數量關系

—第7章第一部分向量代數第二部分空間解析幾何

在三維空間中:空間形式

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點,

線,

面基本方法

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坐標法;向量法坐標,方程（組）向量代數與空間解析幾何四、利用坐標作向量的線性運算第一節一、向量的概念二、向量的線性運算三、空間直角坐標系五、向量的模、方向角、投影向量及其線性運算

第七章表示法:向量的模:向量的大小,一、向量的概念向量:(又稱矢量).既有大小,又有方向的量稱為向量自由向量:與起點無關的向量.單位向量:模為1的向量,零向量:模為0的向量,有向線段M1

M2,或a,記作e

或e.或a.規定:零向量與任何向量平行;若向量a與b大小相等,方向相同,則稱a與b相等,記作a＝b;若向量a與b方向相同或相反,則稱a與b平行,

a∥b;與a

的模相同,但方向相反的向量稱為a

的負向量,記作因平行向量可平移到同一直線上,故兩向量平行又稱兩向量共線

.若k(≥3)個向量經平移可移到同一平面上,則稱此k個向量共面

.記作－a;二、向量的線性運算1.向量的加法三角形法則:平行四邊形法則:運算規律:交換律結合律三角形法則可推廣到多個向量相加.2.向量的減法三角不等式可見3.向量與數的乘法

是一個數,規定:總之:運算律:結合律分配律因此

與a

的乘積是一個新向量,記作定理1.

設

a

為非零向量,則(為唯一實數)a∥b例1.

設M

為解:ABCD對角線的交點,ⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ三、空間直角坐標系由三條互相垂直的數軸按右手規則組成一個空間直角坐標系.

坐標原點

坐標軸x軸(橫軸)y軸(縱軸)z

軸(豎軸)過空間一定點O,

坐標面

卦限(八個)1.空間直角坐標系的基本概念ⅠzOx面在直角坐標系下向徑坐標軸上的點

P,Q,R;坐標面上的點A,B,C點

M特殊點的坐標:有序數組(稱為點

M

的坐標)原點O(0,0,0);坐標軸:坐標面:2.向量的坐標表示在空間直角坐標系下,設點

M

則沿三個坐標軸方向的分向量,的坐標為此式稱為向量

r

的坐標分解式

,任意向量r

可用向徑OM

表示.記四、利用坐標作向量的線性運算則平行向量對應坐標成比例:設例2.已知兩點在AB所在直線上求一點M,使解:

設M

的坐標為如圖所示及實數得即說明:由得定比分點公式:點

M為AB

的中點,于是得中點公式:五、向量的模、方向角、投影1.向量的模與兩點間的距離公式則有由勾股定理得因得兩點間的距離公式:對兩點與例3.

求證以證:即為等腰三角形.的三角形是等腰三角形.為頂點例4.

在z

軸上求與兩點等距解:

設該點為解得故所求點為及思考:(1)如何求在

xOy

面上與A,B

等距離之點的軌跡方程?(2)如何求在空間與A,B

等距離之點的軌跡方程?離的點.(1)如何求在

xOy

面上與A,B

等距離之點的軌跡方程?(2)如何求在空間與A,B

等距離之點的軌跡方程?提示:(1)設動點為利用得(2)設動點為利用得且例5.已知兩點解:求AB的單位向量e.2.方向角與方向余弦設有兩非零向量任取空間一點O,稱=∠AOB(0≤≤

)

為向量

的夾角.類似可定義向量與軸,軸與軸的夾角.與三坐標軸的夾角

,,為其方向角.方向角的余弦稱為其方向余弦.

方向余弦的性質:例6.已知兩點和的模、方向余弦和方向角.解:計算向量3.向量在軸上的投影第二節則

a

在軸u

上的投影為例如,在坐標軸上的投影分別為設a

與u

軸正向的夾角為

,,即投影的性質2)1)