第三節(jié)開腔模式的物理概念

和衍射理論分析方法

開腔模的一般物理概念自再現(xiàn)模的衍射理論問題：在開腔中是否存在電磁場(chǎng)的本征態(tài)或不隨時(shí)間變化的穩(wěn)態(tài)場(chǎng)分布?如何求場(chǎng)分布?與輸出相關(guān)的是鏡面上的場(chǎng)!穩(wěn)態(tài)場(chǎng)分布的形成:可看成光在兩鏡面間往返傳播的結(jié)果!方法一個(gè)鏡面上的場(chǎng)另一個(gè)鏡面上的場(chǎng)求解衍射積分方程!一、開腔模的一般物理概念1、理想開腔模型兩塊反射鏡面放在無限大的均勻的各向同性介質(zhì)中。可忽略腔側(cè)壁的不連續(xù)性，決定衍射效應(yīng)的孔徑由鏡的邊緣決定！2、決定腔模形成的損耗：主要是腔鏡邊緣的衍射損耗，其他的損耗只使橫截面上各點(diǎn)的場(chǎng)按照相同比例衰減！3、穩(wěn)態(tài)場(chǎng)的形成——模的“自再現(xiàn)”鏡1上的場(chǎng)分布，到達(dá)鏡2時(shí)，由于衍射，要經(jīng)歷一次能量的損耗和場(chǎng)分布的變化，中間能量損失小，鏡邊緣損失大，每單程渡越一次，都會(huì)發(fā)生類似的能量損耗和場(chǎng)分布變化，多次往返后，從而逐漸形成中間強(qiáng)、邊緣弱的基本不受衍射影響的穩(wěn)態(tài)場(chǎng)分布，該穩(wěn)態(tài)場(chǎng)分布一個(gè)往返后可“自再現(xiàn)”出發(fā)時(shí)的場(chǎng)分布，唯一變化是鏡面上各點(diǎn)的場(chǎng)振幅按同樣的比例衰減，各點(diǎn)相位發(fā)生同樣大小的滯后。(1)自再現(xiàn)模：往返一次能再現(xiàn)自身的穩(wěn)態(tài)場(chǎng)分布。(2)模的往返損耗：自再現(xiàn)模一次往返所經(jīng)受的能量損耗。(3)往返相移：自再現(xiàn)模往返一次的相位變化，等于2π的整數(shù)倍。二、自再現(xiàn)物理過程的形象化描述和定性解釋

孔闌傳輸線模型：由一系列同軸的孔徑構(gòu)成，這些孔徑開在平行放置著的無限大完全吸收屏上，相鄰兩個(gè)孔徑間的距離等于腔長(zhǎng)，孔徑大小等于鏡的大小。（1）當(dāng)模擬對(duì)稱開腔時(shí)，所有孔徑大小和形狀都應(yīng)相同。（2）如果考慮到光的吸收、散射等損耗，則可以在每一個(gè)空面上引入一衰減濾光片。（3）如果開腔的反射鏡為球面鏡，則在每個(gè)孔闌應(yīng)裝入相應(yīng)焦距的透鏡稱為透鏡波導(dǎo)。

用波在孔闌傳輸線中的行進(jìn)，模擬它在開腔中的往復(fù)反射。考慮平面開腔的情形橫向場(chǎng)振幅分布和相位分布都均勻的平面波入射，經(jīng)過多次孔闌的衍射影響后，二者都變得不再均勻，成為相對(duì)場(chǎng)振幅和相對(duì)相位分布都不受衍射影響的穩(wěn)態(tài)場(chǎng)分布。1、只有不受衍射影響的場(chǎng)分布才能形成穩(wěn)定的場(chǎng)分布，成為自再現(xiàn)模。說明：2、衍射起“篩子”作用，將腔中允許存在的自再現(xiàn)模從各種自發(fā)輻射模中篩選出來。3、自再現(xiàn)模是多次衍射的結(jié)果，與初始波形在一定意義上無關(guān)緊要，但不同的初始波形最終形成的場(chǎng)分布不同，而自發(fā)輻射可提供不同的初始波形,因此決定了自再現(xiàn)模的多樣性。4、理解激光的空間相干性。每經(jīng)過一次衍射，光束橫截面上各點(diǎn)的相位關(guān)聯(lián)度變?cè)黾右淮危瑒t由于經(jīng)過足夠多次衍射的作用后，光束橫截面上各點(diǎn)的相位關(guān)聯(lián)越來越緊密，從而使光的空間相干性變強(qiáng)。5、在無源開腔中，自再現(xiàn)模的形成過程和場(chǎng)的空間相干性的增強(qiáng)過程，都不可避免地伴隨著初始入射波能量的衰減，不足以形成激光。

在激活腔中，只要某一自再現(xiàn)模能滿足閾值條件，則該模在腔內(nèi)就可以形成自激振蕩。自再現(xiàn)模的形成過程伴隨著光的受激放大，其結(jié)果是，光譜不斷變窄，空間相干性不斷增強(qiáng)，光強(qiáng)不斷增大，最終形成高強(qiáng)度的激光輸出。2、定量處理開腔模式問題的數(shù)學(xué)理論：菲涅耳—基爾霍夫衍射積分功能：如果知道了光波場(chǎng)在其所達(dá)到的任意空間曲面上的振幅和相位分布，就可以求出該光波場(chǎng)在空間其他任意位置處的振幅和相位分布。1、分析衍射的理論基礎(chǔ)：惠更斯—菲涅耳原理三、菲涅耳—基爾霍夫衍射積分各子波源發(fā)出的球面波傾斜因子S1S2經(jīng)過j次渡越后所生成的場(chǎng)uj+1與產(chǎn)生它的場(chǎng)uj之間也應(yīng)滿足類似的迭代關(guān)系：3、將積分公式應(yīng)用到開腔的兩個(gè)鏡面上的場(chǎng)四、對(duì)稱開腔中自再現(xiàn)模應(yīng)滿足的積分方程式按照自再現(xiàn)理論，當(dāng)渡越次數(shù)j足夠大時(shí)，除了一個(gè)表示振幅衰減和相位移動(dòng)的復(fù)常數(shù)因子

以外，uj+1應(yīng)該再現(xiàn)uj，則：代入迭代關(guān)系得則不受衍射影響的穩(wěn)態(tài)場(chǎng)分布函數(shù)v(x,y)為：其中的積分核為：開腔自再現(xiàn)模應(yīng)滿足的積分方程式滿足上述方程的任意一個(gè)分布函數(shù)v(x,y)就描述腔的一個(gè)自再現(xiàn)模或橫模。一般v(x,y)應(yīng)為復(fù)函數(shù)，它的模描述鏡面上場(chǎng)的振幅分布，而其輻角描述鏡面上場(chǎng)的相位分布.則初步簡(jiǎn)化后的自再現(xiàn)模方程為：

當(dāng)腔長(zhǎng)L和鏡線度a滿足：L>>a，或曲面反射鏡的曲率半徑R和鏡線度a滿足：R>>a時(shí)，有：開腔模的問題，歸結(jié)為求解積分方程的數(shù)學(xué)問題。五、復(fù)常數(shù)的物理意義e-

：?jiǎn)纬潭稍降恼穹p！越大，則衰減愈厲害，若0

，則模無損耗傳播。表示每經(jīng)單程渡越后模的相位滯后，愈大，相位滯后愈多。(1)對(duì)稱開腔中模的單程損耗δd：自再現(xiàn)模單程渡越后的相對(duì)功率損耗。(2)對(duì)稱開腔中模的單程總相移δФ若滿足：一般的諧振條件注意：若對(duì)非對(duì)稱開腔，則應(yīng)按照往返一次進(jìn)行討論！結(jié)論：的模反映單程或往返一次的相對(duì)功率損耗，輻角反映單程或往返一次的總相移，從而決定諧振頻率。六、分離變量法1、求解自再現(xiàn)模方程的思路由開腔的具體結(jié)構(gòu)，給出方程的具體形式并做簡(jiǎn)化具體做法：由對(duì)稱性引入適當(dāng)坐標(biāo)系由λ

、a、L的數(shù)量級(jí)關(guān)系，將積分核

做泰勒展開舍去展開式中無關(guān)緊要的高階小量，從而將方程簡(jiǎn)化(2)進(jìn)行變量分離，將化簡(jiǎn)后的積分方程化為兩個(gè)單元函數(shù)的積分方程。2、可行性分析計(jì)算表明，對(duì)矩形及圓形平面鏡腔、共焦球面或拋物面腔和一般球面鏡腔等幾種常見的幾何結(jié)構(gòu)，以上的簡(jiǎn)化和變量分離是可能的！3、方程簡(jiǎn)化和分離變量的事例分析(1)對(duì)稱矩形平面鏡腔(2a×2b)數(shù)量關(guān)系：若滿足：可做菲涅耳近似：則模方程變?yōu)椋悍蛛x變量，令：則積分核為：模方程變?yōu)閮尚问酵耆粯拥姆匠蹋笠粋€(gè)即可：方程的解有多個(gè)，其中第m和第n個(gè)分別為vm(x)和vn(y)，m和n為相應(yīng)的復(fù)常數(shù)，則：——積分本征值方程鏡面上的場(chǎng)分布為：相應(yīng)的復(fù)常數(shù)為：本征值方程成立的條件：m和n取一系列特定值——本征值。對(duì)應(yīng)本征值m和n，且滿足該方程的場(chǎng)分布函數(shù)vm(x)和vn(y)為本征函數(shù)。本征函數(shù)：決定鏡面上的場(chǎng)分布，包括場(chǎng)的振幅和相位分布。本征值：決定自再現(xiàn)模的傳輸特性，包括模的衰減、相移、諧振頻率等。鏡面上場(chǎng)的振幅分布。鏡面上場(chǎng)的位相分布。求解衍射積分本征值方程的目的意義：求出