1第八章

離散控制系統的分析和校正

8-1信號的采樣與保持

8-2Z變換理論8-3采樣系統的數學模型

8-4離散系統的時域分析法8-5離散控制系統的校正本章主要內容8-1信號的采樣與保持

一、采樣過程及其數學描述

離散控制系統是指系統內的信號在某一點上是不連續的。1）在有規律的間隔上系統采取到了離散信息，則稱這種采樣為周期采樣；2）如果信息之間的間隔是時變的或隨機的，則稱這種采樣為非周期采樣（隨機采樣）；

3）把連續信號轉變為脈沖序列的過程稱為采樣。1采樣控制系統2、數字控制系統例如圖所示的數字閉環控制系統。數字閉環控制系統3、離散系統特點⑴由數字計算機構成的數字校正裝置,效果比連續式校正裝置好,且由軟件實現的控制規律易于改變,控制靈活.⑵采樣信號,特別是數字信號的傳遞可以有效地抑制噪聲,從而提高了系統的抗干擾能力.⑶允許采用高靈敏度的控制元件,以提高系統的控制精度.⑷可用一臺計算機分時控制若干個系統,經濟性好.⑸對于具有傳輸延遲,特別是大滯后的控制系統,可以引人采樣的方式使其趨于穩定.4、采樣過程及其數學描述1)、采樣過程描述采樣過程

當采樣開關的閉合時間時,采樣器就可以用一個理想采樣開關來代替,采樣過程可以看成是一個幅值調制過程.理想采樣開關好像是一個載波為的幅值調制器,如圖所示,其中為理想單位脈沖序列.理想采樣過程

脈沖調制器r(t)e(t)e*(t)c(t)t單位脈沖信號的表達式為：

脈沖函數，是一寬度為

，高度為的矩形脈沖，矩形的面積為A。當

趨于零時，是一寬度為0，面積為A，幅值為無窮的理想脈沖。當A=1時，稱為理想單位脈沖函數，亦稱

函數。單位脈沖函數可看作是單位階躍函數的導數。理想的單位脈沖信號實際上是不存在的，只具有數學意義，但在自動控制系統的研究中具有重要的作用。任意形式的外作用可以看作是在不同時刻存在的，強度不同的無限個脈沖函數的疊加。定義脈沖函數特性：⑴、面積為1；⑵、當，脈沖函數為函數。函數，或脈沖函數，性質：⑴、⑵、對連續的任何函數f,有2)、采樣過程的特點(1)、采樣過程相當于一個脈沖調制過程(2)、采樣的輸出信號可表示兩個信號的乘積決定采樣時間決定采樣信號的幅值調制器采樣器3)、采樣信號的物理意義連續時間信號被單位脈沖序列作了離散時間調制。

如果用數學形式描述上述調制過程,則有因為單位脈沖序列可以表示為其中是出現在時刻時、強度為1的單位脈沖,故可以寫為4)采樣信號的數學描述因此,脈沖序列是從零開始的.上述討論過程中,假設了由于e(t)

的數值僅在采樣瞬時才有意義,所以上式又可表示為采樣器輸出看做是一串脈沖，脈沖的強度，分別等于各采樣瞬時上的采樣數值。5）、采樣過程的數學描述采樣信號的拉氏變換15對采樣信號進行拉氏變換,可得根據拉氏變換的位移定理,有注意:②由于只描述了e(t)在采樣瞬時的數值,所以不能給出連續函數e(t)在采樣間隔之間的的信息.①與采樣函數e(nT)

聯系了起來,可以直接看出的時間響應.③采樣拉氏變換,與連續信號e(t)

的拉氏變換非常類似.因此,如果e(t)是一個有理函數,則無窮級數也總是可以表示成的有理函數形式.④在求的過程中,初始值通常規定采用所以,采樣拉氏變換

由于采樣信號的信息并不等于連續信號的全部信息,所以采樣信號的頻譜與連續信號的頻譜相比,要發生變化.研究采樣信號的頻譜,目的是找出與之間的相互聯系.

展開為如下形式的富氏級數：式中,,為采樣角頻率,是富氏系數,其值為1、采樣信號的頻譜二采樣函數的頻譜分析與采樣定理

在區間中,僅在t=0時有值,且所以得那么對上式兩邊取拉氏變換,由拉氏變換的復數位移定理,得到：上式說明：1采樣開關前后信號的拉氏變換之間的關系；2

是s的周期函數。式中：----原函數e(t)的頻譜，最高頻率為----調幅脈沖序列的頻譜，以為周期。以代入（在頻域內）,上式變為：即離散信號與連續信號頻譜關系。非周期連續信號采樣前后的頻譜采樣頻率變化時原連續信號與采樣信號的頻譜0連續信號的頻譜0n=-1n=0n=1采樣信號的頻譜()2、香農（shannon）采樣定理1）、信號恢復條件23

如果滿足條件s>2h

，頻譜的主分量與補分量相互分離，可以采用一個低通濾波器，將采樣信號頻譜中的鏡像頻譜濾除，來恢復原連續時間信號。當s<2h

時，采樣頻譜中的補分量相互交疊，致使采樣器的輸出信號發生畸變。0連續信號的頻譜0n=-1n=0n=1采樣信號的頻譜()信號復現的條件：加一個如圖所示的理想濾波器。12脈沖序列互不搭接：01.0理想濾波器的頻率特性2）、shannon采樣定理實際使用時：

為使采樣后的脈沖序列頻譜互不搭接，采樣頻率必須大于或等于原信號所含的最高頻率的兩倍：這樣才有可能通過理想濾波器,把原信號毫無畸變地恢復出來。ωh為連續信號f(t)的最高次諧波的角頻率。則采樣信號f*(t)就可以無失真地再恢復為原連續信號f(t)。需要指出的是，采樣定理只是在理論上給出了信號準確復現的條件。但還有2個實際問題需要解決。其一，實際的非周期連續信號頻譜最高頻率是無限的.其二，需要一個幅頻特性為矩形的理想低通濾波器，才能把原信號不失真地復現出來。三、信號保持能使采樣信號不失真地復現為原連續信號的低通濾波器應具有理想的矩形頻率特性。即：理想濾波器的頻率特性實現外推常用的方法是采用多項式外推公式由于Δt=0時上式也成立，所以ao=f(kT)，從而得到零階保持器的外推公式為經過這樣的濾波器濾波之后，信號的頻譜變為：保持器是將采樣信號轉換成連續信號的裝置。零階保持器的作用此矩形波可表達為兩個單位階躍函數的疊加。即：可求得零階保持器的傳遞函數為：其頻率特性則為：據此可繪出零階保持器的幅頻特性和相頻特性曲線零階保持器的頻率特性7-2Z變換理論一、定義z變換實質上是拉氏變換的一種擴展，也稱作采樣拉氏變換。引入一個新的變量z，令：對于采樣函數:取拉氏變換:則:說明:z變換僅僅是一種取的變量置換，通過它將s的超越函數變為z的冪級數或z的有理分式。例7-1

求單位階躍函數的z變換二、Z變換方法

1、級數求和法（從定義出發）例8-1求理想脈沖序列的z變換

解:因為T

為采樣周期,故由拉氏變換知因此把上式寫成閉合形式.得的z變換為例8-2

求指數函數的z變換

解:這是一個首項為1、公比為的幾何級數,其和為:例8-3求e(t)=t

的z變換2、部分分式法例8-4

求

的z變換

先求出已知連續函數e(t)的拉氏變換E(s),然后將其分解為部分分式之和,再利用z變換表求出每一部分分式對應的z變換,最后相加即可.

設連續函數e(t)的拉普拉斯變換E(S)及全部極點已知,則可用留數計算法求Z變換當E(S)具有一階極點s=p1時,其留數為當E(S)具有q階重復極點時,其留數為3、留數計算法例8-5：求的Z變換解:例8-6：求的Z變換

解:具有兩階重極點設Z[e(t)]=E(z),則:式中,為常數或與t,z無關的量。z變換的基本定理,與拉氏變換的基本定理有相似之處.三、Z變換基本定理

1.線性定理2、實數位移定理（平移定理）

設連續函數e(t),當t<0時，e(t)=0則:以及證明：由z變換定義令m=n-k,則有由于z變換的單邊性，當m<0時，有e(mT)=0,所以令m=n,立即得證式。取k=1,得令m=n+1,上式可寫為取k=2,同理，得取k=k時，必有證明：由z變換的定義3、復數位移定理

令則有如果e(t)的z變換為E(z),并且是存在的，則e(t)或e(nT)的初始值e(0)為

證明：由z變換定義可見時，即可證得結論。4、初值定理如果e(t)的z變換為E(z),序列e(nT)為有限值，存在，則證明：由z變換線性定理由平移定理于是5、終值定理當取n=N為有限項時，上式右端可寫為所以終值定理亦可表示為證明：由z變換定義6、復域微分G(s)G(z)r(t)R(z)c(t)C(z)線性定常系統，輸入輸出關系可用卷積分表示7、卷積和定理輸出量c(t)在采樣瞬時t=nT,n=0,1,2,…,←卷積和簡記為當時，Z反變換是已知Z變換表達式E(z)e(nT)的過程注意：z-變換的非唯一性，即：e*1(t)=e*2(t)，E1(s)=E2(s)但e1(t)≠e2(t)。只能求出序列的表達式，而不能求出它的連續函數！求解方法：長除法、部分分式法、留數法。四、z反變換

1、長除法（冪級數法）59要點：用長除法化為降冪排列的展開形式

Z反變換為即：例8-7：

求的Z反變換解：步驟：①先將變換式寫成，展開成部分分式，③查Z變換表②兩端乘以Z2、部分分式法（因式分解法，查表法）例8-8求的Z反變換解：①②③3、留數法（反演積分法）設為z平面上包圍全部極點的封閉曲線，且為反時針方向。由此得到反演積分公式：是函數E(z)zn-1在極點zi處的留數曲線可以是包含E(z)zn-1全部極點的任意封閉曲線，若zi為一重極點若zi為q重極點例8-9：求

的Z反變換解：有兩個一重極點的Z反變換解：有一個兩重極點例8-10：求7-3采樣系統的數學模型①差分方程；②脈沖傳遞函數；③離散狀態空間。

將輸入序列r(n)變換為輸出序列c(n)的一種變換關系,稱為離散系統.記作其中,r(n)和c(n)為時系統的輸入序列和輸出序列為采樣周期.一、線性離散系統的數學模型

1、離散系統的數學定義兩個采樣點信息之間的微商即稱為差分。忽略采樣間隔T連續時間系統r(t)c(t)微分方程R(s)C(s)G(s)2、差分方程及其解法連續時間系統r(k)c(k)差分方程R(z)C(z)G(z)這樣就變成了以復變量z為自變量的函數。稱此函數為f*(t)的z變換。將上式展開：可見，采樣函數的z變換是變量z的冪級數。z變換與z反變換并非一一對應3、用z變換法解差分方程例8-11已知一階差分方程為：設輸入為階躍信號u(kT)=A，初始條件y(0)=0，試求響應y(kT)。解將差分方程兩端取z變換，得：代入初始條件，求得輸出的z變換為：為求得時域響應y(kT)，需對Y(z)進行反變換，先將Y(z)/z展成部分分式：于是查變換表，求得上式的反變換為：二、脈沖傳遞函數

1、脈沖傳遞函數的定義離散過程的結構

對于如圖離散系統結構圖，定義脈沖傳遞函數：如果一個系統如圖表示，此時有

Y(s)=G(s)U*(s)

Y(s)=L[y(t)]開環采樣系統方框圖所謂零初始條件,是指在t<0時,輸入以及輸出脈沖序列各采樣值r(-T),r(-2T),

c(-T),c(-2T),均為零.R(z)已知,求c*(t)關鍵在于求出系統脈沖傳遞函數G(z).

線性定常離散系統的脈沖傳遞函數定義為:在零初始條件下,系統輸出采樣信號的z變換與輸入采樣信號的z變換之比,記作如果已知R(z)和G(z),輸出采樣信號為實際開環離散系統G(s)G(z)r(t)R(z)c(t)C(z)虛設開關2、脈沖傳遞函數意義由卷積和定理，可得系統的脈沖傳遞函數即為系統單位脈沖響應g(t)經采樣后離散信號的Z變換，即系統的響應速度越快，即其單位脈沖響應g(t)衰減越快，則相應的脈沖傳遞函數的展開式中包含的項數越少。脈沖響應求G(z)的一般步驟：①求出系統的傳遞函數G(s);②將G(s)分解成部分分式后用查表法求取G(z),

若不能查表，則繼續按下述步驟進行；③求出脈沖響應函數④從nT代替g(t)中的t，再按Z變換的定義計算：3、脈沖傳遞函數的求法三、開環系統脈沖傳遞函數1、連續信號拉氏變換的采樣規律（1）采樣函數的拉氏變換具有周期性[E*(s)G1(s)G2(s)]*=E*(s)[G1(s)G2(s)]*（2）離散信號可從離散符號中提出來設G1(s)G2(s)=G(s)，則有：[E*(s)G(s)]*=∵E*(s)與∑無關，=E*(s)[G(s)]*所以有：G*(s)=G*(s+jnωs)2、串聯環節的脈沖傳遞函數（1）二串聯環節間有采樣器環節串聯的開環系統（2）串聯環節間無采樣器若則若則有零階保持器的開環系統3、并聯環節的脈沖傳遞函數并聯環節的等效并聯環節方框圖四、閉環系統的脈沖傳遞函數1、閉環系統脈沖傳遞函數的一般計算方法93閉環采樣系統結構圖G(s)H(s)R(s)+-C(s)E(s)B(s)誤差方程采樣后z變換反饋方程輸出方程（1）反饋通道無采樣器代入作采樣z變換誤差的z變換即輸出方程采樣z變換輸出對輸入的脈沖傳遞函數G(s)H(s)R(s)+-C(s)E(s)（3）對于一般的單閉環系統（2）反饋通道有采樣器下表列出了部分離散系統結構圖及其脈沖傳遞函數。續表2、閉環系統脈沖傳遞函數的簡易計算方法①離散系統中的采樣開關去掉，求出對應連續系統的輸出表達式；②表達式中各環節乘積項需逐個決定其“*”號。方法是：乘積項中某項與其余相乘項兩兩比較，當且僅當該項與其中任一相乘項均被采樣開關分隔時，該項才能打“*”號。否則需相乘后才打“*”號。③取Z變換，把有“*”號的單項中的s變換為z，多項相乘后僅有一個“*”號的其Z變換等于各項傳遞函數乘積的Z變換。7-4離散系統的時域分析法一、Z平面與S平面的影射關系1、S平面的虛軸在Z平面上的映射（1）S平面的虛軸映射到Z平面上，是以原點為圓心、半徑為1的單位圓。S平面的原點映射到Z平面上則是(+1，j0)點。S平面到Z平面的映射(a)穩定域從S平面到Z平面的映射S平面到Z平面的映射(b)S平面的虛軸在Z平面上的映射（2）S平面左半部分在Z平面上的映射

S平面左半部分每一條寬度為ωs的帶狀區域，映射到Z平面上，都是單位圓內區域。（3）S平面右半部分在Z平面上的映射因此，整個S平面右半部分在Z平面上的映像是以原點為圓心的單位圓外部區域。二、離散系統穩定的充要條件根據在S平面系統穩定的條件是極點σ＜0可知：

離散系統穩定的條