[基礎題組練]1．函數f(x)＝ex－ex，x∈R的遞加區間是( )A．(0，＋∞)B．(－∞，0)C．(－∞，1)D．(1，＋∞)分析：選D.由題意知，f′(x)＝ex－e，令f′(x)>0，解得x>1，應選D.32．(2020河·南省六校第二次聯考)函數y＝x＋x＋2lnx的遞減區間是( )A．(－3，1)B．(0，1)C．(－1，3)D．(0，3)32分析：選B.法一：令y′＝1－x2＋x<0，得－3<x<1，又x>0，故所求函數的遞減區間為(0，1)．應選B.法二：由題意知x>0，故消除A、C選項；又f(1)＝4<f(2)＝7＋2ln2，故消除D選項．故2選B.xe的圖象大體為()3．函數f(x)＝xexxex－ex分析：選B.函數f(x)＝x的定義域為{x|x≠0，x∈R}，當x>0時，函數f′(x)＝x2，可得函數的極值點為：x＝1，當x∈(0，1)時，函數是減函數，x>1時，函數是增函數，而且f(x)>0，選項B、D滿足題意．ex當x<0時，函數f(x)＝x<0，選項D不正確，選項B正確．4．(2020·山市摸底考試唐)設函數f(x)＝x(ex＋e－x)，則f(x)()A．是奇函數，且在(0，＋∞)上是增函數B．是偶函數，且在(0，＋∞)上是增函數C．是奇函數，且在(0，＋∞)上是減函數D．是偶函數，且在(0，＋∞)上是減函數－xxx－x)＝－f(x)，故f(x)為分析：選A.通解：由條件可知，f(－x)＝(－x)(e＋e)＝－x(e＋ex－xx－xx－xx－xx－x>0，所奇函數，f′(x)＝e＋e＋x(e－e)，當x>0時，e>e，所以x(e－e)>0，又e＋e以f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函數，應選A.優解：依據題意知f(－1)＝－f(1)，所以函數f(x)為奇函數．又f(1)<f(2)，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函數，應選A.5．(2020江·西七校第一次聯考)若函數f(x)＝2x3－3mx2＋6x在區間(1，＋∞)上為增函數，則實數m的取值范圍是()A．(－∞，1]B．(－∞，1)C．(－∞，2]D．(－∞，2)分析：選C.由于f′(x)＝6(x2－mx＋1)，且函數f(x)在區間(1，＋∞)上是增函數，所以f′(x)＝6(x2－mx＋1)≥0在(1，＋∞)上恒成立，即x2－mx＋1≥0在(1，＋∞)上恒成立，所以m≤x2＋111(x∈(1，＋∞))，由于當x∈(1，＋∞)x＝x＋在(1，＋∞)上恒成立，即m≤x＋xxmin時，x＋1>2，所以m≤2.應選C.x6．函數y＝4x2＋1的增區間為________．x分析：由y＝4x2＋1，得y′＝8x－1，xx211令y′>0，即8x－2>0，解得x>.x2所以函數y＝4x2＋1的增區間為1，＋∞.x21答案：2，＋∞7．已知函數y＝f(x)(x∈R)的圖象以下列圖，則不等式xf′(x)≥0的解集為．分析：由f(x)圖象特色可得，f′(x)在－∞，1和[2，＋∞)上大于0，在1，2上小于0，22所以xf′(x)≥0?x≥0，或x≤0，?0≤x≤1或x≥2，f′（x）≥0f′（x）≤02所以xf′(x)≥0的解集為1∪[2，＋∞)．0，21答案：0，2∪[2，＋∞)8．若f(x)＝xsinx＋cosx，則f(－3)，fπ，f(2)的大小關系為(用“<”連接)．2分析：由題意知，函數f(x)為偶函數，所以f(－3)＝f(3)．又f′(x)＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx，πππ當x∈，π時，f′(x)<0.所以f(x)在區間，π上是減函數，所以f2＞f(2)＞f(3)＝f(－223)．答案：f(－3)<f(2)<f

π29．已知函數f(x)＝x3＋ax2－x＋c，且a＝f′2.3(1)求a的值；(2)求函數f(x)的單調區間．解：(1)由f(x)＝x3＋ax2－x＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax－1.22222－1，當x＝時，得a＝f′＝3×3＋2a×333解得a＝－1.(2)由(1)可知f(x)＝x3－x2－x＋c，則f′(x)＝3x2－2x－1＝3x＋13(x－1)，令f′(x)>0，解得x>1或x<－1；31令f′(x)<0，解得－3<x<1.所以f(x)的增區間是－∞，－1和(1，＋∞)；31f(x)的減區間是－3，1.10．已知函數f(x)＝ebx－1(b∈R，e為自然對數的底數)在點(0，f(0))處的切線經過點(2，2)．談論函數F(x)＝f(x)＋ax(a∈R)的單調性．解：由于f(0)＝b－1，所以過點(0，b－1)，(2，－2)的直線的斜率為k＝b－1－（－2）＝－b＋1，0－22而f′(x)＝－b，由導數的幾何意義可知，ef′(0)＝－b＝－b＋1，2所以b＝1，所以f(x)＝1x－1.e則F(x)＝ax＋1x－1，F′(x)＝a－1x，ee當a≤0時，F′(x)<0恒成立；當a>0時，由F′(x)<0，得x<－lna，由F′(x)>0，得x>－lna.故當a≤0時，函數F(x)在R上是減少的；當a>0時，函數F(x)在(－∞，－lna)上是減少的，在(－lna，＋∞)上是增添的．[綜合題組練]1．(2020鄭·州市第二次質量展望)函數f(x)是定義在(0，＋∞)上的可導函數，f′(x)為其導函數，若xf′(x)＋f(x)＝ex(x－2)且f(3)＝0，則不等式f(x)<0的解集為()A．(0，2)B．(0，3)C．(2，3)D．(3，＋∞)分析：選B.令g(x)＝xf(x)，x∈(0，＋∞)，則g′(x)＝xf′(x)＋f(x)＝ex(x－2)，可知當x∈(0，2)時，g(x)＝xf(x)是減函數，當x∈(2，＋∞)時，g(x)＝xf(x)是增函數．又f(3)＝0，所以g(3)＝3f(3)＝0.在(0，＋∞)上，不等式f(x)<0的解集就是xf(x)<0的解集，又g(0)＝0，所以f(x)<0的解集是(0，3)，應選B.2．設函數f(x)＝x－1，且f(mx)＋mf(x)<0對任意x∈[1，＋∞)恒成立，則實數m的取值x范圍是．分析：由f(mx)＋mf(x)<0得mx－1＋mx－mx<0對任意x∈[1，＋∞)恒成立，整理得mx11恒成立，即2mx21恒成立，明顯m≠0，當m>0時，2x21，明顯當2mx<m＋mx<m＋m<1＋m2x＝1時y＝2x2獲得最小值為2，無最大值，不吻合題意；當m<0時，2x2>1＋12，當x＝1m時y＝2x2獲得最小值為2，1＋12<2，解得m<－1.綜上，實數m的取值范圍是m<－1.m答案：(－∞，－1)1ax2＋bx＋c，曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程為y＝1.3．設函數f(x)＝x3－32(1)求b，c的值；(2)若a＞0，求函數f(x)的單調區間；(3)設函數g(x)＝f(x)＋2x，且g(x)在區間(－2，－1)內存在遞減區間，務實數a的取值范圍．解：(1)f′(x)＝x2－ax＋b，f（0）＝1，c＝1，由題意得f′（0）＝0，即b＝0.故b＝0，c＝1.(2)由(1)得，f′(x)＝x2－ax＝x(x－a)(a＞0)，當x∈(－∞，0)時，f′(x)＞0；當x∈(0，a)時，f′(x)＜0；當x∈(a，＋∞)時，f′(x)＞0，所以函數f(x)的增區間為(－∞，0)，(a，＋∞)，減區間為(0，a)．(3)g′(x)＝x2－ax＋2，依題意，存在x∈(－2，－1)，使不等式g′(x)＝x2－ax＋2<0成立．2則存在x∈(－2，－1)使－a>－x－成立，即－a>－x－2.xmin由于x∈(－2，－1)，所以－x∈(1，2)，22則－x－x≥2（－x）·－x＝22，2當且僅當－x＝－，即x＝－2時等號成立，所以－a>22，則a<－22.所以實數a的取值范圍為(－∞，－22)．4．(2020·都七中檢測成)設函數f(x)＝ax2－a－lnx，g(x)＝1－ex，此中a∈R，e＝2.718xe為自然對數的底數．(1)談論f(x)的單調性；(2)證明：當x>1時，g(x)>0.解：(1)由題意得12ax2－1f′(x)＝2ax－＝x(x>0)．x當a≤0時，f′(x)<0，f(x)在(0，＋∞