電流電荷有規則的定向移動，其大小用電流強度表示，單位為安(A);規定正電荷運動的方向為電流的實際方向；假定正電荷運動的方向為電流的參考方向。2)電壓兩點之間電位之差。用移動單位正電荷電場力做功來定義，即u=dw/dq，單位為伏(V)；規定電位真正降低的方向為電壓的實際方向；假定電位降低的方向為電壓的參考方向。在分析電路時，所用到的電流、電壓均必須首先設定它們的參考方向。

3)功率

做功的速率，即p=dw/dt，單位是瓦(W)。對二端電路(其內可以是單個電路元件，也可以是由若干電路元件組合連接構成)，若電壓電流參考方向關聯，該段電路吸收功率p吸=ui,供出功率p供=-ui(供出功率也稱產生功率)；若電壓電流參考方向非關聯，則計算該段電路吸收功率和供出功率公式與參考方向關聯時均差一負號。

二.電源

三.基本定律

定律名稱描述對象定律形式應用條件OL電阻(電導)u=Ri(i=Gu)線性電阻(電導)；u、i參考方向關聯，非關聯時公式中加一負號KCL節點∑i(t)=0任何集總參數電路(含線性、非線性、時變、時不變電路)KVL回路∑u(t)=0(同KCL)四.電路等效

1.等效定義兩部分電路B與C，若對任意外電路A，二者相互代換后能使外電路A中有相同的電壓、電流和功率，則稱B與C互為等效。2.等效條件B與C電路具有相同的VAR。3.等效對象任意外電路A中的電流、電壓、功率。4.等效目的簡化電路，方便分析(求解)。作業P58:30,P59:32,33,P61:36第一篇：總論和電阻電路的分析第一章集總電路中電壓、電流的約束關系第二章網孔分析和節點分析第三章疊加方法與網絡函數第四章分解方法及單口網絡§2.1網孔分析法§2.2互易定理§2.3節點分析法§2.4含運算放大器的電阻電路§2.5電路的對偶性第二章網孔分析和節點分析§2-1網孔分析法

第一章在KVL的獨立性一節中說過，對于具有b條支路和n個結點的平面電路，它的(b-n+1)個網孔電流是一組獨立電流變量。因此，通過用網孔電流作變量建立電路方程進行分析的方法，稱為網孔分析法。求出網孔電流后，用KCL可求出全部支路電流，再用VCR可求出全部支路電壓。一、網孔電流

網孔電流是指設想在每個網孔中沿著構成該網孔的各支路循環流動的假想電流，如下圖實線箭頭所示。

網孔電流是一組完備的獨立變量，即求出網孔電流后，所有支路電路均可通過網孔電流得到。例如下圖中：

i1=iAi2=iB

i3=iC二、網孔電流方程及列寫規律

設下圖中網孔電流分別為iA,iB,iC,，參考方向即為列寫方程的繞行方向。按網孔可列出三個獨立的KVL方程。網孔A

R1iA+R5iA+R5iB+R4iA-R4iC+us4-us1=0網孔B

R2iB+R5iA+R5iB+R6iB+R6iC-us2=0網孔C

R3iC-R4iA+R4iC+R6iC+R6iB-us4-us3=0

規律（以第一式為例）：

iA前的系數(R1+R4+R5)恰好是網孔A內所有電阻之和，稱它為網孔A的自電阻，以符號R11表示；

iB前的系數(+R5)是網孔A和網孔B公共支路上的電阻，稱為網孔A與網孔B的互電阻，以符號R12表示。由于流過R5的網孔電流iA、iB方向相同，故R5前為“+”號；

iC前系數(-R4)是網孔A與網孔C的互電阻，以R13表示。由于流經R4的網孔電流iA、iC方向相反，故R4前取“-”號；

等式右端us1-us4表示網孔A中電壓源的代數和，以符號us11表示；計算us11時遇到各電壓源的取號法則是，在繞行中先遇到電壓源正極性端取負號，反之取正號。其它兩式也具有相同的規律。

由此可歸納總結出應用網孔分析法得到具有3個網孔電路的方程通式(一般式)，即：

如果電路有m個網孔，也不難得到列寫網孔方程的通式為：

…寫成矩陣的形式：

：網孔i與網孔j的公共電阻，稱為互電阻，可正可負。當該兩網孔電流在公共電阻上的方向一致時，互電阻為正，反之，互電阻為負；

矩陣中：

：主對角線上的電阻，稱為自電阻，恒為正，為第i個網孔中所有電阻之和；等式右邊為網孔中電壓升的代數和。

若每個網孔電流的方向一律按順時針或逆時針方向繞行，則互電阻均為負值。當電路中不含受控源時，R矩陣（稱為電阻矩陣）為對稱矩陣；含受控源時，R矩陣不對稱。網孔分析法步驟：

1．在電路圖上標明網孔電流及參考方向。若全部網孔電流均選順時針(或逆時針)方向，則網孔方程的全部互電阻項均取負號。

2．用觀察電路圖的方法直接寫出各網孔方程。3．求解網孔方程，得到各網孔電流。4．設定支路電流參考方向。根據支路電流與網孔電流的關系，求出各支路電流。5．用VCR方程求出各支路電壓。

求下圖電路中的電壓

uab。三、含受控源電路網孔電流方程的列寫

設網孔電流iA,iB如圖所示。觀察電路，應用方程通式列基本方程如下：

（1）（2）

將(2)式代入(1)式并化簡整理，得：

（3）解(3)方程組，得：

所以：

列出下圖電路的網孔電流方程。四、含電流源電路網孔電流方程的列寫

本例中電流源支路屬于一個網孔，且該網孔電流是已知的，因而可省掉該網孔的KVL方程。求圖示電路各支路電流。

本題兩個網孔公共支路上有一電流源，可將圖(a)電路伸縮扭動變形，使理想電流源所在支路單獨屬于一個網孔，如圖(b)所示。電流源支路單獨屬于網孔B，并設B網孔電流iB

與is方向一致，則：

因此，只需列出網孔A方程即可求解。網孔A的方程為：

所以：

進