2021-2022學年山西省運城市平陸縣曹川中學高二數學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知等比數列{an}，滿足a1+a2+a3+a4+a5=2，=，則a3=(

)A．﹣2 B．2 C．±2 D．±4參考答案：C【考點】等比數列的通項公式．【專題】轉化思想；整體思想；等差數列與等比數列．【分析】利用等比數列的性質可得：a1a5=a2a4=，分別通分即可得出．【解答】解：∵等比數列{an}，滿足a1+a2+a3+a4+a5=2，=，∴++=，∴++=，∴2=，解得a3=±2．故選：C．【點評】本題考查了等比數列的通項公式及其性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．2.命題“”的否定是(

)A. B.C. D.參考答案：C【分析】直接利用全稱命題的否定是特稱命題，寫出結果即可.【詳解】因為全稱命題的否定是特稱命題，所以命題“”的否定是：“，使”，故選C.【點睛】該題考查的是有關全稱命題的否定的問題，涉及到的知識點有全稱命題的否定是特稱命題，屬于簡單題目.3.已知變量x，y滿足，則z=x﹣y的取值范圍是（）A．[﹣2，﹣1] B．[﹣2，0] C．[0，] D．[﹣2，]參考答案：D【考點】簡單線性規劃．【分析】作出不等式組對應的平面區域，利用z的幾何意義，結合數形結合即可得到結論．【解答】解：作出不等式組，對應的平面區域如圖：由z=x﹣y得y=x﹣z，平移直線y=x﹣z由圖象可知當直線y=x﹣z經過點A時，直線y=x﹣z的截距最大，由，解得A（1，3）此時z最小為z=1﹣3=﹣2，當直線y=x﹣z，z經過點B時，z取得最大值，由，可得A（，），直線y=x﹣z的截距最小，此時z最大為：=，z的范圍為：[﹣2，]．故選：D．4.“若x，y∈R且x2+y2=0，則x，y全為0”的否命題是（）A．若x，y∈R且x2+y2≠0，則x，y全不為0B．若x，y∈R且x2+y2≠0，則x，y不全為0C．若x，y∈R且x，y全為0，則x2+y2=0D．若x，y∈R且xy≠0，則x2+y2≠0參考答案：B【考點】四種命題．【分析】否定“若x，y∈R且x2+y2=0，則x，y全為0”的題設，得到否命題的題設，再否定“若x，y∈R且x2+y2=0，則x，y全為0”的結論，得到否命題的結論．由此能夠得到命題“若x，y∈R且x2+y2=0，則x，y全為0”的否命題．【解答】解：先否定“若x，y∈R且x2+y2=0，則x，y全為0”的題設，得到否命題的題設“若x，y∈R且x2+y2≠0”，再否定“若x，y∈R且x2+y2=0，則x，y全為0”的結論，得到否命題的結論“則x，y不全為0”．由此得到命題“若x，y∈R且x2+y2=0，則x，y全為0”的否命題是：若x，y∈R且x2+y2≠0，則x，y不全為0．故選B．5.已知直線l過點P（1，﹣2），且在x軸和y軸上的截距互為相反數，則直線l的方程為（）A．x﹣y﹣3=0 B．x+y+1=0或2x+y=0C．x﹣y﹣3=0或2x+y=0 D．x+y+1=0或x﹣y﹣3=0或2x+y=0參考答案：C【考點】直線的截距式方程．【專題】方程思想；綜合法；直線與圓．【分析】當直線過原點時，由點斜式求出直線的方程．當直線不過原點時，設方程的解析式，把點P（1，﹣2）代入可得a的值，從而得到直線方程．綜合以上可得答案．【解答】解：當直線過原點時，由于斜率為=﹣2，故直線方程為y=﹣2x，即2x+y=0．當直線不過原點時，設方程為+=1，把點A（1，﹣2）代入可得a=3，故直線的方程為x﹣y﹣3=0，故答案為：2x+y=0，或x﹣y﹣3=0，故選：C．【點評】本題主要考查用待定系數法求直線的方程，體現了分類討論的數學思想，屬于基礎題．6.執行如圖所示的程序框圖，若輸入n=10，則輸出的S=（）A． B． C． D．參考答案：A【考點】循環結構．【分析】框圖首先給累加變量S和循環變量i分別賦值0和2，在輸入n的值為10后，對i的值域n的值大小加以判斷，滿足i≤n，執行，i=i+2，不滿足則跳出循環，輸出S．【解答】解：輸入n的值為10，框圖首先給累加變量S和循環變量i分別賦值0和2，判斷2≤10成立，執行，i=2+2=4；判斷4≤10成立，執行=，i=4+2=6；判斷6≤10成立，執行，i=6+2=8；判斷8≤10成立，執行，i=8+2=10；判斷10≤10成立，執行，i=10+2=12；判斷12≤10不成立，跳出循環，算法結束，輸出S的值為．故選A．7.用數學歸納法證明不等式的過程中，由n=k遞推到n=k+1時，下列說法正確的是（）A．增加了一項B．增加了兩項和C．增加了B中兩項，但又少了一項D．增加了A中一項，但又少了一項參考答案：C【考點】數學歸納法．【分析】當n=k時，寫出左端，并當n=k+1時，寫出左端，兩者比較，關鍵是最后一項和增加的第一項的關系．【解答】解：當n=k時，左端=++…+，那么當n=k+1時

左端=+…+++故第二步由k到k+1時不等式左端的變化是增加了兩項，同時減少了這一項，故選：C．8.若點(2，k)到直線5x-12y+6=0的距離是4，則k的值是(

)A.1 B.-3 C.1或 D.-3或參考答案：D【分析】由題得，解方程即得k的值.【詳解】由題得，解方程即得k=-3或.故答案為：D【點睛】(1)本題主要考查點到直線的距離公式，意在考查學生對該知識的掌握水平和計算推理能力.(2)點到直線的距離.9.“m＞n＞0”是“方程mx2+ny2=1表示焦點在y軸上的橢圓”的（）A．充而分不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：C【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】本題考查的知識點是充要條件的定義，及橢圓的定義，我們分別判斷“m＞n＞0”?“方程mx2+ny2=1表示焦點在y軸上的橢圓”的真假，及“方程mx2+ny2=1表示焦點在y軸上的橢圓”?“m＞n＞0”的真假，然后根據充要條件的定義，即可得到結論．【解答】解：當“m＞n＞0”時”方程mx2+ny2=1表示焦點在y軸上的橢圓”成立，即“m＞n＞0”?”方程mx2+ny2=1表示焦點在y軸上的橢圓”為真命題，當“方程mx2+ny2=1表示焦點在y軸上的橢圓”時“m＞n＞0”也成立，即“方程mx2+ny2=1表示焦點在y軸上的橢圓”?“m＞n＞0”也為真命題，故“m＞n＞0”是”方程mx2+ny2=1表示焦點在y軸上的橢圓”的充要條件，故選：C．【點評】判斷充要條件的方法是：①若p?q為真命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；②若p?q為假命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；③若p?q為真命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；④若p?q為假命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的即不充分也不必要條件．⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q的關系．10.已知拋物線的經過焦點的弦AB的兩端點坐標分別為，則的值一定等于()A．4

B．－4

C．

D．參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在1和25之間插入三個數，使這五個數成等比數列，則中間數是.參考答案：512.設為等差數列的前項和，若，則數列的公差為_______．參考答案：

解析：，即，而，相減得．13.已知，平面與平面的法向量分別為，，且，，則__________．參考答案：∵，且平面與平面的法向量分別為，，∴，解得：．14.函數的圖像恒過定點A，若點A在直線上，且m，n為正數，則的最小值為__________．參考答案：4函數的圖象恒過定點，，點在直線上，，，當且僅當時取等號，時，的最小值為，故答案為.【易錯點晴】本題主要考查指數函數的性質以及利用基本不等式求最值，屬于難題.利用基本不等式求最值時，一定要正確理解和掌握“一正，二定，三相等”的內涵：一正是，首先要判斷參數是否為正；二定是，其次要看和或積是否為定值（和定積最大，積定和最小）；三相等是，最后一定要驗證等號能否成立（主要注意兩點，一是相等時參數否在定義域內，二是多次用或時等號能否同時成立）.15.某省工商局于2014年3月份，對全省流通領域的飲料進行了質量監督抽查，結果顯示，某種剛進入市場的飲料的合格率為80%，現有甲、乙、丙3人聚會，選用6瓶飲料，并限定每人喝2瓶．則甲喝2瓶合格的飲料的概率是_______（用數字作答）．參考答案：0.6416.已知圓x2+y2=4和圓外一點P（﹣2，﹣3），則過點P的圓的切線方程為．參考答案：x=﹣2或5x﹣12y﹣26=0【考點】圓的切線方程．【分析】圓x2+y2=4的圓心坐標為（0，0），半徑r=2，當過P的切線方程斜率不存在時，x=﹣2為圓的切線；當過P的切線方程斜率存在時，設切線方程為kx﹣y+2k﹣3=0，圓心到切線的距離d==r=2，由此能求出切線方程．【解答】解：由圓x2+y2=4，得到圓心坐標為（0，0），半徑r=2，當過P的切線方程斜率不存在時，x=﹣2為圓的切線；當過P的切線方程斜率存在時，設斜率為k，p（﹣2，﹣3），∴切線方程為y+3=k（x+2），即kx﹣y+2k﹣3=0，∵圓心到切線的距離d==r=2，解得：k=，此時切線方程為5x﹣12y﹣26=0，綜上，切線方程為x=﹣2或5x﹣12y﹣26=0．故答案為：x=﹣2或5x﹣12y﹣26=0．17.設函數f（x）=，則函數f（x）的值域是

．參考答案：（0，1）∪[﹣3，+∞）【考點】34：函數的值域．【分析】可根據不等式的性質，根據x的范圍，可以分別求出和﹣x﹣2的范圍，從而求出f（x）的值域．【解答】解：①x＞1時，f（x）=；∴；即0＜f（x）＜1；②x≤1時，f（x）=﹣x﹣2；∴﹣x≥﹣1；∴﹣x﹣2≥﹣3；即f（x）≥﹣3；∴函數f（x）的值域為（0，1）∪[﹣3，+∞）．故答案為：（0，1）∪[﹣3，+∞）．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.旅游公司為4個旅游團提供5條旅游線路，每個旅游團任選其中一條.

（1）求4個旅游團選擇互不相同的線路共有多少種方法;

（2）求恰有2條線路被選中的概率;參考答案：（1）

（2）P=略19.等比數列{an}中，已知a1=2，a4=16．（1）求數列{an}的通項公式；（2）求數列{an}的前n項和Sn．參考答案：【考點】等比數列的前n項和；等比數列的通項公式．【分析】（1）設{an}的公比為q．由a1=2，a4=16，解得q=2，由此能求出數列{an}的通項公式．（Ⅱ）由q=2，a1=2，能求出數列{an}的前n項和Sn．【解答】解：（1）設{an}的公比為q．∵a1=2，a4=16，∴16=2q3，解得q=2，所以數列{an}的通項公式為．（2）由（1）得q=2，a1=2，所以數列{an}的前n項和．20.已知函數在取得極值。

（Ⅰ）確定的值并求函數的單調區間;（Ⅱ）若關于的方程至多有兩個零點，求實數的取值范圍。參考答案：解（Ⅰ）因為，所以因為函數在時有極值

，

所以，即

得

,經檢驗符合題意，所以

所以

令，

得，或當變化時，變化如下表：

單調遞增↗極大值單調遞減↘極小值單調遞增↗

所以的單調增區間為，；的單調減區間為。（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當時，有極大值，并且極大值為；當時，有極小值，并且極小值為；結合函數的圖象，要使關于的方程至多有兩個零點，則的取值范圍為略21.設A是單位圓O和x軸正半軸的交點，P，Q是圓O上兩點，O為坐標原點，∠AOP=，∠AOQ=α，α∈[0，]．（1）若Q（，），求cos（α﹣）的值；（2）設函數f（α）=sinα?（?），求f（α）的值域．參考答案：【分析】（1）利用差角的余弦公式計算；（2）利用三角恒等變換化簡f（α），再利用α的范圍和正弦函數的性質求出f（α）的最值．【解答】解：（1）由已知得cosα=，sinα=，∴cos（）=+×=．（2）=（，），=（cosα，sinα），∴=cosα+sinα，∴f（α）=sinαcosα+sin2α=sin2α﹣cos2α+=sin（2α﹣）+．∵α∈[0，]，∴2α﹣∈[﹣，]，∴當2α﹣=﹣時，f（α）取得最小值+=0，當2α﹣=時，f（α）取得最大值=．∴f（α）的值域是[0，]．22.如圖，已知橢圓C的方程為，點P（a，b）的坐標滿足，過點P的直線l與橢圓交于A、B兩點，點Q為線段AB的中點，求：（1）點Q的軌跡方程；（2）點Q的軌跡與坐標軸的交點的個數．參考答案：【考點】圓錐曲線的綜合．【專題】計算題；壓軸題．【分析】（1）先把A、B兩點和點Q的坐標設出來，再分A、B兩點的橫坐標相等和不相等兩種情況分別設出直線l的方程，再利用A、B兩點既在直線上又在橢圓C上，可以找到A、B兩點坐標之間的關系，最后利用中點坐標公式，就可求點Q的軌跡方程（注意要反過來檢驗所求軌跡方程是否滿足已知條件）；（2）先找到曲線L與y軸的交點（0，0），（0，b）以及與x軸的交點坐標（0，0），（a，0），再對a和b的取值分別討論，分析出與坐標軸的交點的個數（注意點P（a，b）的坐標滿足）．【解答】解：（1）設點A、B的坐標分別為A（x1，y1）、B（x2，y2），點Q的坐標為Q（x，y）．當x1≠x2時，設直線l的斜率為k，則l的方程為y=k（x﹣a）+b由已知①y1=k（x1﹣a）+b，y2=k（x2﹣a）+b②由①得③由②得y1+y2=k（x1+x2）﹣2ak+2b④由③④及，，，得點Q的坐標滿足方程2x2+y2﹣2ax﹣by=0⑤當x1=x2時，k不存在，此時l平行于y軸，因此AB的中點Q一定落在x軸上，即Q的坐標為（a，0）．顯然點Q的