第5章數字濾波器的基本結構

5.1數字濾波器結構的表示方法5.2IIR濾波器的基本結構5.3FIR濾波器的基本結構15.1數字濾波器結構的表示方法

數字濾波器是數字信號處理的一個重要組成部分。數字濾波實際上是一種運算過程，其功能是將一組輸入的數字序列通過一定的運算后轉變為另一組輸出的數字序列，因此它本身就是一臺數字式的處理設備。數字濾波器一般可用兩種方法實現：1)根據描述數字濾波器的數學模型或信號流圖，用數字硬件裝配成一臺專門的設備，構成專用的信號處理機；2)直接利用通用計算機，將所需要的運算編成程序讓計算機來執行，即用軟件來實現數字濾波器。2

數字濾波器是離散時間系統，所處理的信號是離散時間信號。一般時域離散系統或網絡可以用差分方程、單位抽樣響應以及系統函數進行描述。如果一個數字濾波器可以用系統函數表示為(5-1)則描述系統輸入、輸出關系的N階常系數差分方程為(5-2)3

對于同一個系統函數H(z)，對輸入信號的處理可實現的算法有很多種，每一種算法對應于一種不同的運算結構（網絡結構）。

對應于每一種不同的運算結構，都可用三種基本的運算單元來實現：1）乘法器；2）加法器；3）單位延時。例：

基本運算單元常用兩種表示方法表示：1）方框圖法；2）信號流圖法。4圖5-1基本運算的方框圖表示及信號流圖表示

方框圖表示法信號流圖表示法5輸入支路的信號值等于這一支路起點處節點信號值乘以支路上的傳輸系數。如果支路上不標傳輸系數值，則認為其傳輸系數為1，而延遲支路則用延遲算子z-1表示，它表示單位延時。二階數字濾波器：信號流圖是一種有向圖，它用箭頭的有向線段來代表一條支路，箭頭的方向代表信號流動的方向，有向線段上標注出支路的傳輸值。源節點或輸入節點

阱節點或輸出節點

加法器

分支節點

●

65.2IIR濾波器的基本結構

①單位抽樣響應h(n)是無限長的；②系統函數H(z)在有限z平面（）上有極點;③結構上存在著輸出到輸入的反饋,即結構上是遞歸型的.無限長單位沖激響應濾波器有如下幾個特點：IIR濾波器的結構分類：直接Ⅰ型直接Ⅱ型級聯型并聯型7一、直接Ⅰ型結構N階的IIR濾波器的系統函數和常系數差分方程為系統的輸出y(n)由兩部分構成：第一部分 是一個對輸入x(n)的M階延時鏈結構，每階延時抽頭后加權相加，構成一個橫向結構網絡。第二部分 是一個對輸出y(n)的N階延時鏈的橫向結構網絡，是由輸出到輸入的反饋網絡。由這兩部分相加構成輸出y(n)，其結構圖如圖5-4。8圖5-4實現N階差分方程的直接I型結構實現系統函數零點實現系統函數極點共（M+N）個延時單元9一個線性移不變系統，若交換其級聯子系統的次序，系統函數是不變的，即總的輸入輸出關系不改變。二、直接Ⅱ型（典范型、正準型）結構實現系統函數極點實現系統函數零點圖5-5直接I型的變型

10圖5-6直接Ⅱ型結構結構圖5-5中有兩條完全相同的對中間變量y2(n)進行延遲的延時鏈,可以合并這兩條延時鏈,得到直接Ⅱ型結構.只需N個延時單元111）直接Ⅱ型比直接Ⅰ型結構延時單元少，用硬件實現可以節省寄存器，比直接Ⅰ型經濟；若用軟件實現則可節省存儲單元。2）對于高階系統直接型結構都存在調整零、極點困難，對系數量化效應敏感度高等缺點。直接Ⅰ型與直接Ⅱ型的比較12三、級聯型結構（※）

1．級聯型結構極點零點實極點實零點復共軛零點復共軛極點M=M1+2M2N=N1+2N213（把共軛因子組合成實系數的二階因子）（將實系數的兩個一階因子組合成二階因子）二階基本節（用典范型結構實現）級聯的節數：當M＝N時，共有節。表示取整.如果有奇數個實零點，則有一個系數等于零；如果有奇數個實極點，則有一個系數等于零。14H1(z)H2(z)圖5-7級聯結構的一階基本節和二階基本節結構圖5-8級聯結構（M=N）15圖5-9六階IIR濾波器的級聯結構2．級聯型結構的特點調整系數就能單獨調整濾波器的第k對零點，對其他零極點并無影響；同樣,調整系數也只單獨調整了第k對極點，而不影響其它零極點。因此，與直接型結構相比，級聯型結構便于準確地實現濾波器零、極點，因而便于調整濾波器的頻率響應性能。161．并聯型結構(4-6)四、并聯型結構（※）

把系統函數H(z)展開成部分分式之和的形式，就可以得到IIR濾波器的并聯型結構：實數共軛復數N=N1+2N2當M<N時，當M=N時，

一階系統二階系統延時加權單元17以M＝N時為例進行研究，將共軛復根部分，成對地合并為二階實系數的部分分式，此時H(z)可表示為（將一階實極點組合成實系數二階多項式)

當N為奇數時，包含有一個一階環節，即有一節的。

18圖5-10并聯結構（M=N）

圖5-11并聯結構的一階、二階基本節結構

19圖5-12三階IIR濾波器的并聯型結構20

并聯型結構也可以用調整的辦法單獨調整一對極點的位置，但對于零點的調整卻不如級聯型方便，它不能單獨調整零點的位置，而且當濾波器的階數較高時，部分分式展開比較麻煩。

在運算誤差方面，由于各基本網絡間的誤差互不影響，沒有誤差積累，因此比直接型和級聯型誤差稍小一點。當要求有準確的傳輸零點時，采用級聯型最合適。2．并聯型結構的特點

21

轉置定理：如果將線性移不變網絡中所有支路方向倒轉，且將輸入x(n)和輸出y(n)相互交換，則其系統函數H(z)不發生改變。五．轉置定理圖5-14將圖5-13畫成輸入在左，輸出在右的習慣形式圖5-13典范型結構的轉置

22有限長單位沖激響應濾波器有如下幾個特點：1）單位抽樣響應h(n)在有限個n值處不為零；2）系統函數H(z)在|z|>0處收斂，在|z|>0處只有零點，即有限z平面（）只有零點，而全部極點都在z=0處（因果系統）；3）結構上主要是非遞歸結構，沒有輸出到輸入的反饋，但有些結構中（例如頻率采樣結構）也包含有反饋的遞歸部分。5.3FIR濾波器的基本結構

23FIR濾波器的結構分類：橫截型結構級聯型結構頻率采樣型結構快速卷積型結構線性相位FIR濾波器的結構

設FIR濾波器的單位抽樣響應h(n)為一個N點序列，則濾波器的系統函數為：它在z=0處有（N-1）階極點，有（N-1）個零點位于有限z平面的任何位置。（5-10）24(5-11)一．橫截型（卷積型、直接型）結構（※）線性移不變系統的卷積和公式輸入x(n)的延時鏈的橫向結構圖5-15FIR濾波器的橫截型結構圖5-16圖5-15的轉置結構25二.級聯型結構（※）

圖5-17FIR濾波器的級聯型結構（N為奇數）當需要控制系統傳輸零點時，將傳遞函數H(z)分解成二階實系數因子的形式：對取整261）這種結構的每一節控制一對零點，因而在需要控制傳輸零點時，可以采用它。比卷積型的系數h(n)要多，因而所需的乘法次數也比卷積型的要多。級聯型結構的特點：2）這種結構所需要的系數27

由頻域采樣定理可知，對有限長序列h(n)的z變換H(z)在單位圓上做N點的等間隔采樣，N個頻率采樣值的離散傅里葉反變換所對應的時域信號hN(n)是原序列h(n)以采樣點數N為周期進行周期延拓后的主值序列，當N大于等于原序列h(n)長度M時hN(n)=h(n)，不會發生信號失真，此時H(z)可以用頻域采樣序列H(k)內插得到，內插公式如下：三.頻率采樣型結構28H(z)可以重寫為

(5-14)H(z)級聯的第一部分Hc(z)：是一個FIR子系統，是由N階延時單元組成的梳狀濾波器，如圖5-18所示。i=0,1，2,…,N-1即Hc(z)在單位圓上有N個等間隔的零點，它的頻率響應為

令29圖5-18梳狀濾波器結構及頻率響應幅度30H(z)級聯的第二部分：它是由N個一階網絡組成的并聯結構，每個一階網絡都是一個具有單極點的IIR子系統。令即每一個一階網絡在單位圓上都有一個極點，因此，H(z)的第二部分是一個有N個極點的諧振網絡。31H(z)級聯的第一部分零點：說明：第二部分這些諧振器的N個極點正好與第一部分梳狀濾波器的N個零點相抵消，從而使H(z)在這些頻率上的響應等于H(k)。把這兩部分級聯起來就可以構成FIR濾波器的頻率采樣型結構，如圖5-19所示。

H(z)級聯的第二部分極點：32圖5-19FIR濾波器的頻率采樣型結構

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頻率采樣型結構的優點（1）頻率采樣型結構的系數H(k)直接就是濾波器在ω=2πk/N

處的響應值，因此可以直接控制濾波器的響應；（2）只要濾波器的階數N相同，對于任何頻響形狀，其梳狀濾波器部分的結構完全相同，N個一階網絡部分的結構也完全相同，只是各支路的增益H(k)不同，因此頻率采樣型結構便于標準化、模塊化。34

頻率采樣型結構的缺點（1）頻率采樣型結構中所有的系數H(k)和一般為復數，復數相乘運算實現起來較麻煩；（2）系統穩定是靠位于單位圓上的N個零極點對消來保證的，如果濾波器的系數稍有誤差，極點就可能移到單位圓外，造成零極點不能完全對消，影響系統的穩定性。35

為了克服這兩個缺點，作兩點修正：1）將所有零點和極點移到半徑為r的圓上，r略小于1，同時頻率采樣點也移到該圓上，以解決系統的穩定性。這時362）共軛根合并，將一對復數一階子網絡合并成一個實系數的二階子網絡。這些共軛根在圓周上是對稱點即同樣，h(n)因是實數，其DFT也是圓周共軛對稱的，37因此可將第k及第N-k個諧振器合并為一個二階網絡其中38除了以上共軛極點外，還有實數極點，分兩種情況：

(1)當N為偶數時，有二個實數極點z=+r，對應H(0)和H(N/2)，有二個一階網絡：

所以有39

所以有(2)當N為奇數時，只有一個實數極點z=r，對應H(0)，有一個一階網絡：

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