第三章“數列”教材分析本章是數列，特別是等差數列與等比數列，有著較為廣泛的實際應用如各種產品尺寸常要分成若干等級，當其中的最大尺寸與最小尺寸相差不大時，常按等差數列進行分級，比如鞋的尺碼；當其中的最大尺寸與最小尺寸相差較大時（這種情況是多數），常按等比數列進行分級，比如汽車的載重量、包裝箱的重量等.特別值得一提的是，數列在產品尺寸標準化方面有著重要作用.數列在整個中學數學教學內容中，處于一個知識匯合點的地位，很多知識都與數列有著密切聯系，過去學過的數、式、方程、函數、簡易邏輯等知識在這一章均得到了較為充分的應用，而學習數列又為后面學習數列與函數的極限等內容作了鋪墊?課本采取將代數、幾何打通的混編體系的主要目的是強化數學知識的內在聯系，而數列正是在將各知識溝通方面發揮了重要作用由于不少關于恒等變形、解方程（組）以及一些帶有綜合性的數學問題都與等差數列、等比數列有關，學習這一章便于對學生進行綜合訓練，從而有助于培養學生綜合運用知識解決問題的能力-本章教學約需17課時，具體分配如下：數列 約2課時等差數列 約2課時等差數列前n項和 約2課時等比數列 約2課時等比數列前n項和 約2課時研究性課題：分期付款中的有關計算 約3課時小結與復習 約4課時一、內容與要求本章從內容上看，可以分為數列、等差數列、等比數列三個部分在數列這一部分，主要介紹數列的概念、分類，以及給出數列的兩種方法.關于數列的概念，先給出了一個描述性定義，爾后又在此基礎上，給出了一個在映射、函數觀點下的定義，指出：“從映射、函數的觀點看，數列可以看作是一個定義域為正整數集（或它的有限子集）的函數當自變量從小到大依次取值時對應的一列函數值”.這樣就可以將數列與函數聯系起來，不僅可以加深對數列概念的理解，而且有助于運用函數的觀點去研究數列關于給出數列的兩種方法，其中數列的通項公式，教材已明確指出它就是相應函數的解析式點破了這一點，數列與函數的內在聯系揭示得就更加清楚此外，正如并非每一函數均有解析表達式一樣，也并非每一數列均有通項公式（有通項公式的數列只是少數），因而研究遞推公式給出數列的方法可使我們研究數列的范圍大大擴展遞推是數學里的一個非常重要的概念和方法，數學歸納法證明問題的基本思想實際上也是“遞推”在數列的研究中，不僅很多重要的數列是用遞推公式給出的，而且它也是獲得一個數列的通項公式的途徑：先得出較為容易寫出的數列的遞推公式，然后再根據它推得通項公式但是，這項內容也是極易膨脹的，例如研究用遞推公式給出的數列的性質，從數列的遞推公式推導通項公式等，這樣就會加重學生負擔?考慮到學生是在高一學習，我們必須牢牢把握教學要求，只要能初步體會一下用遞推方法給出數列的思想，能根據遞推公式寫出一個數列的前幾項就行了.在等差數列這一部分，在講等差數列的概念時，突出了它與一次函數的聯系，這樣就便于利用所學過的一次函數的知識來認識等差數列的性質：從圖象上看，為什么表示等差數列的各點都均勻地分布在一條直線上，為什么兩項可以決定一個等差數列（從幾何上看兩點可以決定一條直線）,在推導等差數列前n項和的公式時，突出了數列的一個重要的對稱性質：與任一項前后等距離的兩項的平均數都與該項相等，認識這一點對解決問題會帶來一些方便在等比數列這一部分，在講等比數列的概念和通項公式時也突出了它與指數函數的聯系,這不僅可加深對等比數列的認識，而且可以對處理某類問題的指數函數方法和等比數列方法進行比較，從而有利于對這些方法的掌握二、本章的特點（一）在啟發學生思維上下功夫本章內容，是培養學生觀察問題、啟發學生思考問題的好素材，使學生在獲得知識的基礎上，觀察和思維能力得到提高在問題的提出和概念的引入方面，為了引起學生的興趣，在本章的“前言”里用了一個有關國際象棋棋盤的古代傳說作為引入的例子它用一個涉及求等比數列的前n項和的麥粒數的計算問題給學生造成了一個不學本章知識、難獲問題答案的懸念，又在學了等比數列后回過頭來解開這個懸念；在講等差數列與等比數列的概念時，都是先寫出幾個數列，讓學生先觀察它們的共同特點，然后在歸納共同特點的基礎上給出相應的定義在推導結論時，注意發揮它們在啟發學生思維方面的作用例如在講等差數列前n項和的公式時，沒有平鋪直敘地推導公式，而是先提出問題：1+2+3+...+100=?，并指出著名數學家高斯10歲時便很快算出它的結果，以激發學生的求解熱情，然后讓學生在觀察高斯算法的基礎上，發現上述數列的一個對稱性質：任意第k項與倒數第k項的和均等于首末兩項的和，從而為順利地推導求和公式鋪平了道路.在例題、習題的表述方面，適當配備了一些采用疑問形式的題，以增加問題的啟發成分，如3.3例4：“已知數列的通項公式為ajpn十q，其中p、q是常數，那么這種數列是否一定是等差數列？如果是，其首項與公差是什么？”又如:“如果一個數列既是等差數列，又是等比數列，那么這個數列有什么特點？”這樣就增加了題目的研究性在講有些例題時，加了一小段“分析”，通過不多的幾句話點明解題的思路如對于上面提到的“3.3例4”，加的一段“分析”是：“由等差數列定義，要判定｛。/是不是等差數列，只要看an+1-an是不是一個與n無關的常數就行了”.話雖不多，但突出了“從定義出發”這種最基本的證明方法.（二）加強了知識的應用除了上面提到的“研究性課題”多具有應用性的特點以外還在教材中適當增加了一些應用問題.如在“閱讀材料”里介紹了有關儲蓄的一些計算；在所增加的應用問題里還涉及房屋拆建規劃、繞在圓盤上的線的長度等（三）呼應前面的邏輯知識，加強了推理論證的訓練考慮到《新大綱》更加重視對學生邏輯思維能力的培養，且在前面第一章已介紹了“簡易邏輯”，為進行推理論證作了準備，緊接著又在第二章“函數”里進行了一定的推理論證訓練，因此本草在推理論證方面有所加強（四）注意滲透一些重要的數學思想方法由于本章處在知識交匯點的地位，所蘊含的數學思想方法較為豐富，教材在這方面也力求充分挖掘.教材注意從函數的觀點去看數列，在這種整體的、動態的觀點之下使數列的一些性質顯現得更加清楚，某些問題也能得到更好的解決，例如“復習參考題B組第2題”便是一個典型例子*方程或方程組的思想也是體現得較為充分的，不少的例、習題均屬這種模式：已知數列滿足某某條件，求這個數列這類問題一般都要通過列出方程或方程組.然后求解關于遞推的思想方法，不僅在數列的遞推公式里有所體現觀察、歸納、猜想、證明等思想方法的組合運用在本章里得到了充分展示．為學生了解它們各自的作用、相互間的關系并進行初步運用提供了條件.三、教學中應注意的幾個問題（一）把握好本章的教學要求由于本章聯系的知識面廣，具有知識交匯點的特點，在應試教育的“一步到位”的教育思想的影響下，本章的教學要求很容易拔高，過早地進行針對“高考”的綜合性訓練，從而影響了基本內容的學習和加重了學生負擔事實上，學習是一個不斷深化的過程作為在高一（上）學習的這一章，應致力于打好基礎并進行初步的綜合訓練，在后續的學習中通過對本章內容的不斷應用來獲得鞏固和提高,最后在高三數學總復習時，通過知識的系統梳理和進一步的綜合訓練使對本章內容的掌握上升到一個新的檔次為此，本章教學中應特別注意一些容易膨脹的地方,例如在學習數列的遞推公式時，不要去搞涉及遞推公式變形的論證、計算問題，只要會根據遞推公式求出數列的前幾項就行了；在研究數列求和問題時，不要涉及過多的技巧.（二）有意識地復習和深化初中所學內容對于初中學過的多數知識.在高中沒有系統深入學習的機會而初中內容是學習高中數學的必要基礎，因而在學習高中內容時有意識地復習、深化初中內容顯得特別重要?本章是高中數學的第三章，距離初中數學較近，與初中數學的聯系最廣，因而教學中應在溝通初、高中數學方面盡可能多地作一些努力（三）適當加強本章內容與函數的聯系適當加強這種聯系，不僅有利于知識的融匯貫通，加深對數列的理解，運用函數的觀點和方法解決有關數列的問題，而且反過來可使學生對函數的認識深化一步,比如，學生在此之前接觸的函數一般是自變量連續變化的函數，而到本章接觸到數列這種自變量離散變化的函數之后，就能進一步理解函數的一般定義，防止了前面內容安排可能產生的學生認識上的負遷移；本章內容與函數的聯系涉及以下幾個方面.數列概念與函數概念的聯系.相應于數列的函數是一種定義域為正整數集（或它的前n個數組成的有限子集）的函數，它是一種自變量“等距離”地離散取值的函數從這個意義上看，它豐富了學生所接觸的函數概念的范圍但數列與函數并不能劃等號，數列是相應函數的一系列函數值,基于以上聯系，數列也可用圖象表示，從而可利用圖象的直觀性來研究數列的性質.數列的通項公式實際上是相應因數的解析表達式?而數列的遞推公式也是表示相應函數的一種方式，因為只要給定一個自變量的值n,就可以通過遞推公式確定相應的f（n）這也反過來說明作為一個函數并不一定存在直接表示因變量與自變量關系的解析式.等差數列與一次函數、二次函數的聯系.從等差數列的通項公式可以知道，公差不為零的等差數列的每一項an是關于項數n的一次函數式,于是可以利用一次函數的性質來認識等差數列例如，根據一次函數的圖象是一條直線和直線由兩個點唯一確定的性質，就容易理解為什么兩項可以確定一個等差數列+此外，首項為、、公差為d的等差數列前n項和的公式可以寫為:S=na+n^dn1 2即當d豐0時，Sn是n的二次函數式，于是可以運用二次函數的觀點和方法來認識求等差數列前n項和的問題.如可以根據二次函數的圖象了解Sn的增減變化、極值等情況..等比數列與指數型函數的聯系.由于首項為、、公比為q的等比數列的通項公式可以寫成一a（1一qn）,八S=t （q中1）它與指數函數y=ax有著密切聯系，從而可利用n 1一q指數函數的性質來研究等比數列.（四）注意等差數列與等比數列的對比，突出兩類數列的基本特征等差數列與等比數列在內容上是完全平行的，包括：定義、性質（等差還是等比）、通項公式、前n項和的公式、兩個數的等差（等比）中項*具體問題里成等差（等比）數列的三個數的設法等,因此在教學與復習時可采用對比方法，以便于弄清它們之間的聯系與區別順便指出，一個數列既是等差數列又是等比數列的充要條件是它是非零的常數列.教學中應強調，等差數列的基本性質是“等差”，等比數列的基本性質是“等比”，這是我們研究有關兩類數列的主要出發點，是判斷、證明一個數列是否為等差（等比）數列和解決其他問題的一種基本方法要讓學生注意，這里的“等差”（“等比”），是對任意相鄰兩項來說的.上述基本性質，引申出兩類數列的一種對稱性：即與數列中的任一項“等距離”的兩項之和（之積）等于該項的2倍（平方）.利用上述性質，常使一些問題變得簡便對于學有余力的學生，還可指出等差數列與等比數列描述了兩種最簡單、最重要的變化：等差數列描述的是一種絕對均勻變化，等比數列描述的是一種相對均勻變化非均勻變化通常要轉化或近似成均勻變化來進行研究，這就成為教材之所以重點研究等差數列與等比數列的主要原因所在?（五）注意培養學生初步綜合運用觀察、歸納、猜想、證明等方法的能力綜合運用觀察、歸納、猜想、證明等方法研究數學，是一種非常重要的學習能力.事實上，在問題探索求解中，常常是先從觀察入手，發現問題的特點，形成解決問題的初步思路；然后用歸納方法進行試探，提出猜想；最后采用證明方法（或舉反例）來檢驗所提出的猜想.應該指出，能夠充分進行上述研究方法訓練的素材在高中數學里并非很多，而在本章里卻多次提供了這種訓練機會，因而在教學中應該充分利用，不要輕易放過，（六）在符號使用上與國家標準一致為便于與國際交流，關于量和單位的新國家標準中規定自然數集N=｛0,1,2.3,……｝，即自然數從。開始.這與長期以來的習慣用法不同，會使我們感到別扭.但為了不與上述規定抵觸，教學中還是要將過去的習慣用法改變過來，稱數集｛1,2,3,…｝為正整數集.下課啦，咱們來聽個小故事吧:活動目的：教育學生懂得“水”這一寶貴資源對于我們來說是極為珍貴的，每個人都要保護它，做到節約每一滴水，造福子孫萬代。活動過程：.主持人上場，神秘地說：“我讓大家猜個謎語，你們愿意嗎？”大家回答：“愿意！”主持人口述謎語：“雙手抓不起，一刀劈不開，煮飯和洗衣，都要請它來。”主持人問：“誰知道這是什么？”生答：“水！”一生戴上水的頭飾上場說：“我就是同學們猜到的水。聽大家說，我的用處可大了，是真的嗎？”主持人：我宣布：“水”是萬物之源主題班會現在開始。水說：“同學們，你們知道我有多重要嗎？”齊答：“知道。”甲：如果沒有水，我們人類就無法生存。小熊說：我們動物可喜歡你了，沒有水我們會死掉的。花說：我們花草樹木更喜歡和你做朋友，沒有水，我們早就枯死了，就不能為美化環境做貢獻了。主持人：下面請聽快板《水的用處真叫大》竹板一敲來說話，水的用處真叫大；洗衣服，洗碗筷，洗臉洗手又洗腳，煮飯洗菜又沏茶，生活處處離不開它。栽小樹，種莊稼，農民伯伯把它夸；魚兒河馬大對蝦，日日夜夜不離它；采煤發電要靠它，京城美化更要它。主持人：同學們，聽完了這個快板，你們說水的用處大不大？甲說：看了他們的快板表演，我知道日常生活種離不了水。乙說：看了表演后，我知道水對莊稼、植物是非常重要的。丙說：我還知道水對美化城市起很大作用。.主持人：水有這么多用處，你們該怎樣做呢？（1）（生）：我要節約用水，保護水源。（2）（生）：我以前把水壺剩的水隨便就到掉很不對，以后我一定把喝剩下的水倒在盆里洗手用。（3）（生）：前幾天，我看到了學校電視里轉播的“水日談水”的節目，很受教育，同學們看得可認真了，知道了我們北京是個缺水城市，我們再不能浪費水了。（4）（生）：我要用洗腳水沖廁所。.主持人：大家談得都很好，下面誰想出題考考大家，答對了請給點掌聲。（1）（生）：小明讓爸爸刷車時把水龍頭開小點，請回答對不對。（2）（生）：小蘭告訴奶奶把洗菜水別到掉，留沖廁所用。（3）一生跑上說：主持人請把手機借我用用好嗎？我想現在就給姥姥打個電話，告訴她做飯時別把淘米水到掉了，用它沖廁所或澆花用。（電話內容略寫）（4）一生說：主持人我們想給大家表演一個小品行嗎？主持人：可以，大家歡迎！請看小品《這又不是我家的》大概意思是：學校男廁所便池堵了，水龍頭又大開，水流滿地。學生甲乙丙三人分別上廁所，看見后又皺眉又罵，但都沒有關水管，嘴里還念念有詞，又說：“反正不是我家的。”旁白：“那又是誰家的呢？”主持人：看完這個小品，你們有什么想法嗎？誰愿意給大家說說？甲：剛才三個同學太自私了，公家的水也是大家的，流掉了多可惜，應該把水龍頭關上。乙：上次我去廁所看見水龍頭沒關就主動關上了。主持人：我們給他鼓鼓掌，今后你們發現水龍頭沒關會怎樣做呢？齊：主動關好。小記者：同學們，你們好！我想打擾一下，聽說你們正在開班會，我想采訪一下，行嗎？主持人：可以。小記者：這位同學，你好！通過參加今天的班會你有什么想法，請談談好嗎？答：我要做節水的主人，不浪費一滴水。小記者：請這位同學談談好嗎？答：今天參加班會我知道了節約每一滴水要從我們每個人做起。我想把每個廁所都貼上“節約用水”的字條，這樣就可以提醒同學們節約用水了。小記者：你們談得很好，我的收獲也很大。我還有新任務先走了，同學們再見！水跑上來說：同學們，今天我很高興，我“水伯伯”今天很開心，你們知道了有了我就有了生命的源泉，請你們今后一定節約用水呀！讓人類和動物、植物共存，迎接美好的明天！主持人：你們還有發言的嗎？答：有。生：我代表人們謝謝你，水伯伯，節約用水就等于保護我們人類自己。動物：小熊上場說：我代表動物家族謝謝你了，我們也會保護你的！花草樹木跑上場說：我們也不會忘記你的貢獻！水伯伯：（手舞足蹈地跳起了舞蹈）……同學們的笑聲不斷。主持人：水伯伯，您這是干什么呢？水伯伯：因為我太高興了，今后還請你們多關照我呀！主持人：水伯伯，請放心，今后我們一定會做得更好！再見！.主持人：大家歡迎老師講話！同學們，今天我們召開的班會非常生動，非常有意義。水是生命之源，無比珍貴，愿同學們能加倍珍惜它，做到節約一滴水，造福子孫后代。.主持人宣布：“水”是萬物之源主題班會到此結束。.活動效果：此次活動使學生明白了節約用水的道理，浪費水的現象減少了，宣傳節約用水的人增多了，人人爭做節水小標兵活動目的：教育學生懂得“水”這一寶貴資源對于我們來說是極為珍貴的，每個人都要保護它，做到節約每一滴水，造福子孫萬代。活動過程：.主持人上場，神秘地說：“我讓大家猜個謎語，你們愿意嗎？”大家回答：“愿意！”主持人口述謎語：“雙手抓不起，一刀劈不開，煮飯和洗衣，都要請它來。”主持人問：“誰知道這是什么？”生答：“水！”一生戴上水的頭飾上場說：“我就是同學們猜到的水。聽大家說，我的用處可大了，是真的嗎？”主持人：我宣布：“水”是萬物之源主題班會現在開始。水說：“同學們，你們知道我有多重要嗎？”齊答：“知道。”甲：如果沒有水，我們人類就無法生存。小熊說：我們動物可喜歡你了，沒