“數學是無窮的科學”——赫爾曼.外爾第三章冪級數展開1學習要求與內容提要目的與要求：掌握復數項級數、冪級數、泰勒級數、與洛朗級數的概念、性質及基本計算方法、孤立奇點的概念及判定、零點與極點的關系。重點：難點：函數展開成泰勒級數與洛朗級數函數展開成洛朗級數2

無窮級數：一無窮多個數構成的數列w1，w2，w3，wn，寫成w1+w2+w3+wn+就稱為無窮級數。這僅是一種形式上的相加。這種加法是不是具有‘和數’呢？這個‘和數’的確切意義是什么？

為什么要研究級數？(1)級數可作為函數的表達式，是研究函數的工具；(2)常微分方程的級數解。

研究級數需關心的問題：(1)級數的斂散性，收斂的定義、條件、判據；(2)收斂級數或一致收斂級數所具有的性質等。33.1復數項級數(一)復數項級數定義

形如

的表達式被稱為復數項級數，其中是復數。部分和級數最前面n+1項的和4復數項級數的收斂:即為兩個實數項級數極限存在并有限收斂性問題若在區域內某一點z0點，前n項和極限存在,那么級數在z0點收斂，為該無窮級數的和；否則稱為發散。例1解5絕對收斂定義若收斂，則稱絕對收斂

注1：一個絕對收斂的復級數的各項可以任意重排次序,而不改變其絕對收斂性,亦不改變其和.收斂的充要條件

柯西判據：對于任一小的正數

，必存在一

N

使得

n>N

時有式中

p

為任意正整數.注2：級數絕對收斂的充分必要條件是實數項級數與都絕對收斂。6絕對收斂級數判別法：

的每一項都是復數的模，即正實數，所以它實際上就是正項級數，這樣復數項級數絕對收斂的判別法即正項級數收斂的判別法。注3：兩個絕對收斂級數的和，積，仍絕對收斂。7解所以原級數發散.

例3所以原級數收斂.

8（二）復變函數項（簡稱函數項）級數：設復變函數列wk(z)定義在區域B上，則由wk(z)構成的級數稱函數項級數當選定z的一個確定值時，函數項級數變成一個復數項級數。

由于函數項級數定義在區域B上，所以它的收斂的概念是相對于這個定義域而言的。910一致收斂條件-柯西判據函數項級數收斂條件-柯西判據

函數項級數在其定義域B中的收斂條件可由柯西判據判定：

對于任意給定的正數

，必存在一N(z)使得n>N(z)時有則函數項級數收斂，但N(z)

與復變量z有關。11一致收斂級數的性質

性質1：若wk(z)在B內連續，函數級數在B內一致收斂，則和函數w(z)也是B內的連續函數。

性質2：若級數在區域B內的分段光滑曲線l上一致收斂，且wk(z)為l上的連續函數，則級數可沿l逐項積分：這個性質說明：如果級數的每一項都是連續函數，則一致收斂級數可以逐項求極限。12絕對一致收斂131415這是一種特殊形式的常用函數項級數。3.2冪級數冪級數：通項為冪函數的級數:（一）定義16（二）冪級數的斂散性2.收斂半徑的求法達朗貝爾判別法（比值法）:那末收斂半徑,0lim

11=+￥?lkkkaa如果

1.阿貝爾Abel第一定理

如果級數在z0點收斂，那么在以a點為圓心，為半徑的圓內絕對收斂，而上一致收斂。

如果級數在z1點發散，則在內處處發散。17

證由于分析：（1）級數的柯西判據,所以18所以收斂半徑為注意:冪級數在收斂圓上的斂散性需具體分析?。?）當CRz0·R19如果:即(極限不存在),20方法2:

根值法那末收斂半徑,0lim

1=￥?lkkka如果說明:(與比值法相同)如果214.復變冪級數在收斂圓內的性質那么設冪級數的收斂半徑為?￥=-00)(kkkzza是收斂圓內的解析函數。(1)?￥=-=0)()(

kkkz0zazw它的和函數Rz0z<-22(2)在收斂圓內可以逐項積分,

)(zw即?òò￥=<-?-=0.,d)(d)(kckkcRazczz0zazzw

且可表為連續函數的回路積分。23記

CR1上點為，CR1內任一點為

z，則圓上的冪級數可寫為利用柯西公式用有界函數相乘后，在CR1上一致收斂,24且冪級數在收斂圓內可任意逐項求導證:冪級數乘以(3)在收斂圓內的導數可將其冪級數逐項求導得到,)(zw.)()(11?￥=--=￠kkkz0zkazw即Rz0z<-25故收斂半徑例1求冪級數的收斂半徑:解26解所以例2求的收斂半徑.27例3計算解28思考思考題答案不一定。冪級數在收斂圓周上的斂散性如何斷定?由于在收斂圓周上確定,可以依復數項級數斂散性討論。思考題答案29§3.23.(1)（4）(5）4.(1)(3)本講作業30(一)問題的引入問題:任一個解析函數能否用冪級數來表達？3.3泰勒級數展開思路:1區域內任一個解析函數能用它在邊界上回路積分表示（柯西積分公式），2

冪級數又可表為連續函數的回路積分。31(二)泰勒展開定理其中泰勒級數定理設在區域內解析,為

內的一為到的邊界上各點的最短距離,那末點,時,成立,當?￥=-=00)()(kkkzzazfLL,2,1,0),(!10)(==kzfkakk32,

)(

內解析在區域設函數Bzf

0內以為zB

,為中心的任一圓周,,CRB記為它與它的內部全包含于.內任意點如圖:.CRrz=-0z圓周由柯西積分公式,有其中

CR

取正方向。為了得到冪級數，我們展開公式的“核”為z-z0冪的幾何級數：33則,

,

的內部在點上取在圓周因為積分變量CRzCRz.1

00<--zzzz所以用有界函數相乘并積分得34?ò=+-ú?ùê?é-=0010)()(d)(π21)(

∞kkCRkzzzfizfzzz由高階導數公式:我們即可得泰勒級數的泰勒展開式。在L,)(!10)(zfkakk=35;,00級數稱為麥克勞林級數時當=z

因為解析，可以保證無限次可各階導數的連續性;注意：所以復變函數展為泰勒級數的實用范圍就要比實變函數廣闊的多。說明:問題：利用泰勒級數可以將函數展開為冪級數，展開式是否唯一？36當展開點：z1=z0時：即因此,解析函數展開成冪級數的結果是唯一的。L+-+-+=212110)()()(zzbzzbbzf,)(1L+-+kkzzbL

)(1另有一不同泰勒級數:設在zzf,)(!10)(zfkakk=bk=分析：37(三)將函數展開成泰勒級數常用方法:

直接法和間接法.1.直接法:由泰勒展開定理計算系數.

)(

0展開成冪級數在將函數zzf例1，故有38,

在復平面內處處解析因為ze。

￥=R所以級數的收斂半徑2.間接展開法:借助于一些已知函數的展開式,結合解析函數的性質,冪級數運算性質(逐項求導,積分等)和其它數學技巧(代換等),求函數的泰勒展開式。間接法的優點:不需要求各階導數與收斂半徑,因而比直接展開更為簡潔,使用范圍也更為廣泛。39例2.

0

sin

的泰勒展開式在利用間接展開法求=zz40附:常見函數的泰勒展開式4142例3解上式兩邊逐項求導,,11)1(12-==+zzz上有一奇點在由于,,1區域內解析即在<z故可在其解析區域內展開成的冪級數z43例4*分析如圖,-1OR=1xy.

1

的冪級數內可以展開成所以它在zz=,

1

,

1

)1ln(

是它的一個奇點平面內是解析的向左沿負實軸剪開的在從--+z44即

將展開式兩端沿

l逐項積分,得解,

0

1

的曲線到內從為收斂圓設zzl<45復1解復習而被積函數可在|z|<1圓（區域）內展開為冪級數（解析和函數）由積分關系可知：46復2解即微分方程對微分方程逐次求導得:L,)(!10)(zfkakk=47483.4解析延拓解析延拓：將解析函數定義域加以擴大（一）解析延拓例;冪級數：在以z=0為圓心的單位圓B內代表一個解析函數，令為級數的收斂域B即解析函數定義域半徑R=1

。在單位圓B內，取一點z0=i/2

為圓心進行泰勒展開這級數的收斂域b的半徑為49上例說明，收斂域b跨出原來的收斂域B之外，而級數(1)在收斂域B內.b代表解析函數

f2(z)，于是稱f2(z)為f1(z)在

b內的解析延拓。定義：若f1(z)和f2(z)分別在B,b內解析，且在B與b重疊的區域中有f1(z)=f2(z)，則稱f2(z)為f1(z)在b中的解析延拓，f1(z)為f2(z)在B中的解析延拓?？梢宰C明，無論采用何種方法，函數f(z)的解析延拓是唯一的。這樣，可以采用某些最方便的方法來進行解析延拓。Bb50首先在B1內任取一點

z0，將f1

(z)在

z0

的鄰域展開成泰勒級數設級數的收斂區域為B2。如果B2超出了B1的范圍。由于在B1和B2的重疊區域f1(z)=

f2(z)，所以f2(z)就是f1(z)在

B2中的解析延拓。這樣不斷作下去，得到一系列的解析元素{Bn,fn(z)}

(n=2,3...)。一個解析元素{Bn,fn(z)}

的全部解析延拓的集合，稱為

f1(z)所產生的完全解析函數F(z)，F(z)的定義域是鄰解析元素給出的定義域的總和。(二)解析延拓的方法1采用泰勒級數展開法的解析延拓51稱下列含參量的積分為格馬(Gamma)函數（寫作Γ函數）

：它在物理學中經常出現，又稱為第二類歐拉積分，下面用它為例討論采用函數關系的解析延拓方法。2用函數關系的解析延拓：Γ函數52（1）Γ函數在定義域Rez>0內連續且可導（2）遞推公式Γ函數的性質對進行分部積分，可得遞推公式1.積分區間為無窮;Γ函數特點:2.當

z-

1<0時，t=0為奇點;53（3）解析延拓設f1(z)=Γ(z),定義域B1.由遞推公式：右邊成立的條件：Re(z+1)>0,z≠0

?B2:{Rez>-1,z≠0}在B1中：f1(z)=f2(z)?f2

(z)是f1

(z)在中的解析延拓.54（4）的其他形式令t=y2,有令t=py,就有同理在B2中：f2(z)=f3(z)?f3(z)是f2

(z)在中的解析延拓.55例1計算解5657奇、偶函數的泰勒級數有什么特點?思考題奇函數的泰勒級數只含z的奇次冪項,偶函數的泰勒級數只含z的偶次冪項.答案思考58§3.3(1)（3）(6）(8)本講作業593.5洛朗級數展開(一)問題的引入60例1.都不解析,但在圓環域及內都是解析的.而1,1112<+++++=-zzzzzkLL:10

內在圓環域<<z所以,121LL++++++=-kzzzz即內可以展開成冪級數.61[]LL+-++-+-+-=kzzzz)1()1()1(1112.)1()1()1(1)1(121L+-+-+-++-=--kzzzz由此推想，若f(z)在R

2<z-z0<R1

內解析,f(z)可以展開成含有負冪次項的級數,即雙邊冪級數內，在圓環域110<-<z62負冪項部分正冪項部分主要部分解析部分同時收斂收斂kkkzza)(.10-?￥-￥=雙邊冪級數=-?￥=-￥=kkkkzza)(0kkkkkkzzazza)()(0001-+-??￥=-￥=-本節將討論在以z0為中心的圓環域內解析的函數的級數表示法。它是后面將要研究的解析函數在孤立奇點鄰域內的性質以及定義留數和計算留數的基礎。63收斂半徑收斂域收斂半徑收斂域兩收斂域無公共部分,兩收斂域有公共部分D:raaR1aR2Df(z)=f1(z)+f2(z)64結論:.常見的特殊圓環域:...的收斂區域為雙邊冪級數kkkzza)(0-?￥-￥=.102RzzR<-<圓環域65(二)洛朗級數定理C為圓環域內繞的任一正向(逆時針）簡單閉曲線.

,)()(0kkkzzazf-=?￥-￥=內處處解析，在環形域設

)(

102RzzRzf<-<內可展開成洛朗級數在那末Bzf

)(

為洛朗系數.66Bzz0證對于第一個積分(CR1):.z...67對于第二個積分:所以

因為.z...68則69則

對于C為在圓環域內繞的任何一條正向簡單kkkkkkzzazza-￥=-￥=-+-=??)()(0100.)(0kkkzza-=?￥-￥=閉曲線.可用一個式子表示為:kkaa-與70說明:函數在圓環域內的洛朗展開式在圓環域內的洛朗(Laurent)級數.1)2)某一圓環域內的解析函數展開為含有正、負冪項的級數是唯一的，這就是

f(z)的洛朗級數.定理給出了將圓環域內解析的函數展為洛朗級數的一般方法.kkkzzazf)()(0-=?￥-￥=71(三)函數的洛朗展開式常用方法:1.直接法2.間接法

1.直接展開法利用定理公式計算系數缺點:計算往往很麻煩.),2,1,0(d)()(π2110L±±=-=ò+kzfiaCkkzzz然后寫出.)()(0kkkzzazf-=?￥-￥=根據正、負冪項組成的級數的唯一性,可用代數運算、代換、求導和積分等方法去展開.優點:簡捷,快速.2.間接展開法72例2解由定理知:,)(kkkzazf?￥-￥==而zzzd)()(π2110ò+-=Ckkzfiazzzdπ213ò+=Ckei故由柯西定理知:由解析函數的高階導數公式知:0=k≤-3a,

2

時則-3k,

3

時當-￡k,

2在圓環域內解析zez目標求ak由柯西定理我們知道閉合回路C內不含奇點時ak=0.所以，我們要分析上式被積函數的解析性。73zzzdπ213ò+=Ckkeia022)(dd)!2(1=++ú?ùê?é+=zzkkezk)!2(1+=k?￥-=+=2)!2()(

kkkzzf故另解：直接展開ez74例3內是處處解析的,試把f(z)在這些區域內展開成洛朗級數.解:

)2)(1(1)(

在圓環域函數--=zzzf

,

10

)1內在<<z間接展開法75oxy1=)(

zf所以LL+++++=-nzzzz2111則,1<z由于12<z從而7612oxy由且仍有

,

21

)2內在<<z772oxy由此時,

2

)3內在￥<<z)(

zf于是78仍有,121

<<zz此時)(

zf故79注意:奇點但卻不是函數的奇點.本例中圓環域的中心是各負冪項的說明:1.函數在以為中心的圓環域內的洛朗級數中盡管含有的負冪項,而且又是這些項的奇點,但是可能是函數的奇點,也可能的奇點.不是802.給定了函數與復平面內的一點以后,函數在各個不同的圓環域中有不同的洛朗展開式(包括泰勒展開式作為它的特例).81解

例4.

0

sin

0洛朗級數的去心鄰域內展開成在將函數=zzz823.6孤立奇點的分類定義：若函數f(z)在點z0處不解析（或沒有定義），但在點z0的某個空心鄰域內解析，則稱點z0為f(z)的孤立奇點。(一)孤立奇點的概念例1是函數的孤立奇點.是函數的孤立奇點.注意:

孤立奇點一定是奇點,但奇點不一定是孤立奇點.83例2

指出函數在點的奇點特性.解即在的不論怎樣小的去心鄰域內,

的奇點存在,

函數的奇點為總有不是孤立奇點.所以，因為01lim=p￥?kk84

定義

設z0是解析函數f(z)的孤立奇點，f(z)在點z0的某去心鄰域

內的羅朗展式為

(1)若展式中不含有z-z0的負冪項，則稱z0為f(z)的可去奇點；

(2)若展式中只含有z-z0的有限(m)項負冪項，則稱z0是f(z)的極點，稱m為極點z0的階，按照m=1或m＞1，稱z0是f(z)的單極點或m階的極點；

(3)若展式中含有z-z0的無窮多個負冪項，則稱z0為f(z)的本性奇點。(二)孤立奇點的分類85其和函數為在解析的函數.說明:(1)(2)無論在是否有定義,補充定義則函數在解析.1．可去奇點如果洛朗級數中不含的負冪項,那末孤立奇點稱為的可去奇點.1)定義,)(0的孤立奇點若是zfz.)()()(0010LL+-++-+=kkzzazzaazf,)(00azf=?íì=1=000,,)()(zzazzzFzf862)可去奇點的判定(1)由定義判斷:的洛朗級數無負在如果冪項則為的可去奇點.(2)

判斷極限若極限存在且為有限值,則為的可去奇點.如果補充定義:時,那末在解析.例3中不含負冪項,是的可去奇點.87例4

說明為的可去奇點.解

所以為的可去奇點.無負冪項另解

的可去奇點.為882.極點

其中關于的最高冪為即階極點.那末孤立奇點稱為函數的或寫成1)定義

如果洛朗級數中只有有限多個的負冪項,1012020)()()()(-------+-++-=zzazzazzazfmmLL+-++)(010zzaa)0,1(13-mam89說明:1.2.特點:(1)(2)的極點,則為函數如果例5有理分式函數是二階極點,是一階極點.L+-+-+=+-+--20201)()()(zzazzaazgmmm內是解析函數在d<-0zz902)極點的判定方法的負冪項為有的洛朗展開式中含有限項.在點的某去心鄰域內其中在的鄰域內解析,且(1)由定義判別(2)由定義的等價形式判別(3)利用極限判斷.91本性奇點3.如果洛朗級數中含有無窮多個那末孤立奇點稱為的本性奇點.的負冪項,例如，含有無窮多個z的負冪項特點:在本性奇點的鄰域內不存在且不為同時不存在.為本性奇點，所以0=z92(三)函數在無窮遠點的性態1.定義如果函數在無窮遠點的去心鄰域內解析,則稱點為的孤立奇點.Rxyo93令變換規定此變換將:映射為擴充

z平面擴充

t平面映射為映射為映射為???è?=tfzf1)(則942結論:在去心鄰域內對函數的研究在去心鄰域內對函數的研究因為在去心鄰域內是解析的,所以是的孤立奇點.3規定:

m階奇點或本性奇點.的可去奇點、m階奇點或本性奇點,如果

t=0

是是的可去奇點、那末