常用統計技術第一頁，共五十二頁，2022年，8月28日一、方差分析幾個概念因子：在試驗中改變狀態的因素稱為因子，常用大寫英文字母A、B、C等表示。水平：因子在試驗中所處的狀態稱為因子的水平。用代表因子的字母加下標表示，記為A1，A2，…。第二頁，共五十二頁，2022年，8月28日方差分析類型：單因子方差分析多因子方差分析有交互作用的多因子方差分析第三頁，共五十二頁，2022年，8月28日單因子方差分析假設檢驗： H0：μ1=μ2=…=μr H1：μ1、μ2、…、μr不全相等

（至少有兩個不相等）第四頁，共五十二頁，2022年，8月28日方差分析作的三個基本假定在水平Ai下，指標服從正態分布N(μ,α2)；在不同水平下，各方差相等；各數據yij相互獨立。第五頁，共五十二頁，2022年，8月28日分析步驟列出單因子試驗數據表，yij表示在第i個水平，第j次試驗指標值在表中計算因子A的每一水平下數據的和T1、T2、…TR及總和T計算各類數據的平方和第六頁，共五十二頁，2022年，8月28日依次計算ST、SA、Se第七頁，共五十二頁，2022年，8月28日依次計算fT、fA、fe fT=n-1=rm-1 fA=r-a fe=n-r=fT-fAMSA=SA/fA

MSe=Se/fe填寫方差分析表第八頁，共五十二頁，2022年，8月28日F檢驗：F比

=MSA/MSe

當F比

>F1-α(fA,fe)，認為因子A是顯著的

當F比

<F1-α(fA,fe)，認為因子A是不顯著的第九頁，共五十二頁，2022年，8月28日對數據進行分析結論： a、F比

=31.21>F0.95(2,9)=4.26

因子A是顯著的，表明不同工廠的零件

強度有顯著差異 b、當因子A是顯著時，可找出最佳水平 c、可估計誤差方差及標準差第十頁，共五十二頁，2022年，8月28日例，與相似如果沒有給出原始數據yij，僅給出各水平下的試驗次數、數據的均值與標準差，那么可將前面的公式稍作變化后作方差分析第十一頁，共五十二頁，2022年，8月28日對的數據進行分析：第十二頁，共五十二頁，2022年，8月28日第十三頁，共五十二頁，2022年，8月28日重復數不等情況下的單因子方差分析對的數據進行分析第十四頁，共五十二頁，2022年，8月28日二回歸分析散布圖：為研究兩個變量間存在什么關系，把每一對（xi，yi）（i=1、2、…、n）看成直角坐標系中的一個點，在圖中標出n個點，稱此圖為散布圖例，表，圖第十五頁，共五十二頁，2022年，8月28日相關系數：用一個統計量來表示兩個變量間關系的密切程度，這個量成為相關系數r不同r值的示意圖：圖第十六頁，共五十二頁，2022年，8月28日性質：|r|≤1r=±1時，表示n個點在一條直線上，這時兩個變量間完全線性相關。r>0，兩個變量間具有線性正相關r<0，兩個變量間具有線性負相關r=0表示兩個變量間沒有線性相關關系，但并不排斥兩者間有其它函數關系。第十七頁，共五十二頁，2022年，8月28日相關系數的檢驗根據r的絕對值的大小可判斷兩個變量間線性相關的程度對于給定的α，當|r|>r1-α/2(n-2)，可認為兩個變量間存在一定的線性相關關系r1-α/2(n-2)的臨界值可從表中查到第十八頁，共五十二頁，2022年，8月28日例計算相關系數r，并判斷其線性相關關系第十九頁，共五十二頁，2022年，8月28日一元線性回歸方程當兩個變量間存在線性相關關系時，常希望建立兩者間的定量關系表達式，這便是兩個變量間的一元線性回歸方程第二十頁，共五十二頁，2022年，8月28日一元線性回歸方程的求法例求回歸方程由回歸方程畫出的回歸直線一定通過（0，a）和（）兩點。第二十一頁，共五十二頁，2022年，8月28日回歸方程的顯著性檢驗檢驗兩個變量間是否存在線性相關關系的問題便是對回歸方程的顯著性檢驗問題第二十二頁，共五十二頁，2022年，8月28日相關系數檢驗法：當|r|>r1-α/2(n-2)時，便認為兩個變量間存在線性相關關系，所求得的回歸方程是有意義的方差分析檢驗法：是單因子方差分析

第二十三頁，共五十二頁，2022年，8月28日例的單因子方差分析利用回歸方程進行預測：給定了自變量x后，對因變量y做出推斷第二十四頁，共五十二頁，2022年，8月28日例中指定x0=0.16，預測y0的區間可化為一元線性回歸的曲線回歸確定曲線回歸方程形式，方法有兩種：一是根據專業知識二是根據數據所畫的散布圖，將它與一些標準的函數圖像進行比較后加以選擇第二十五頁，共五十二頁，2022年，8月28日例散布圖常見的函數圖像圖第二十六頁，共五十二頁，2022年，8月28日曲線回歸方程中參數的估計，我們采用線性化的方法，即通過變化將它化為一元線性回歸方程的形式，用線性回歸方法來獲得參數的估計例第二十七頁，共五十二頁，2022年，8月28日曲線回歸方程的比較，比較準則兩個：一是要求相關系數R大二是要求剩余標準差S小第二十八頁，共五十二頁，2022年，8月28日三試驗設計試驗設計的基本概念與正交性試驗設計全面搭配試驗三個因子，每個因子三個水平第二十九頁，共五十二頁，2022年，8月28日優點：信息量大，可選最佳條件缺點：試驗次數太多，估計不出試驗誤差第三十頁，共五十二頁，2022年，8月28日單因子條件試驗法（因子輪換法）

取A2B3C2為最佳條件

優點：試驗次數少

缺點：各因子水平間搭配不全面，信息量不夠；試驗誤差未知，當試驗誤差大時，有時會選錯最佳條件第三十一頁，共五十二頁，2022年，8月28日正交試驗法

用正交表安排試驗，并利用正交表的特點進行數據分析，找出最好或滿意的試驗條件。用單因子條件試驗法的相同試驗次數，各因子水平間全面搭配，信息量豐富，能估計出試驗誤差第三十二頁，共五十二頁，2022年，8月28日正交表 a、常用正交表Ln（qp）“L”表示正交表“n”是表的行數，在試驗中表示試驗的條件數“p”是列數，在試驗中表示可以安排因子的最多個數“q”是表的主體只有三個不同數字，在試驗中表示每一因子可以取的水平數第三十三頁，共五十二頁，2022年，8月28日常用的正交表有兩大類 (1)一類正交表的行數n，列數p，水平數q間有如下關系：n=qk,k=2,3,4,…,p=(n-1)/(q-1)如：L4(23)，L8(27)，L16(215)，L32(231)等，可以考察因子間的交互作用。第三十四頁，共五十二頁，2022年，8月28日 (2)另一類正交表的行數，列數，水平數之間不滿足上述的兩個關系如：L12(211)，L18(37)，L20(219)，L36(313)等這類正交表不能用來考察因子間的交互作用第三十五頁，共五十二頁，2022年，8月28日正交表具有正交性，這是指它有如下兩個特點：(1)每列中不同的數字重復次數相同。在表L9(34)中，每列有3個不同數字：1,2,3，每一個出現3次。第三十六頁，共五十二頁，2022年，8月28日 (2)將任意兩列的同行數字看成一個數對，那么一切可能數對重復次數相同。在表L9(34)中，任意兩列有9種可能的數對：(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3), (3,1),(3,2),(3,3)每一對出現一次。第三十七頁，共五十二頁，2022年，8月28日無交互作用的正交設計與數據分析

試驗設計，以為例

(1)明確試驗目的

(2)明確試驗指標 (3)確定因子與水平 (4)選用合適的正交表,進行表頭設計,列出試驗計劃第三十八頁，共五十二頁，2022年，8月28日進行試驗和記錄試驗結果試驗的次序最好要隨機化試驗結果記錄在對應的試驗條件后面第三十九頁，共五十二頁，2022年，8月28日數據分析數據的直觀分析尋找最好的試驗條件

直觀分析計算表，見表各因子對指標影響程度大小的分析用極差來判斷影響大小 B因子影響最大，其次是A因子，C因子影響最小第四十頁，共五十二頁，2022年，8月28日各因子不同水平對指標的影響圖CBA2202051901751609001100130010

1112708090RARBRC第四十一頁，共五十二頁，2022年，8月28日數據的方差分析（多因子方差分析）數據的方差分析計算見表

SA=S1

SB=S2

SC=S3

Se=S4

ST=S1+S2+S3+S4第四十二頁，共五十二頁，2022年，8月28日對滿足式要求的一類正交表則有：ST=S1+S2+…+Sp最后的方差分析表見表，由于 FA>F0.90(2,2)，FB>F0.95(2,2)

因子A影響顯著，因子B影響高度顯著，因子C影響不顯著第四十三頁，共五十二頁，2022年，8月28日 F比<F0.90

影響不顯著 F0.95>F比>F0.90

影響顯著 F0.99>F比>F0.95

影響高度顯著 F比>F0.99

顯著性特大第四十四頁，共五十二頁，2022年，8月28日最佳條件的選擇對顯著因子應該取最好的水平；對不顯著因子的水平可以任意選取，在實際中通常從降低成本、操作方便等角度加以選擇。上面的例子中對因子A與B應該選擇A2B2，因子C可以任選，譬如為節約材料可選擇C1。第四十五頁，共五十二頁，2022年，8月28日因子的貢獻率當試驗指標不服從正態分布時,進行方差分析的依據就不夠充足,此時可通過比較各因子的“貢獻率”來衡量因子作用的大小。由于S因中除因子的效應外，還包含誤差，從而稱S因-f因MSe為因子的純離差平方和，將因子的純離差平方和與ST的比稱為因子的貢獻率。第四十六頁，共五十二頁，2022年，8月28日驗證試驗驗證的最佳條件不一定在試驗中出現，為此通常需要進行驗證試驗。即使選擇的最佳條件在試驗中出現，也需要通過驗證看其是否穩定第四十七頁，共五十二頁，2022年，8月28日有交互作用的正交設計與數據分析試驗設計明確試驗目的

明確試驗指標確定試驗中所考慮的因子與水平，并確定可能存在并要考察的交互作用選用合適的正交表，進行表頭設計進行試驗，并記錄試驗結果第四十八頁，共五十二頁，2022年，8月28日數據分析多因子有交互作用的方差分析計算表見，方差分析表見第四十九頁，共五十二頁，2022年，8月28日最佳條件的選擇對顯著因子可通過比較兩個水平下的數據均值得到最佳水平，因子C取C2為好對顯著的交互作用，先要計算兩個因子不同搭配下的數據均值，再通過比較得出哪種水平組合較好不顯著因子，其水平可任取第五十頁，共五十