1LinearSystemTheory

Lecture6北京交通大學先進控制系統研究所張嚴心講授電話：51683974辦公室：9號樓西503xxxtll2015zyx@126.com密碼：xxxtll2015第五章系統的運動穩定性Lyapunov意義下的運動穩定性（針對一般非線性系統）線性時變系統的穩定性判定線性定常系統的穩定性線性系統外部穩定性與內部穩定性之間的關系為什么要研究平衡點的穩定性問題概述一個自動控制系統要能正常工作,必須首先是一個穩定的系統。電機自動調速系統中保持電機轉速為一定的能力以及火箭飛行中保持航向為一定的能力等。具有穩定性的系統稱為穩定系統。穩定性的定義為：當系統受到外界干擾后,顯然它的平衡被破壞,但在外擾去掉以后,它仍有能力自動地在平衡態下繼續工作。如果一個系統不具有上述特性，則稱為不穩定系統。分析控制系統的穩定性,一直是控制理論中所關注的最重要問題。在經典控制理論中,借助于常微分方程穩定性理論,產生了許多穩定性判據,如勞斯-赫爾維茨(Routh-Hurwitz)判據和奈奎斯特判據等，都給出了既實用又方便的判別系統穩定性的方法。但這些穩定性判別方法僅限于討論SISO線性定常系統輸入輸出間動態關系,討論的是線性定常系統的有界輸入有界輸出(BIBO)穩定性,未研究系統的內部狀態變化的穩定性。也不能推廣到時變系統和非線性系統等復雜系統。對于非線性或時變系統,雖然通過一些系統轉化方法,上述穩定判據尚能在某些特定系統和范圍內應用,但是難以勝任一般系統。Lyapunov穩定性定理控制系統的穩定性,通常有兩種定義方式：外部穩定性：是指系統在零初始條件下通過其外部狀態,即由系統的輸入和輸出兩者關系所定義的外部穩定性。經典控制理論討論的確有界輸入有界輸出穩定即為外部穩定性

。內部穩定性：是關于動力學系統的內部狀態變化所呈現穩定性,即系統的內部狀態穩定性。本節討論的Lyapunov穩定性即為內部穩定性。外部穩定性只適用于線性系統,內部穩定性不但適用于線性系統,而且也適用于非線性系統。對于同一個線性系統,只有在滿足一定的條件下兩種定義才具有等價性。1892年,俄國學者Lyapunov發表題為“運動穩定性一般問題”的著名文獻,建立了關于運動穩定性研究的一般理論。Lyapunov理論得到極大發展,在數學、力學、控制理論、機械工程等領域得到廣泛應用。Lyapunov把分析一階常微分方程組穩定性的所有方法歸納為兩類。第一類方法是將非線性系統在平衡態附近線性化,然后通過討論線性化系統的特征值(或極點)分布及穩定性來討論原非線性系統的穩定性問題。這是一種較簡捷的方法,與經典控制理論中判別穩定性方法的思路是一致的。該方法稱為間接法,亦稱為Lyapunov第一法。第二類方法不是通過解方程或求系統特征值來判別穩定性,而是通過定義一個叫做Lyapunov函數的標量函數來分析判別穩定性。由于不用解方程就能直接判別系統穩定性,所以第二種方法稱為直接法,亦稱為Lyapunov第二法。5.1Lyapunov穩定性的定義系統穩定性是系統的一種本質特征，不隨系統變換而改變,可通過系統反饋和綜合加以控制。在經典控制理論中,討論的是在有界輸入下,是否產生有界輸出的輸入輸出穩定性問題。從經典控制理論知道,線性系統的輸入輸出穩定性取決于其特征方程的根,與初始條件和擾動都無關,而非線性系統則不然。非線性系統的穩定性是相對系統的平衡態而言,我們很難籠統地討論非線性系統在整個狀態空間的穩定性。對于非線性系統,其不同的平衡態有著不同的穩定性,故只能分別討論各平衡態附近的穩定性。對于穩定的線性系統,由于只存在唯一的孤立平衡態,所以只有對線性系統才能籠統提系統的穩定性問題。Lyapunov穩定性理論討論的是動態系統各平衡態附近的局部穩定性問題。它是一種具有普遍性的穩定性理論,不僅適用于線性定常系統,而且也適用于非線性系統、時變系統、分布參數系統。首先討論Lyapunov穩定性理論的基礎--Lyapunov穩定性定義。5.1.1系統的運動與平衡點沒有外輸入作用時的系統通常稱這類系統為自治系統。自治系統的狀態方程描述：其中，x為

維狀態向量；f(…)為n維向量函數。系統為線性由初始狀態x0所引起的運動為稱其為系統的受擾運動。系統,如果存在

某個狀態

，滿足

則稱為系統的一個平衡點或平衡狀態。平衡狀態即是系統方程的常數解，或系統的一種靜止的運動。系統也可有非零平衡狀態。

對于孤立平衡狀態，總是可以通過移動坐標系而將其轉換為空間的原點，所以在許多情形下常可以假定平衡狀態

為原點。由于非線性系統的Lyapunov穩定性具有局部性特點,因此在討論穩定性時,通常還要確定平衡態的穩定鄰域(區域)。例1

定常線性系統容易求得其平衡點集為從定義可知,平衡態即指狀態空間中狀態變量的導數向量為零向量的點(狀態)。由于導數表示的狀態的運動變化方向,因此平衡態即指能夠保持平衡、維持現狀不運動的狀態,如右圖所示。Lyapunov穩定性研究的平衡態附近(鄰域)的運動變化問題。若平衡態附近某充分小鄰域內所有狀態的運動最后都趨于該平衡態,則稱該平衡態是漸近穩定的;若發散掉則稱為不穩定的,若能維持在平衡態附近某個鄰域內運動變化則稱為穩定的,如圖所示。顯然,對于線性定常系統x’=Ax的平衡態xe是滿足下述方程的解。Axe=0當矩陣A為非奇異時,線性系統只有一個孤立的平衡態xe=0;而當A為奇異時,則存在無限多個平衡態,且這些平衡態不為孤立平衡態,而構成狀態空間中的一個子空間。對于非線性系統,通常可有一個或幾個孤立平衡態,它們分別為對應于式f(x,t)0的常值解。例如,對于非線性系統其平衡態為下列代數方程組的解,即下述狀態空間中的三個狀態為其孤立平衡態。5.1.2Lyapunov意義下的穩定性先引入如下幾個數學名詞和符號：范數球域然后介紹Lyapunov意義下的穩定性的定義。范數在數學上定義為度量n維空間中的點之間的距離。對n維空間中任意兩點x1和x2,它們之間距離的范數記為||x1-x2||。由于所需要度量的空間和度量的意義的不同,相應有各種具體范數的定義。在工程中常用的是2-范數,即歐幾里德范數,其定義式為其中x1,i和x2,i分別為向量x1和x2的各分量。2)

球域以n維空間中的點xe為中心,在所定義的范數度量意義下的長度為半徑內的各點所組成空間體稱為球域,記為S(xe,),即S(xe,)包含滿足||x-xe||的n維空間中的各點x。5.1.2

Lyapunov意義下的運動穩定性定義所謂系統運動的穩定性，就是研究其平衡狀態的穩定性，也即偏離平衡狀態的受擾運動能否只依靠系統內部的結構因素而返回到平衡狀態，或者限制在它的一個有限鄰域內。

注1：穩定性不是直接對系統而言的，而是針對系統的平衡狀態而言的。對一般的動力學系統，“系統穩定與否”是沒有意義的。注2：穩定性定義中的初始時刻---一致性問題

穩定性、漸近穩定性以至于全局漸近穩定性的定義都與初始時刻有關。同一系統不同起始時刻的運動完全可能有著不同的穩定性。初始時刻的影響決定了穩定性是否一致的問題。注3：穩定性定義中的吸收域定義中表征了穩定平衡狀態所允許的初值擾動范圍，稱為平衡狀態的吸收域。它決定了穩定的全局性和局部性。Lyapunov第一法又稱間接法,它是研究動態系統的一次近似數學模型(線性化模型)穩定性的方法。它的基本思路是:首先,對于非線性系統,可先將非線性狀態方程在平衡態附近進行線性化,即在平衡態求其一次Taylor展開式,然后利用這一次展開式表示的線性化方程去分析系統穩定性。其次,解出線性化狀態方程組或線性狀態方程組的特征值,然后根據全部特征值在復平面上的分布情況來判定系統在零輸入情況下的穩定性。下面將討論Lyapunov第一法的結論以及在判定系統的狀態穩定性中的應用。設所討論的非線性動態系統的狀態方程為x’=f(x)其中f(x)為與狀態向量x同維的關于x的非線性向量函數,其各元素對x有連續的偏導數。欲討論系統在平衡態xe的穩定性,先必須將非線性向量函數f(x)在平衡態附近展開成Taylor級數,即有其中A為nn維的向量函數f(x)與x間的雅可比矩陣;R(x-xe)為Taylor展開式中包含x-xe的二次及二次以上的余項。雅可比矩陣A定義為如果用該一次近似式來表達原非線性方程的近似動態方程,可得如下線性化的狀態方程:x’=A(x-xe)由于對如上式所示的狀態方程總可以通過n維狀態空間中的坐標平移,將平衡態xe移到原點。因此,上式又可轉換成如下原點平衡態的線性狀態方程:x’=Ax判別非線性系統平衡態xe穩定性的Lyapunov第一法的思想即為:通過線性化,將討論非線性系統平衡態穩定性問題轉換到討論線性系統x’=Ax的穩定性問題。Lyapunov第一法的基本結論是:1.若線性化系統的狀態方程的系統矩陣A的所有特征值都具有負實部,則原非線性系統的平衡態xe漸近穩定,而且系統的穩定性與高階項R(x)無關。2.若線性化系統的系統矩陣A的特征值中至少有一個具有正實部,則原非線性系統的平衡態xe不穩定,而且該平衡態的穩定性與高階項R(x)無關。3.若線性化系統的系統矩陣A除有實部為零的特征值外,其余特征值都具有負實部,則原非線性系統的平衡態xe的穩定性由高階項R(x)決定。由上述Lyapunov第一法的結論可知,該方法與經典控制理論中穩定性判據的思路一致,需求解線性化狀態方程或線性狀態方程的特征值,根據特征值在復平面的分布來分析穩定性。值得指出的區別是:經典控制理論討論的是輸出穩定性問題,而Lyapunov方法討論狀態穩定性問題。由于Lyapunov第一法需要求解線性化后系統的特征值,因此該方法也僅能適用于非線性定常系統或線性定常系統,而不能推廣至時變系統。試確定系統在原點處的穩定性。解：由狀態方程知,原點為該系統的平衡態。將系統在原點處線性化,則系統矩陣為例

某裝置的動力學特性用下列常微分方程組來描述:因此,系統的特征方程為|I-A|=2+K1+K2=0Lyapunov第二法由Lyapunov第一法的結論可知,該方法能解決部分弱非線性系統的穩定性判定問題,但對強非線性系統的穩定性判定則無能為力,而且該方法不易推廣到時變系統。下面我們討論對所有動態系統的狀態方程的穩定性分析都適用的Lyapunov第二法。Lyapunov第二法又稱為直接法。它是在用能量觀點分析穩定性的基礎上建立起來的。若系統平衡態漸近穩定,則系統經激勵后,其儲存的能量將隨著時間推移而衰減。當趨于平衡態時,其能量達到最小值。反之,若平衡態不穩定,則系統將不斷地從外界吸收能量,其儲存的能量將越來越大?；谶@樣的觀點,只要能找出一個能合理描述動態系統的n維狀態的某種形式的能量正性函數,通過考察該函數隨時間推移是否衰減,就可判斷系統平衡態的穩定性。下面是幾個在由變量x1和x2組成的2維線性空間中的正定函數、負定函數等的例子。1)正定函數2)負定函數3)非負定函數4)非正定函數5)不定函數Lyapunov穩定性定理的直觀意義右圖所示動力學系統的平衡態在一定范圍內為漸近穩定的平衡態。對該平衡態的鄰域,可定義其能量(動能+勢能)函數如下:其中x為位移,x’為速度,兩者且選為狀態變量。在圖中所示狀態,v=-x’,由牛頓第二定律可知,其運動滿足如下方程:m(-x’’)=mgcos-fmgsin其中f為摩擦阻尼系數。因此,有mx’’=-mg(cos-fsin)因此,能量的變化趨勢(導數)為V’=mx’x’’+mgx’cos=-mgx’(cos-fsin)+mgx’cos

=mgx’fsinLyapunov穩定性定理的直觀意義當取值為[0,90],由于v的方向與x相反，x’為負,因此上式恒小于零。即漸近穩定的平衡態,其正定的能量函數的導數(變化趨勢)為負。對小球向上運動時亦可作同樣分析。從直觀物理意義的角度,也非常易于理解。由于物體運動所受到的摩擦力作負功,由能量守恒定律可知,物體的能量將隨物體運動減少,即其導數(變化趨勢)為負。Lyapunov穩定性定理的直觀意義再如右圖所示的動力學系統,其平衡態在一定范圍內為不穩定的平衡態。對該平衡態的鄰域,可定義其能量(動能+勢能)函數如下:Lyapunov穩定性定理的直觀意義由牛頓第二定律可知,其運動滿足如下方程:ma=mgcos-fmgsin因此,有mx’’=mg(cos-fsin)因此,能量的變化趨勢(導數)為Lyapunov穩定性定理的直觀意義V’=mx’x’’-mgx’cos=mgx’(cos-fsin)-mgx’cos=-mgx’fsin當取值為[0,90],由于x