2022山東省菏澤市牡丹區大同中學高二數學理上學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.如果事件與事件是互斥事件，事件發生的概率是，事件發生的概率是，則事件發生的概率是_________．參考答案：略2.雙曲線3x2﹣y2=3的離心率為（）A．1 B． C． D．2參考答案：D【考點】雙曲線的簡單性質．【分析】將雙曲線3x2﹣y2=3化成標準形式，得，從而得出出a、b的值，用平方關系算出c==2，再用雙曲線的離心率公式，可得離心率e的值．【解答】解：雙曲線3x2﹣y2=3化成標準形式為∴a2=1，b2=3，得c==2由此可得雙曲線的離心率為e==2故選D3.已知圓錐曲線的離心率為方程的兩根，則滿足條件的圓錐曲線的條數為（

）A．1

B．2

C．3

D．4參考答案：C4.下列結論正確的是（）

A．若ac>bc，則a>b

B．若a2>b2，則a>b

C．若a>b,c<0，則a+c<b+c

D．若<，則a<b參考答案：D5.5人站成一列，甲、乙兩人相鄰的不同站法的種數為（）A.18 B.24 C.36 D.48參考答案：D【分析】將甲、乙兩人捆綁在一起，再利用排列公式得到答案.【詳解】將甲、乙兩人捆綁在一起，不同站法的種數為：故答案選D【點睛】本題考查了排列組合中的捆綁法，屬于簡單題.6.用反證法證明“若，則中至少有一個小于1”時，應（

）A、假設至少有一個大于1

B、假設都大于1C、假設至少有兩個大于1

D、假設都不小于1參考答案：D7.右圖程序流程圖描述的算法的運行結果是

A．-l

B．-2

C．-5

D．5參考答案：C8.拋物線x2=2y的焦點坐標為（）A． B． C．（0，1） D．（1，0）參考答案：A【考點】拋物線的簡單性質．【分析】先根據標準方程求出p值，判斷拋物線x2=2y的開口方向及焦點所在的坐標軸，從而寫出焦點坐標．【解答】解：∵拋物線x2=2y中，p=1，∴=，∵焦點在y軸上，開口向上，∴焦點坐標為（0，）．故選：A．【點評】本題考查拋物線的標準方程和簡單性質的應用，拋物線x2=2py的焦點坐標為（0，），屬基礎題．9.已知（3，1）和（﹣4，6）在直線3x﹣2y+a=0的兩側，則a的取值范圍是(

)A．a＜1或a＞24 B．a=7或a=24 C．﹣7＜a＜24 D．﹣24＜a＜7參考答案：C【考點】二元一次不等式（組）與平面區域．【專題】計算題；轉化思想．【分析】將兩點坐標分別代入直線方程中，只要異號即可．【解答】解：因為（3，1）和（﹣4，6）在直線3x﹣2y+a=0的兩側，所以有（3×3﹣2×1+a）＜0，解得﹣7＜a＜24故選C．【點評】本題考查線性規劃知識的應用．一條直線把整個坐標平面分成了三部分，讓其大于0的點，讓其大于0的點以及讓其小于0的點．10.如圖，在一個正方體內放入兩個半徑不相等的球，這兩個球相外切，且球與正方體共頂點的三個面相切，球與正方體共頂點的三個面相切，則兩球在正方體的面上的正投影是

A.

B.

C.

D.

參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在平面直角坐標系中，三點,，，則三角形OAB的外接圓方程是

．參考答案：12.已知集合，則用列舉法表示集合A=

。參考答案：1,2,4,5,7略13.已知非空集合若是的充分條件，則a取值的范圍是____▲__________.參考答案：14.=__________________.參考答案：

15.某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的表面積是__________.參考答案：略16.如果圓(x－2a)2＋(y－a－3)2＝4上總存在兩個點到原點的距離為1，則實數a的取值范圍是________．參考答案：－<a<017.已知，復數且（i為虛數單位），則ab=__________，_________．參考答案：

∵復數且∴∴∴∴，故答案為，

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分16分)設函數的導函數為.若不等式對任意實數x恒成立，則稱函數是“超導函數”.（1）請舉一個“超導函數”的例子，并加以證明；（2）若函數與都是“超導函數”，且其中一個在R上單調遞增，另一個在R上單調遞減，求證：函數是“超導函數”；（3）若函數是“超導函數”且方程無實根，（e為自然對數的底數），判斷方程的實數根的個數并說明理由.參考答案：解：（1）舉例：函數是“超導函數”，因為，，滿足對任意實數恒成立，故是“超導函數”.……4分注：答案不唯一，必須有證明過程才能給分，無證明過程的不給分.（2）∵，∴，∴

……………6分因為函數與都是“超導函數”，所以不等式與對任意實數都恒成立，故，，①

………8分而與一個在上單調遞增，另一個在上單調遞減，故，②由①②得對任意實數都恒成立，所以函數是“超導函數”.

……10分（3）∵，所以方程可化為，設函數，，則原方程即為，③

……………12分因為是“超導函數”，∴對任意實數恒成立，而方程無實根，故恒成立，所以在上單調遞減，故方程③等價于，即，

……………14分設，，則在上恒成立，故在上單調遞增，而，，且函數的圖象在上連續不斷，故在上有且僅有一個零點，從而原方程有且僅有唯一實數根.……………16分注：發現但缺少論證過程的扣4分.

19.設函數f（x）=（1）若a=1，求f（x）的最小值；（2）若f（x）恰有2個零點，求實數a的取值范圍．參考答案：【考點】分段函數的應用．【分析】（1）a=1時，分別探討y=2x﹣1（x＜1）與y=4（x﹣1）（x﹣2）=4（x2﹣3x+2）（x≥1）的單調性與最值，即可求得f（x）的最小值；（2）分①g（x）=2x﹣a在x＜1時與x軸有一個交點，h（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）與x軸有一個交點，②函數g（x）=2x﹣a與x軸無交點，h（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）與x軸有兩個交點兩類討論，即可求得實數a的取值范圍．【解答】解：（1）a=1時，f（x）=，當x＜1時，函數f（x）在（﹣∞，1）上為增函數，函數值f（x）∈（﹣1，1）；當x≥1時，函數f（x）在[1，]為減函數，在[，+∞）為增函數，當x=時，f（x）取得最小值為﹣1；故a=1，f（x）的最小值﹣1，（2）①若函數g（x）=2x﹣a在x＜1時與x軸有一個交點，則a＞0，并且當x=1時，g（1）=2﹣a＞0，即0＜a＜2，函數h（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）與x軸有一個交點，所以2a≥1且a＜1?≤a＜1；②若函數g（x）=2x﹣a與x軸無交點，則函數h（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）與x軸有兩個交點，當a≤0時，g（x）=2x﹣a與x軸無交點，h（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）在x≥1時與x軸無交點，不合題意；當h（1）=2﹣a≥0時，a≥2，h（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）與x軸有兩個交點，x=a和x=2a，由于a≥2，兩交點的橫坐標均滿足x≥1，綜上所述，a的取值范圍為：≤a＜1和a≥2．20.設某地區型血的人數占總人口數的比為，現從中隨機抽取3人.（1）求3人中恰有2人為型血的概率；（2）記型血的人數為，求的概率分布與數學期望.參考答案：（1）（2）解析：解：（1）由題意，隨機抽取一人，是型血的概率為，

…………2分3人中有2人為型血的概率為.

…………6分（2）的可能取值為0，1，2，3，

…………8分，，，，

…………12分.

…………14分

略21.(本題滿分12分)在極坐標系中，已知點A(，0)到直線l：ρsin(θ－)＝m(m>0)的距離為3.(1)求實數m值；(2)設P是直線l上的動點，Q在線段OP上，且滿足|OP||OQ|＝1，求點Q軌跡方程，并指出軌跡是什么圖形．參考答案：22.2017年“雙節”期間，高速公路車輛較多．某調查公司在一服務區從七座以下小型汽車中按進服務區的先后每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40名駕駛員進行詢問調查，將他們在某段高速公路的車速(km/h)分成六段：[60,65)，[65,70)，[70,75)，[75,80)，[80,85)，[85,90]后得到如圖的頻率分布直方圖．（1）調查公司在采樣中，用到的是什么抽樣方法？（2）求這40輛小型車輛車速的眾數、中位數及平均數的估計值；（3）若從車速在[60,70)的車輛中任抽取2輛，求車速在[65,70)的車輛至少有一輛的概率．參考答案：（1）系統抽樣．

……………1分（2）眾數的估計值為最高的矩形的中點，即

……………2分設圖中虛線所對應的車速為，則中位數的估計值為：，解得即中位數