空間幾何--平行垂直專題復習直線、平面平行的判定及其性質1．直線與平面平行的判定定理和性質定理文字語言圖形語言符號語言判定定理平面外一條直線與這個平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行(線線平行?線面平行)∵l∥a，a?αl?α，∴l∥α性質定理一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行(簡記為“線面平行?線線平行”)∵l∥α，l?β，α∩β＝b，∴l∥b2.平面與平面平行的判定定理和性質定理文字語言圖形語言符號語言判定定理一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行(簡記為“線面平行?面面平行”)∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a?α，b?α，∴α∥β性質定理如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行∵α∥β，α∩γ＝aβ∩γ＝b，∴a∥b考向一直線與平面平行的判定與性質【例1】?(2023·天津改編)如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為平行四邊形，O為AC的中點，M為PD的中點．求證：PB∥平面ACM.【訓練1】如圖，若已知四邊形ABCD是矩形，E、F分別是AB、PD的中點，求證：AF∥平面PCE.[一題多變][典型母題](2023·南通模擬)如圖所示，斜三棱柱ABC-A1B1C1中，點D，D1分別為AC，A1C(1)證明AD1∥平面BDC1.(2)證明BD∥平面AB1D1.，[題點發散1]將本例條件“D1，D分別為AC，A1C1上的中點”變為“D1，D分別為AC，A1C1[題點發散2]將本例條件“D，D1分別為AC，A1C1上的中點”變為“D，D1分別為AC，A1C1上的點且平面BC1D∥平面AB1D1”，試求eq\f(AD,DC)的值．[類題通法]證明直線與平面平行，一般有以下幾種方法(1)若用定義直接判定，一般用反證法；(2)用判定定理來證明，關鍵是在平面內找(或作)一條直線與已知直線平行，證明時注意用符號語言敘述證明過程；(3)應用兩平面平行的一個性質，即兩平面平行時，其中一個平面內的任何直線都平行于另一個平【例題2】如圖，在四棱錐P-ABCD中，CD∥AB，DC＝eq\f(1,2)AB，若PM＝MB，求證：CM∥平面PAD.1.(1)(2023·秦皇島模擬)如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點P是平面ABCD外一點，M是PC的中點，在DM上取一點G，過G和AP作平面交平面BDM于GH.求證：AP∥GH.(2)(2023·浙江六市六校聯盟模擬)如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D為AC的中點，AA1＝AB①求證：AB1∥平面BC1D；②若BC＝3，求三棱錐D-BC1C3.(2023·山東改編)如圖，四棱錐P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝eq\f(1,2)AD，E，F，H分別為線段AD，PC，CD的中點，AC與BE交于O點，G是線段OF上一點．(1)求證：AP∥平面BEF；(2)求證：GH∥平面PAD.4.(2023·福建改編)如圖，在四棱錐P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，BC＝5，DC＝3，AD＝4，∠PAD＝60°.(1)若M為PA的中點，求證：DM∥平面PBC；(2)求三棱錐D—PBC的體積．考向二平面與平面平行的判定與性質1．平面與平面平行的判定定理自然語言：一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行．簡稱：線面平行，則面面平行．符號語言：a?α，b?α，a∩b＝P，a∥β，b∥β?α∥β.[提醒](1)如果一個平面內的兩條平行直線與另一個平面平行，則這兩個平面相交或平行．(2)要證面面平行需證線面平行，要證線面平行需證線線平行，因此“面面平行”問題最終可轉化為“線線平行”問題．2．平面與平面平行的性質定理自然語言：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行．簡稱：面面平行，則線線平行．符號語言：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b.[提醒]平面與平面平行的性質定理實際上給出了判定兩條直線平行的一種方法，注意一定是第三個平面與兩平行平面相交，其交線平行．【例2】?如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M、N、P求證：平面MNP∥平面A1C1B【訓練】1.如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C(1)B，C，H，G四點共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.2.(2023·高考陜西卷)如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝eq\r(2).(1)證明：底面A1BD∥平面CD1B1；(2)求三棱柱ABD-A1B1D1的體積.eq\a\vs4\al(考點三)__平行關系的綜合應用________________(2023·河南洛陽月考)如圖，ABCD與ADEF為平行四邊形，M，N，G分別是AB，AD，EF的中點．(1)求證：BE∥平面DMF；(2)求證：平面BDE∥平面MNG.3.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，S是B1D1的中點，E、F、G分別是BC、DC、SC的中點，(1)直線EG∥平面BDD1B1；(2)平面EFG∥平面BDD1B1.【強化訓練】1.如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥CD，∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝eq\f(1,2)AB＝1，M是PB的中點．(1)求證：AM＝CM；(2)若N是PC的中點，求證：DN∥平面AMC.2．如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝5，BB1＝BC＝6，D，E分別是AA1和B1(1)求證：DE∥平面ABC；(2)求三棱錐E－BCD的體積．3．如圖，E、F、G、H分別是正方體ABCD－A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1(1)EG∥平面BB1D1D；(2)平面BDF∥平面B1D1H..4在正方體ABCD-A1B1C1D1中，(1)求證：平面AB1D1∥平面C1BD；(2)試找出體對角線A1C與平面AB1D1和平面C1BD的交點E，F，并證明A1E＝EF＝FC直線、平面垂直的判定與性質1．直線與平面垂直的判定定理及性質定理文字語言圖形語言符號語言判定定理一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b?α,a∩b＝O,l⊥a,l⊥b))?l⊥α性質定理垂直于同一個平面的兩條直線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b2.平面與平面垂直的判定定理與性質定理文字語言圖形語言符號語言判定定理一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面互相垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l?β,l⊥α))?α⊥β性質定理兩個平面互相垂直，則一個平面內垂直于交線的直線垂直于另一個平面eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,l?β,α∩β＝a,l⊥a))?l⊥α考點一直線與平面垂直1．直線與平面垂直的判定定理(1)自然語言：一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直．(2)符號語言：a?α，b?α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b?l⊥α.2．直線與平面垂直的性質定理自然語言：垂直于同一個平面的兩條直線平行．符號語言：a⊥α，b⊥α?a∥b.[提醒]一條直線與一個平面內的兩條平行直線都垂直，則該直線與此平面不一定垂直，也有可能直線在平面內或平行于該平面，所以“相交”這一條件不可忽略．[典題例析](2023·重慶高考)如圖，四棱錐P-ABCD中，底面是以O為中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB＝2，∠BAD＝eq\f(π,3)，M為BC上一點，且BM＝eq\f(1,2).(1)證明：BC⊥平面POM；(2)若MP⊥AP，求四棱錐P-ABMO的體積．[類題通法]證明直線和平面垂直的常用方法(1)利用判定定理；(2)利用判定定理的推論(a∥b，a⊥α?b⊥α)；(3)利用面面平行的性質(a⊥α，α∥β?a⊥β)；(4)利用面面垂直的性質．當兩個平面垂直時，在一個平面內垂直于交線的直線垂直于另一個平面．[演練沖關]如圖，已知PA⊥平面ABCD，且四邊形ABCD為矩形，M，N分別是AB，PC的中點．(1)求證：MN⊥CD；(2)若∠PDA＝45°，求證：MN⊥平面PCD.例2(2023·高考廣東卷)如圖(1)，四邊形ABCD為矩形，PD⊥平面ABCD，AB＝1，BC＝PC＝2，作如圖(2)折疊，折痕EF∥DC.其中點E，F分別在線段PD，PC上，沿EF折疊后點P疊在線段AD上的點記為M，并且MF⊥CF.(1)證明：CF⊥平面MDF；(2)求三棱錐M-CDE的體積．1.(1)(2023·大慶市第二次質檢)如圖，四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°.①求證：PC⊥BC；②求點A到平面PBC的距離．(2)如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD＝AD，E是PB的中點，F是DC上的點且DF＝eq\f(1,2)AB，PH為△PAD中AD邊上的高．①證明：PH⊥平面ABCD；②證明：EF⊥平面PAB.【強化訓練】1.如圖所示，在四棱錐P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點．證明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.eq\a\vs4\al(考點二)__面面垂直的判定和性質______________1．兩個平面垂直的判定定理自然語言：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．符號語言：a?α，a⊥β?α⊥β.[提醒]平面和平面垂直的判定定理的兩個條件：l?α，l⊥β，缺一不可．2．平面與平面垂直的性質自然語言：兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直．符號語言：α⊥β，α∩β＝CD，AB?α，AB⊥CD?AB⊥β.[典題例析](2023·江蘇高考)如圖，在三棱錐P-ABC中，D，E，F分別為棱PC，AC，AB的中點．已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.求證：(1)直線PA∥平面DEF；(2)平面BDE⊥平面ABC.[類題通法]1．判定面面垂直的方法：(1)面面垂直的定義；(2)面面垂直的判定定理(a⊥β，a?α?α⊥β)．2．在已知平面垂直時，一般要用性質定理進行轉化．在一個平面內作交線的垂線，轉化為線面垂直，然后進一步轉化為線線垂直．[演練沖關](2023·山東日照一模)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD＝60°，Q為AD的中點．(1)若PA＝PD，求證：平面PQB⊥平面PAD；(2)點M在線段PC上，PM＝tPC，試確定實數t的值，使PA∥平面MQB.(2023·高考江蘇卷)如圖，在三棱錐P-ABC中，D，E，F分別為棱PC，AC，AB的中點．已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.求證：(1)直線PA∥平面DEF；(2)平面BDE⊥平面ABC.2.如圖所示，三棱柱ABC-A1B1C1中，側棱A1A⊥底面ABC，且各棱長均相等，D，E，F分別為棱AB，BC，A1C(1)EF∥平面A1CD；(2)平面A1CD⊥平面A1ABB1.eq\a\vs4\al(考點三)__垂直關系的綜合應用________________(2023·高考北京卷)如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分別為A1C1，BC(1)求證：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求證：C1F∥平面ABE(3)求三棱錐E-ABC的體積．【變式訓練】1..如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為AB(1)設正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長等于2，求三棱錐C-B1ED(2)求證：平面EB1D⊥平面B1CD.2(2023·北京)如圖，在四棱錐P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥和F分別是CD、PC的中點．求證：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.3(2023·北京)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分別是A1C1，(1)求證：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求證：C1F∥平面ABE；(3)求三棱錐E－ABC的體積．題型三直線、平面垂直的綜合應用1.如圖所示，在四棱錐P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等邊三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝4eq\r(5).(1)設M是PC上的一點，求證：平面MBD⊥平面PAD；(2)求四棱錐P—ABCD的體積．2(2023·江西)如圖，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝2，AD＝eq\r(2)，AA1＝3，E為CD上一點，DE＝1，EC＝3.(1)證明：BE⊥平面BB1C(2)求點B1到平面EA1C1考題溯源——空間線面垂直關系的證明3(2023·高考湖南卷)如圖，在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1(1)證明：AC⊥B1D；(2)求直線B1C1與平面ACD14如圖，在直四棱柱ABCD–A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝2，AD＝eq\r(2)，AA1＝3，E為CD上一點，DE＝1，EC＝3.(1)證明：BE⊥平面BB1C(2)求點B1到平面EA1C15．(2023·山東高考)如圖，四棱錐P-ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB＝BC＝eq\f(1,2)AD，E，F分別為線段AD，PC的中點．(1)求證：AP∥平面BEF；(2)求證：BE⊥平面PAC.角度二：探索性問題中的平行與垂直關系6．(2023·大連雙基測試)已知三棱柱ABC-A′B′C′中，平面BCC′B′⊥底面ABC，BB′⊥AC，底面ABC是邊長為2的等邊三角形，AA′＝3，E，F分別在棱AA′，CC′上，且AE＝C′F＝2.(1)求證：BB′⊥底面ABC；(2)在棱A′B′上找一點M，使得C′M∥平面BEF，并給出證明．eq\a\vs4\al(考點四)__平面圖形的翻折問題__________________1．(2023·青島二模)如圖，在長方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E為CD的中點，F為AE的中點．現在沿AE將三角形ADE向上折起，在折起的圖形中解答下列問題：(1)在線段AB上是否存在一點K，使BC∥平面DFK？若存在，請證明你的結論；若不存在，請說明理由；(2)若平面ADE⊥平面ABCE，求證：平面BDE⊥平面ADE.2.如圖1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D為AC的中點，AE⊥BD于點E(不同于點D)，延長AE交BC于F，將△ABD沿BD折起，得到三棱錐A1-BCD，如圖2所示．(1)若M是FC的中點，求證：直線DM∥平面A1EF；(2)求證：BD⊥A1F(3)若平面A1BD⊥平面BCD，試判斷直線A1B與直線CD能否垂直？并說明理由．3..(2023·湖北武漢市調研)如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，AC與BD交于點O，將正方形ABCD沿對角線BD折起，得到三棱錐A-BCD.(1)求證：平面AOC⊥平面BCD；(2)若三棱錐A-BCD的體積為eq\f(\r(6),3)，且∠AOC是鈍角，求AC的長．4．如圖(1)，在平面四邊形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝135°，∠C＝60°，AB＝AD，M，N分別是邊AD，CD上的點，且2AM＝MD，2CN＝ND.如圖(1)，將△ABD沿對角線BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，并連接AC，MN(如圖(2))．(1)證明：MN∥平面ABC；(2)證明：AD⊥BC；(3)若BC＝1，求三棱錐A-BCD的體積．【課后練習】1．(2023·南京檢測)如圖，在正三棱錐ABC-A1B1C1中，E，F分別為BB1，AC(1)求證：BF∥平面A1EC；(2)求證：平面A1EC⊥平面ACC1A12.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱C1D1的中點，F為棱BC(1)求證：AE⊥DA1；(2)在線段AA1上求一點G，使得直線AE⊥平面DFG.3．(2023·新課標全國卷Ⅰ)如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，側面BB1C1C為菱形，B1C的中點為O，且AO(1)證明：B1C⊥AB(2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，BC＝1，求三棱柱ABC-A1B1C1.4．(2023·西城一模)如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是矩形，AD＝2AB，SA＝SD，SA⊥AB，N是棱AD的中點．(1)求證：AB∥平面SCD；(2)求證：SN⊥平面ABCD；(3)在棱SC上是否存在一點P，使得平面PBD⊥平面ABCD？若存在，求出eq\f(SP,PC)的值；若不存在，說明理由．5.(2023·商丘質檢)如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝2BC＝4，∠ABC＝120°，E，M分別為AB，DE的中點，將△ADE沿直線DE翻折成△A′DE，F為A′C的中點，A′C＝4.(1)求證：平面A′DE⊥平面BCD；(2)求證：FB∥平面A′DE.2023年空間幾何真題1．【2023高考浙江，文4】設，是兩個不同的平面，，是兩條不同的直線，且，（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則2．【2023高考新課標1，文6】《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內角，下周八尺，高五尺，問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內墻角處堆放米（如圖，米堆為一個圓錐的四分之一），米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1．62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米有（）（A）斛（B）斛（C）斛（D）斛3．【2023高考浙江，文2】某幾何體的三視圖如圖所示（單位：），則該幾何體的體積是（）B．C．D．4．【2023高考重慶，文5】某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）（B）（C）（D）5．【2023高考陜西，文5】一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）A．B．C．D．6．【2023高考廣東，文6】若直線和是異面直線，在平面內，在平面內，是平面與平面的交線，則下列命題正確的是（）A．至少與，中的一條相交B．與，都相交C．至多與，中的一條相交D．與，都不相交7．【2023高考浙江，文7】如圖，斜線段與平面所成的角為，為斜足，平面上的動點滿足，則點的軌跡是（）A．直線B．拋物線C．橢圓D．雙曲線的一支8．【2023高考湖北，文5】表示空間中的兩條直線，若p：是異面直線；q：不相交，則（）A．p是q的充分條件，但不是q的必要條件B．p是q的必要條件，但不是q的充分條件C．p是q的充分必要條件D．p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件9．【2023高考新課標1，文11】圓柱被一個平面截去一部分后與半球（半徑為）組成一個幾何體，該幾何體的三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示，若該幾何體的表面積為，則（）（A）（B）（C）（D）10．【2023高考福建，文9】某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積等于（）A．B．C．D．11．【2023高考山東，文9】已知等腰直角三角形的直角邊的長為，將該三角形繞其斜邊所在的直線旋轉一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為（）（A）QUOTE錯誤！未找到引用源。（B）QUOTE錯誤！未找到引用源。（）（）12．【2023高考湖南，文10】某工作的三視圖如圖所示，現將該工作通過切削，加工成一個體積盡可能大的正方體新工件，并使新工件的一個面落在原工作的一個面內，則原工件材料的利用率為（材料利用率=新工件的體積/原工件的體積）（）A、B、C、D、13．【2023高考北京，文7】某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐最長棱的棱長為（）A．B．C．D．14．【2023高考安徽，文9】一個四面體的三視圖如圖所示，則該四面體的表面積是（）（A）（B）（C）（D）第II卷（非選擇題）請點擊修改第II卷的文字說明評卷人得分二、填空題（題型注釋）15．【2023高考上海，文6】若正三棱柱的所有棱長均為，且其體積為，則．16．【2023高考天津，文10】一個幾何體的三視圖如圖所示（單位:m）,則該幾何體的體積為．17．【2023高考四川，文14】在三棱住ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，其正視圖和側視圖都是邊長為1的正方形，俯視圖是直角邊長為1的等腰直角三角形，設點M，N，P分別是AB，BC，B1C1的中點，則三棱錐P－A評卷人得分三、解答題（題型注釋）18．【2023高考安徽，文19】如圖，三棱錐P-ABC中，PA平面ABC，．（Ⅰ）求三棱錐P-ABC的體積；（Ⅱ）證明：在線段PC上存在點M，使得ACBM，并求的值．19．【2023高考北京，文18】（本小題滿分14分）如圖，在三棱錐中，平面平面，為等邊三角形，且，，分別為，的中點．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求證：平面平面；（Ⅲ）求三棱錐的體積．20．【2023高考福建，文20】如圖，是圓的直徑，點是圓上異于的點，垂直于圓所在的平面，且．（Ⅰ）若為線段的